張量代數(shù)

1、第一章 張量代數(shù),1.1 指標(biāo)記法與約定求和,,,,,,,,,,自由指標(biāo)：在方程中的各項中只出現(xiàn)一次的指標(biāo)稱為自由指標(biāo),啞指標(biāo)：某一指標(biāo)在一項中重復(fù)一次，就表示對該指標(biāo)求和，該指標(biāo)稱啞指標(biāo),,,無特殊說明，本書總?cè)=3,N表示空間維數(shù),,,1.2 克羅內(nèi)克（Kronecker）符號,,性質(zhì)：,定義：,,,,亦即：,,,,,,,,,,,,1.3 置換符號,,定義：,性質(zhì)：,,,,證明：,,,,,,證明：,,,因

2、為,,,,證明：利用性質(zhì)（2），將m換成j,可得到：,證明：利用性質(zhì)（3），將l換成i,可得到：,,1.4 指標(biāo)記法的計算,,,,,,,?,,,,,,,使兩個指標(biāo)相等并對它們求和的運算成為縮并。,,,解：,,,,,基本矢量：,,,從幾何的角度看：,,結(jié)果與上述相符,,,基本矢量：,,,,,,例：求解,1.5 張量的定義,標(biāo)量：在選定的測量單位下，只用一個不依賴于坐標(biāo)系的數(shù)字表征其性質(zhì)的量。例如：數(shù)學(xué)上的無名數(shù)、物理學(xué)上的

3、質(zhì)量、密度、溫度等。,,,矢量：在選定的測量單位下，用不依賴于坐標(biāo)系的數(shù)字和方向表征其性質(zhì)的量。例如：數(shù)學(xué)上的有向線段、物理學(xué)中的力、速度、加速度等。,標(biāo)量、矢量？？？,,零階張量,一階張量,二階張量,,P點在兩直角坐標(biāo)系 、 中,是新坐標(biāo)基矢量與舊坐標(biāo)基矢量夾角的方向余弦,,變換矩陣,應(yīng)力矢量 在坐標(biāo) 中，有：,應(yīng)力張量 在坐標(biāo) 中，有：,1.6 張量代數(shù)運算,,同

4、階張量可以相加減,,,,推廣 若A和B分別為m階和n階張量，則它們的并積為：,,,其中：,點積一次，結(jié)果張量降低二階,若 和 分別為兩個矢量，則它們的點積定義為：,,,,最簡單的情況是兩個矢量a和b的叉積，即：,三個矢量a，b和c的叉積為：,,證明：,設(shè),,,再令：,,,即：,,兩個張量叉乘一次所得張量的階數(shù)比原兩張量階數(shù)和少一階。,三個矢量a，b，c的混合積定義為：,它表示棱邊為a，b，c的棱柱體的有向體積,例：,二階

5、張量T,,張量T的跡可以寫成：,,二階張量的跡具有下列一些性質(zhì)：,設(shè)A和B為二個二階張量，則：,,,,,證明:,,,,,C其分量為：,,同樣設(shè)：,,,,,上列兩式分別為張量A的二階矩和n階矩,,1.7 商法則,已知,,是張量,是張量,,？,,,,,,,商法則 在任一卡氏直角坐標(biāo)系中，若 是任意p 階張量，它與q指標(biāo)量 連并為：其中 是一個q-p階張量，則

6、必為q階張量。,這一項為反對稱張量,這一項為對稱張量,定義：,對稱張量,反對稱張量,,1.8 仿射量,,,,張量與矩陣相對應(yīng),,,,,,,,（2）將式子 寫成點積或叉乘的的寫法,,（3）將式子 寫成點積或叉乘的的寫法,,,仿射量的性質(zhì),,,,,,,,,,,1.８ 特殊張量,,,,,,,,,寫成矩陣形式則有：,對于任意三階張量A，則,,,,對于二階張量B，則：,,,,,若B和D均為二階張量，則：,,若

7、 為反對稱，則存在 ， 稱為 的對偶矢量,證明：對于二階張量 ，則有：,對于任意多個二階張量，則有：,設(shè) 為正交張量，則,,,,二階張量Q是使被變換矢量保持其長度和夾角都不變的線性變換，即對任意矢量a和b，有：則Q稱為正交張量。,1,2,設(shè) 為正交張量， 性質(zhì)有：,,,,,令,,,其中：,分別稱為 的第一、二、三不變量,1.８ 張量的乘積分解