概率論1.4

1、第一章 隨機(jī)事件及其概率,1.4 事件的獨(dú)立性 獨(dú)立試驗(yàn)概型,1.4 事件的獨(dú)立性 獨(dú)立試驗(yàn)概型,1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性,如前所述，條件概率P(B|A)和無(wú)條件概率P(B)一般是不相等的，即事件A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生是有影響的.,如果P(B|A)=P(B)，則說(shuō)明A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生是沒(méi)有影響的，這時(shí)自然認(rèn)為A與B是相互獨(dú)立的.,由概率乘法公式知，如果P(B|A)=P(B)，則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),

2、由此，人們引進(jìn)下面的定義,定義 設(shè)A、B為任二事件，如果P(AB)=P(A)P(B)則稱 A與B是相互獨(dú)立的.,由定義知，若A、B的概率有一個(gè)為零，則A與B相互獨(dú)立，,這是由于0≤P(AB)≤P(A)(或P(B))=0.,定理 如果P(A)>0，則A與B相互獨(dú)立的定義等價(jià)于P(B|A)=P(B),證 若P(B|A)=P(B)，則由概率乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),反之，若P(AB)=P(A)

3、P(B)，則,定理 如果A與B相互獨(dú)立，則A與Bc，Ac與B， Ac與Bc也分別相互獨(dú)立,證 先證A與Bc相互獨(dú)立，由,知A與Bc是相互獨(dú)立的.,再由對(duì)稱性可知Ac與B相互獨(dú)立.,最后，由Ac與B相互獨(dú)立的條件，利用上面證明的結(jié)果，立即可得Ac與Bc也相互獨(dú)立.,由前面的結(jié)論：若A、B的概率有一個(gè)為零，則A與B相互獨(dú)立.,再由定理2.7可得若A、B的概率有一個(gè)為1，則A與B相互獨(dú)立.,例1 將一枚勻質(zhì)的硬幣投擲兩次，令A(yù)=“第一次出

4、現(xiàn)正面”，B=“第二次出現(xiàn)正面”，驗(yàn)證事件A、B是相互獨(dú)立的.,證 樣本空間S為 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.,而A={(正，正)，(正，反)}，B={(正，正)，(反，正)}.,故知AB={(正，正)} .,例1 將一枚勻質(zhì)的硬幣投擲兩次，令A(yù)=“第一次出現(xiàn)正面”，B=“第二次出現(xiàn)正面”，驗(yàn)證事件A、B是相互獨(dú)立的.,證 樣本空間S為,而,故知,由于試驗(yàn)是古典概型，故,由此P(AB)=P(A)

5、P(B),所以A與B是相互獨(dú)立的.,在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)于兩個(gè)事件A，B常常根據(jù)它們的實(shí)際意義來(lái)看它們彼此是否有影響，從而判斷它們是否獨(dú)立，而不需要利用定義去判斷.,如果兩個(gè)事件是獨(dú)立的，那么兩個(gè)事件積的概率就可以由這兩個(gè)事件概率的乘積來(lái)確定.,例2 設(shè)甲、乙二人獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8，今各射擊一次，求目標(biāo)被擊中的概率？,解一 用A、B分別表示甲、乙擊中目標(biāo)的事件，C表示目標(biāo)被擊中的事件，則,P(A)=

6、0.9 ， P(B)=0.8且目標(biāo)被擊中的概率P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB),根據(jù)題意，A與B是相互獨(dú)立的，故 P(C)=0.9 +0.8?0.9×0.8=0.98,解二:,引例 從一副52張的撲克牌中隨機(jī)地抽取一張，以A表示“抽出的牌是A”，B表示“抽出的牌是黑桃”，求P(A)、P(B)、P(B|A)、P(A|B)、P(AB).,解：P(A)=4/52=1/13，,P(B)=13/52=1/4，

7、,P(B|A)=1/4，,P(A|B)=1/13，,P(AB)=1/52，,P(AB)=P(A)P(B).,2 多個(gè)事件的獨(dú)立性,定義 設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，如果有,P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C),則稱A，B，C兩兩獨(dú)立.,若不僅有上面的三個(gè)式子成立，而且還有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)也成立，則稱A，B，C是相互獨(dú)立的.,由定義可知，若三個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們一

