全概率公式及其應(yīng)用doc

1、全概率公式及其應(yīng)用全概率公式及其應(yīng)用(清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系葉俊葉俊)命題趨勢(shì)命題趨勢(shì):即使是填空題和選擇題，只考單一知識(shí)點(diǎn)的試題很少，大多數(shù)試題是考查考生的理解能力和綜合應(yīng)用能力。要求大家能靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，建立起正確的概率模型，綜合運(yùn)用極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極值、積分、廣義積分以及級(jí)數(shù)等知識(shí)去解決問題。1.1.全概率公式和全概率公式和Bayes公式公式概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計(jì)算來推算較

2、復(fù)雜事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了這樣的作用。對(duì)一個(gè)較復(fù)雜的事件A，如果能找到一伴隨A發(fā)生的完備事件組，而計(jì)算各個(gè)的概率?21BBiB與條件概率相對(duì)又要容易些，這時(shí)為了計(jì)算與事件A有關(guān)的概率，可能)|(iBAP需要使用全概率公式和Bayes公式。背景：背景：例如，在醫(yī)療診斷中，為了診斷出現(xiàn)癥狀的患者，到底患了疾病A中的哪一種，可用Bayes公式算出在癥狀的情況下，起因于疾病的BB12?ABi概率，而后按各個(gè)后驗(yàn)概率的大

3、小來推斷患者患哪種病的可能性PBAi()PBAi()最大完備事件組的理解：完備事件組的理解：所有病因都知道，且沒有并發(fā)癥。定義定義稱事件族為樣本空間的一個(gè)劃分劃分（也稱為一?21BB??21BB個(gè)完備的事件組），如果滿足且。進(jìn)而，如還)(jiBBji????????iiB?1有則稱為樣本空間的一個(gè)正劃分正劃分。210)(???iBPi?21BB?一般地，劃分可用來表示按某種信息分成的不同情況的總和，若劃分越細(xì)則相應(yīng)的信息更詳盡。定理定理

4、1(全概率公式全概率公式)設(shè)事件為樣本空間的一個(gè)正劃分，則對(duì)任...21BB?何一個(gè)事件有A)()()(1iiiBAPBPAP????定理定理2(Bayes公式公式)設(shè)為樣本空間的一個(gè)正劃分事件滿足?21BB?A5253215121?????(2)由條件概率的定義和全概率公式，知)()()|(12112APAAPAAPq??=)|()()|()()(1221212111HAAPHPHAAPHPAP?==]2930171821495091

5、021[25???????...48557.0]2951499[41??例3采購員要購買10個(gè)一包的電器元件.他的采購方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)如這3個(gè)元件都是好的他才買下這一包.假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，而其余包中各含1個(gè)次品.求采購員拒絕購買的概率。解記BBA1241???取到的是含個(gè)次品的包取到的是含個(gè)次品的包采購員拒絕購買則構(gòu)成樣本空間的一個(gè)正劃分，且又由古典概型BB12PBPB().()..120307??計(jì)算知103

6、1)(651)(310392310361??????CCBAPCCBAP從而由全概率公式得到.502310310765103)()()()()(2211???????BAPBPBAPBPAP例4已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件放入乙箱后，試求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。解設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”根據(jù)全概率公式有?????30)()|()(k