芝諾悖論的意義

1、芝諾悖論的意義芝諾悖論的意義芝諾(ZenoofElea)（大約公元前490年——公元前425年)主要研究數(shù)學(xué)與哲學(xué)。芝諾生活在古代希臘的埃利亞城邦。他是埃利亞學(xué)派的著名哲學(xué)家巴門尼德的學(xué)生和朋友。芝諾因其悖論而著名，并因此在數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩方面享有不朽的聲譽。數(shù)學(xué)史家F卡約里（Caji）說，“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續(xù)性、無限大和無限小這些概念的歷史?！边z憾的是，芝諾的著作沒有能流傳下來，我們是通過批評他的亞里士多德及其注釋者辛普里西

2、奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。直到19世紀(jì)中葉，人們對于亞里士多德關(guān)于芝諾悖論的引述及批評幾乎是深信不疑的，普遍認(rèn)為芝諾悖論只不過是一些有趣的謬見。英國數(shù)學(xué)家B羅素（Russell）感慨地說道：“在這個變化無常的世界上，沒有什么比死后的聲譽更變化無常了。死后得不到應(yīng)有的評價的最顯眼的犧牲品莫過于埃利亞的芝諾了。他雖然發(fā)明了4個無限微妙、無限深邃的悖論，后世的大批哲學(xué)家們卻宣稱他只不過是一個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。柏拉圖

3、在他的《巴門尼德》篇中，記敘了芝諾和巴門尼德在公元前5世紀(jì)的中期去雅典的一次訪問。其中說：“巴門尼德年事已高，約65歲，滿頭白發(fā)，但儀表堂堂。那時芝諾約40歲，身材魁梧而美觀?！辈⒃跁杏浭隽酥ブZ的觀點。據(jù)說芝諾在為巴門尼德的“存在論”辯護(hù)。但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是“一”不是“多”，是“靜”不是“動”，他常常用歸謬法從反面去證明：“如果事物是多數(shù)的，將要比是‘一’的假設(shè)得出更可笑的結(jié)果?！彼猛瑯拥姆椒?，巧妙地構(gòu)想出一

4、些關(guān)于運動的論點。他的這些議論，就是所謂“芝諾悖論”。芝諾有一本著作《論自然》。在柏拉圖的《巴門尼德》篇中，當(dāng)芝諾談到自己的著作時說：“由于青年時的好勝著成此篇，著成后，人即將它竊去，以致我不能決斷，是否應(yīng)當(dāng)讓它問世。”公元5世紀(jì)的評論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評注中說，芝諾從“多”和運動的假設(shè)出發(fā)，一共推出了四十個各不相同的悖論。芝諾的著作久已失傳，亞里士多德的《物理學(xué)》和辛普里西奧斯為《物理學(xué)》作的注釋是了解芝諾悖

5、論的主要依據(jù)，此外還有少量零星殘篇可提供佐證?，F(xiàn)存的芝諾悖論至少有八個，其中最著名的是關(guān)于運動的四個悖論。下面就是這四個悖論。引號內(nèi)的是亞里士多德的《物理學(xué)》中的原話?！舳终f?！斑\動不存在”。理由是：位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處?！癑伯內(nèi)特（Bur）解釋說：即不可能在有限的時間內(nèi)通過無限多個點。在你走完全程之前必須先走過給定距離的一半，為此又必須走過一半的一半，等等，直至無窮。◆阿基里斯（Achilles，荷馬史詩《伊里亞

6、特》中的善跑猛將）追龜說?！斑@個論點的意思是說：一個跑得最快的人永遠(yuǎn)追不上一個跑得最慢的人。因為追趕者首先必須跑到被追者的起跑點，因此走得慢的人永遠(yuǎn)領(lǐng)先?！辈畠?nèi)特解釋說，當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。4)一個區(qū)間的長度不是它的基數(shù)的函數(shù)。因此，芝諾的假設(shè)ii)不能成立。事實上，將一個線段（或別的量）按二分法進(jìn)行無限分割，