8、定是兩兩獨(dú)立的；但兩兩獨(dú)立不一定是相互獨(dú)立的.,例如，在前面的將一枚勻質(zhì)的硬幣投擲兩次這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，若令A(yù)=“第一次出現(xiàn)正面”，B=“第二次出現(xiàn)正面”，C=“恰有一次出現(xiàn)正面”，則,由于試驗(yàn)是古典概型，從而,故這三個(gè)事件A，B，C是兩兩獨(dú)立，但不是相互獨(dú)立的.,例如設(shè)在某個(gè)袋中有四個(gè)球，其中紅色、綠色、藍(lán)色各一個(gè)，另一個(gè)球上紅色、綠色、藍(lán)色三種顏色都有為三色球，現(xiàn)在從袋子中任取一個(gè)球，則球上有紅色、綠色、藍(lán)色這三個(gè)事件就是兩兩獨(dú)立，但

9、不相互獨(dú)立的.,再如一個(gè)正四面體，其中三個(gè)面分別涂上紅、綠、黃三種顏色，第四個(gè)面同時(shí)涂上紅、綠、黃三種顏色.隨意地拋擲該四面體，設(shè)各面著地是等可能的.令A(yù)、B、C分別表示著地的一面涂有紅、綠、黃色，則A，B，C是兩兩獨(dú)立，但不是相互獨(dú)立的.,再如一個(gè)正四面體，其中三個(gè)面分別涂上紅、綠、黃三種顏色，第四個(gè)面同時(shí)涂上紅、綠、黃三種顏色.隨意地拋擲該四面體，設(shè)各面著地是等可能的.令A(yù)、B、C分別表示著地的一面涂有紅、綠、黃色，則A，B，C是兩

10、兩獨(dú)立，但不是相互獨(dú)立的.,這是因?yàn)镻(A)=P(B)=P(C)=2/4 =1/2 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4因此A，B，C是兩兩獨(dú)立.但是P(ABC)=1/4≠P(A)P(B)P(C)從而A，B，C是兩兩獨(dú)立，但不是相互獨(dú)立的.,一般地，n個(gè)事件相互獨(dú)立的定義如下：,定義 設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，如果對(duì)任意k(1<k≤n)，任意1≤i1<i2<…<ik≤n ，滿足等式,則稱n

11、個(gè)事件A1,A2,…,An是相互獨(dú)立的.,注意，若用定義證明個(gè)事件相互獨(dú)立，需要驗(yàn)證的等式的個(gè)數(shù)為,顯然，若 n個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們中的任何m (1≤m<n )個(gè)事件也相互獨(dú)立.,定理 若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則將其中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件仍然相互獨(dú)立，即事件B1,B2,…,Bn也相互獨(dú)立，其中Bi取Ai或Ai c (i=1,2,…,n).,證 我們只要證明將A1,A2,…,An中的任意一個(gè)事件換成其對(duì)立事

12、件仍然相互獨(dú)立即可，這是因?yàn)榉磸?fù)運(yùn)用這個(gè)結(jié)果，即可得出任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件的結(jié)論.,又由于A1,A2,…,An的地位相同，故只要證明A1c,A2,…,An相互獨(dú)立.,為此，只要驗(yàn)證對(duì)任意1<i1<i2<…< im≤n有,事實(shí)上，由式P(A?B)=P(A)?P(AB)可得,證畢.,與兩個(gè)事件獨(dú)立性的情況一樣，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于n個(gè)事件的獨(dú)立性，常常不是根據(jù)定義來(lái)判斷，而是根據(jù)它們的實(shí)際意義來(lái)看彼此

13、是否有影響，從而判斷它們是否獨(dú)立.,如果n個(gè)事件是獨(dú)立的，那么事件積的概率就可以由這些個(gè)事件概率的乘積來(lái)確定，從而許多概率的計(jì)算就可以大為簡(jiǎn)化了.,例3 過(guò)去戰(zhàn)爭(zhēng)中曾用步槍打飛機(jī).設(shè)一支步槍射擊一次，擊中飛機(jī)的概率為0.004.（a）若用250支步槍相互獨(dú)立地向一架飛機(jī)進(jìn)行一次射擊，求飛機(jī)被擊中的概率；（b）若要以0.99以上的概率保證飛機(jī)被擊中，那么需要用多少支步槍射擊？,解 （a）設(shè)Ai (i=1,2,…,250)表示第i支步槍

