淺談?wù)?guī)子群與理想畢業(yè)論文

1、1淺談?wù)?guī)子群與理想淺談?wù)?guī)子群與理想一、正規(guī)子群是群論的核心部分，對刻畫群的性質(zhì)有十分重要的作用.下面給出正規(guī)子群的定義：定義：一個群的一個子群叫做一個正規(guī)子群，假如對的每一個元來說，GNGa都有.NaaN?例1、交換群的任意子群都是的正規(guī)子群。因為對任意有GHGaG?.||aHahhHhahHHa?????由于正規(guī)子群僅要求的兩個形如與的子集相等，這與中任何兩個元GaHHaG素可交換，即，是有區(qū)別的，關(guān)于這一點，要引起我們的注意.a

2、babba?理想的定義：設(shè)是環(huán)的一個非空子集，如果IR(1)對任意有abI?abI??(2)對任意任意有aI?rR?arraR?則稱是環(huán)的一個理想.IR由于（1），一個理想是一個加群。由于（2），對于乘法來說是閉的，所以一I個理想一定是一個子環(huán)，但（2）不僅要求的兩個元的乘積必須在里，而且進一II步要求，的一個任意元同的一個任意元的乘積都必須在里.IRI例1、在整數(shù)環(huán)中，則Z12|2InnZZ???2|IannZaZ???()aZ?1I

3、是的理想.2IZ二、下面我們給出正規(guī)子群與理想性質(zhì)的比較（一）性質(zhì)1：設(shè)是的子群，則以下幾個命題是互相等價的：HG(1)對任意有aG?aHHa?(2)對任意任意的有aG?hH?1ahaH??(3)對任意有aG?1aHaH??(4)對任意有.aG?1aHaH??證明：(1)(2)：對任意任意的有?aG?hH?111ahHaahhaahahH???????(2)(3):，推出?1ahaH??1ahaH??3所以是一個交換群，從而得的任意子群

4、必是正規(guī)子群。所以也是的正HHKH規(guī)子群。但是，不是的正規(guī)子群，例如，我們?nèi)G1101k???????0.5101G???????則.10.51110.5110.501010101k???????????????????????????(2)環(huán)的理想的理想未必是環(huán)R的理想R解，矩陣環(huán)是環(huán)的理|abRabcdZcd????????1212343422|22kkIkkkkZkk????????R想.是的一個理想但不是的理想.1212343

5、424|44aaMaaaaZaa????????IMR我們?nèi)【仃?，?。?000M???????1111R???????112020110020M????????????????????3、兩個正規(guī)子群的交集還是正規(guī)子群證明：設(shè)是群的兩個正規(guī)子群，且設(shè)12NNG1212NNNN????。由題意可知存在，則，對于任意，又因為12NNN??nN?1nN?2nN?aG?是群的正規(guī)子群。所以.所以12NNG11anaN??12anaN??112a

6、naNNN????是群的正規(guī)子群.12NNN??G推論：群的若干個正規(guī)子群的交仍是正規(guī)子群.G環(huán)的兩個理想的交仍是環(huán)的理想.RR證明：設(shè)是環(huán)的兩個理想。再設(shè)12IIR12III??（1）對于則.又因為是環(huán)的兩個理想所以abI?1abI?2abI?12IIR則，.1abI??2abI??abI??（2）則對于任意有.所以aI?1aI?2aI?rR?12arII?12raII?.即.所以根據(jù)理想的定義，是環(huán)的理12arII??12raII?