7、不可能有最后元素。因為既是無限分割，它就是一個沒有最后一項的永遠(yuǎn)不能完成的過程。在取極限的意義上，按結(jié)論1)，有限區(qū)間(a，b)成為不可數(shù)的無限個退化子區(qū)間的并集，這時雖然每個退化子區(qū)間(或每個點)的長度為0，但整個并集的長度不是0，而是b—a(按結(jié)論3))。這樣，作為對芝諾和亞里士多德的回答，時間和距離都是作為無長度元素(點)的無窮集合的線性連續(xù)統(tǒng)。換言之，線段是點的無窮集合，而時間是無廣延的瞬刻的無窮集合，它們都是線性連續(xù)統(tǒng)。這樣，

8、飛箭靜止說這一悖論，原來指在任一給定的瞬刻是不動的但在由無限多瞬刻組成的連續(xù)體上卻是動的，現(xiàn)在轉(zhuǎn)換成一個新的“悖論”：由無廣延的點組成的無窮集卻有廣延。這是古代文獻(xiàn)中第一個涉及相對運動的問題，在現(xiàn)存的芝諾悖論中，它是唯一的和連續(xù)統(tǒng)問題無關(guān)的問題。不過也有學(xué)者(例如P。湯納利等人)認(rèn)為它和連續(xù)統(tǒng)問題是有著某種聯(lián)系的?！緦χブZ的評價、研究及起對后世的影響對芝諾的評價、研究及起對后世的影響】19世紀(jì)下半葉學(xué)者們開始重新研究芝諾，他們推測芝諾的

9、理論在古代沒有得到完整的、正確的報道，而是被詭辯家們用作倡導(dǎo)懷疑主義和否定知識的工具，從而背離了芝諾的真正宗旨。而亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。然而迄今為止，學(xué)者們還找不出可靠的證據(jù)足以推翻亞里士多德和辛普里西奧斯關(guān)于芝諾悖論的記述。由于目前對希臘哲學(xué)史了解得還不夠，對于芝諾提出這些悖論的目的何在尚不清楚。比較一致的意見是：芝諾關(guān)于運動的悖論并不是簡單地否認(rèn)運動，芝諾責(zé)難“多”也不是簡單地把兩只羊說成一只羊。

10、在這些悖論后面有著更深層的內(nèi)涵。亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意，功不可沒，但是他對于芝諾悖論的分析和批評并非十分成功，是值得重新研究的。關(guān)于芝諾悖論對于古代希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性，在科學(xué)史學(xué)者中的意見是很不一致的。P湯納利首先提出，芝諾和巴門尼德哲學(xué)的關(guān)系并不如古代傳說中所肯定的那樣密切。相比之下，因畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量而出現(xiàn)的一些問題，對于芝諾具有更加深刻的影響。基于同樣的假設(shè)，H.赫斯(Hasse)和H斯科爾斯(Scho

11、lz)想把芝諾說成是對古代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向起決定影響的人物。他們試圖證明，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾假定存在無限小的基本線段(初等線段)，想以此來克服因發(fā)現(xiàn)不可公度量而引起的困難。芝諾所反對的正是這種處理無窮小的不準(zhǔn)確的做法，從而迫使下一代的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家去探求更好、更準(zhǔn)確的基礎(chǔ)。另有一些學(xué)者持有完全不同的意見。BL范德瓦爾登指出，我們已知的關(guān)于公元前五世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)理論——不可公度量的發(fā)現(xiàn)無疑是那個時代作出的——并不支持芝諾曾經(jīng)對那個時

12、代的數(shù)學(xué)發(fā)展作過任何重大貢獻(xiàn)的說法。雖然芝諾時代已經(jīng)過去二千四百多年了，但是圍繞芝諾的爭論還沒有休止。不論怎樣，人們無須擔(dān)心芝諾的名字會從數(shù)學(xué)史上一筆勾銷。正如美國數(shù)學(xué)史家E.T.貝爾(Bell)所說，芝諾畢竟曾“以非數(shù)學(xué)的語言，記錄下了最早同連續(xù)性和無限性格斗的人們所遭遇到的困難?！敝ブZ的功績在于他在柏拉圖學(xué)園中多次發(fā)起關(guān)于動和靜的關(guān)系、無限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系的討論。引起人們對他提出的這些悖論的關(guān)注與研究。雖然人們無法判斷