14、擊中飛機(jī)的事件，C表示飛機(jī)被擊中的事件，則,（b）設(shè)用n支步槍能使飛機(jī)被擊中的概率大于0.99，則n滿足下式：1?(0.996)n>0.99，即 (0.996)n<0.01.,兩邊取對(duì)數(shù)得 nlg0.996<lg0.01.,于是 n>lg0.01/lg0.996≈1148.998.,故取n=1149，就能使飛機(jī)被擊中的概率不小于0.99.,例4 在可靠性理論中，每個(gè)元件能正常工作的概率，稱為元件的可靠性；

15、由元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率，稱為該系統(tǒng)的可靠性.,設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r(0<r<1)，且各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的.試求下面的系統(tǒng)Ⅰ(圖1)和系統(tǒng)Ⅱ(圖2)的可靠性，并比較二系統(tǒng)的可靠性的大小.,解 先討論系統(tǒng)Ⅰ.,在圖2.1中的每條通路要能正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)通路上各元件能正常工作，其可靠性為RC=rn .,亦即各通路發(fā)生故障的概率為1?rn.,由于系統(tǒng)Ⅰ是由兩條通路并聯(lián)而成的，故兩條通路同時(shí)發(fā)

16、生故障的概率為(1?rn)2.,因此，系統(tǒng)Ⅰ的可靠性為RS=1?(1?rn)2=rn(2?rn)=RC(2?RC).,由于RC1，從而RS>RC .這表示增加一條通路，能使系統(tǒng)增加可靠性.,解 現(xiàn)討論系統(tǒng)Ⅱ.,對(duì)于系統(tǒng)Ⅱ，每對(duì)并聯(lián)元件的可靠性為 R’=1?(1?r)2=r(2?r).,因?yàn)橄到y(tǒng)Ⅱ是由各對(duì)并聯(lián)元件串聯(lián)而成的，故其可靠性為R’S=(R’)n=rn(2?r)n.,顯然 R’S>RC .因此，用附加元件的方法

17、也同樣能增加系統(tǒng)的可靠性.,利用數(shù)學(xué)歸納法不難證明，當(dāng)n≥2時(shí)，有(2?r)n>2?rn.即 R’S>RS.,因此，雖然上面的兩個(gè)系統(tǒng)同樣由2n個(gè)作用相同的元件構(gòu)成，但系統(tǒng)Ⅱ的可靠性比系統(tǒng)Ⅰ的可靠性大.,定理：若P(A)>0，P(B)>0，則A與B相互獨(dú)立與A與B互不相容不能同時(shí)成立.,證明 若A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)>0從而AB≠Φ即A與B相容；,若A與B不相容，則AB=

18、Φ，從而P(AB)=0≠P(A)P(B)>0因此A與B不相互獨(dú)立.,3. 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、伯努利定理,在1.1中，曾經(jīng)提到過(guò)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，只有在相同條件下進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)或觀察才會(huì)顯示出來(lái).,這種在相同條件下重復(fù)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，就是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，它在概率論中占有很重要的地位，其定義如下：,定義 進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果在每次試驗(yàn)中，任意一個(gè)事件出現(xiàn)的概率與其它各次試驗(yàn)的結(jié)果無(wú)關(guān)，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的.,將一個(gè)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)

19、行n次的獨(dú)立試驗(yàn)稱n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).,例如，在相同條件下，進(jìn)行n次打靶試驗(yàn)，n次擲硬幣試驗(yàn)以及n次有放回的摸球試驗(yàn)等等，都是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)的簡(jiǎn)單例子.,定義 若一個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：A和Ac，則稱這個(gè)試驗(yàn)為伯努利(Bernoulli)試驗(yàn).它的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，稱為n重伯努利試驗(yàn).,定義 若一個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：A和Ac，則稱這個(gè)試驗(yàn)為伯努利(Bernoulli)試驗(yàn).它的n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，稱為n重伯努利試驗(yàn).,為了使語(yǔ)言形象化，

20、人們把伯努利試驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果之一的A叫做“成功”，其概率記為P(A)=p；另一個(gè)結(jié)果Ac叫做“失敗”，概率記為P(Ac)=q，這里p+q=1.,伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用很廣泛.有些試驗(yàn)的結(jié)果雖然不只兩個(gè)，但如果我們只注意某一個(gè)事件的發(fā)生與否，則也可以化為伯努利試驗(yàn).,例如，在電報(bào)傳輸中，既要傳送字母A,B,…,Z；又要傳送其它的符號(hào).,但是假如我們所關(guān)心的只是字母在傳送中所占的百分比，而不再區(qū)別到底是哪一個(gè)字母，則可以把出

21、現(xiàn)字母當(dāng)作是“成功”，出現(xiàn)其它的符號(hào)一律當(dāng)作是“失敗”.這時(shí)就可以把問(wèn)題看成是伯努利試驗(yàn)了.,例5 設(shè)某射手的射擊命中率為p(0<p<1)，現(xiàn)進(jìn)行3次射擊，求他恰好命中2次的概率？,解: 設(shè)A表示事件“恰好命中兩次”，Ai表示“第i次射擊命中”，則A=A1A2A3c+A1A2cA3+A1cA2A3 .,由于A1A2A3c、A1A2cA3、A1cA2A3互不相容，故P(A)=P(A1A2A3c)+P(A1A2cA3)+P(

22、A1cA2A3).,又由事件A1、A2、A3相互獨(dú)立，從而P(A)=3p2q=C32p2q其中，p+q=1.,在n重伯努利試驗(yàn)中，成功的次數(shù)可能是0,1,2,…,n次.,關(guān)于成功恰好出現(xiàn)k次的概率Pn(k)，有下面的定理.,定理 設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p(0<p<1)，則在n重伯努利試驗(yàn)中成功恰好發(fā)生k次的概率為,其中，p+q=1，k=0,1,2,…,n.,證 設(shè)Bk表示成功恰好發(fā)生k次的事件，Ai表示第i次試驗(yàn)中成

23、功的事件，Aic表示第i次試驗(yàn)中失敗的事件，則,前式右端的每一項(xiàng)，表示某k次試驗(yàn)成功，而另次n?k試驗(yàn)失敗.這樣的項(xiàng)一共有Cnk個(gè)，而且兩兩互不相容.,由于試驗(yàn)的獨(dú)立性，前式中的第一項(xiàng)的概率為,同理其它各項(xiàng)的概率也是pkqn-k個(gè).利用概率的有限加法公式得到,推論,這是因?yàn)?注意到,恰好是(p+q)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)，所以公式,被稱為二項(xiàng)概率公式.,該定理稱為伯努利定理,例6 已知一大批某種產(chǎn)品中有30%的一級(jí)品，現(xiàn)從中抽取5個(gè)樣品，求

24、（a）5個(gè)樣品中恰有兩個(gè)一級(jí)品的概率，（b）5個(gè)樣品中至少有兩個(gè)一級(jí)品的概率？,解一: 題中的抽樣方法是不放回的抽樣，,但由于這批產(chǎn)品的總數(shù)很大，而抽樣的數(shù)量相對(duì)于總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小，因而可以作為有放回抽樣來(lái)處理.,這樣做雖然會(huì)有誤差，但影響不會(huì)太大.,因此可以將檢查5個(gè)樣品是否是一級(jí)品，看成是5重的伯努利試驗(yàn)，而成功的概率為0.3，失敗的概率為0.7.,設(shè)Ai表示5個(gè)樣品中恰有i個(gè)一級(jí)品的事件(i= 0,1,…,5)，它們是互不相容的

25、.,由二項(xiàng)概率公式得,（a）,（b）設(shè)A表示5個(gè)樣品中至少有兩個(gè)一級(jí)品的事件，則,解二:,例7 填空題設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 ( ).,（答案：1/3 ).,解：由已知,得,所以,例8 填空題一射手對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為80/81，則該射手的命中率為 ( ).,（答案：2/3 ).,解：由已知,得,所以,例9

26、 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.70可以直接出廠；以概率0.30需要進(jìn)一步調(diào)試.經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠，以概率0.20定為不合格產(chǎn)品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）. 求：全部能出廠的概率α；其中恰好有兩件不能出廠的概率β ；其中至少有兩件不能出廠的概率γ.,答案：,解：設(shè)A表示“儀器能出廠”，B表示“直接出廠”，C表示“儀器需要調(diào)試”，則A?B∪C，從而由全概率公式有,(