無限長單位脈沖響應(yīng)iir濾波器設(shè)計(jì)

1、第三章 無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計(jì),二、雙線性變換法 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z＝esT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步： 第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里； 第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。 由此建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，

2、也就消除了混淆現(xiàn)象。,s平面,s1平面,z平面,雙線性變換法的映射關(guān)系,為了將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面jΩ1軸上的－π/T到π/T 一段上，可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：這里C是待定常數(shù)。經(jīng)過這樣的頻率變換，當(dāng)Ω由 時, Ω1由-π/T經(jīng)過０變化到π/T ，即S平面的整個jΩ軸被壓縮到S1平面的－π/T到π/T 。,將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個S平面，則得到S平面到S1平面的映射關(guān)系：

3、 再將 S1 平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面，即令,通常取C=2/T，,,考慮z = ejω,,圖1 雙線性變換的頻率關(guān)系,最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系： 雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是S平面與Z平面一一單值對應(yīng)，S平面的虛軸(整個jΩ)對應(yīng)于Z平面 單位圓的一周，S平面的Ω=0處對應(yīng)于Z平面的ω=0處。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折迭頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效

4、應(yīng)。,,現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時，從 S平面到Z平面映射變換的二個基本要求：① 當(dāng) 時，代入(1)式，得：對于虛軸 ,即S平面的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。,② 代入(2)式,當(dāng) 時，,即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外

5、，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。,小結(jié) 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系(靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到的)，即整個jΩ軸單值的對應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為： 可見，ω和Ω為非線性關(guān)系，如圖2。,由圖中看到，在零頻率附近，Ω～ω接近于線性關(guān)系，Ω進(jìn)一步增加時, ω增長變得緩慢，(ω終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折

6、疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。,圖2 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系,2)雙線性變換缺點(diǎn)： Ω與ω成非線性關(guān)系，導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。 例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器,b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。,雖然雙線性變換有這樣的

7、缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。,,例如，一個考爾(橢圓)型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特

8、性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正。,預(yù)畸變：即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。 利用關(guān)系式： 將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn) ,變換成對應(yīng)的模擬域頻率 , 利用此設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其

9、臨界頻率正是 。如圖所示。,雙線性變換時頻率的預(yù)畸,,,,,３)計(jì)算H(Z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 置換過程: 頻響：,這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對于II

10、R的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換。,§3.2 常用模擬低通濾波器特性,為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法，高通、帶通 、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器特性。,因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)?！?不難看出,定義振幅平方函數(shù),式中 Ha(s)—

11、模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(jΩ)—濾波器的頻率響應(yīng) |Ha(jΩ)|—濾波器的幅頻響應(yīng)又 S=jΩ，Ω2=-S2∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ,問題：由A(-S2)→Ha(S),對于給定的A(-S2)，先在S復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由(1)式知，A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)總是“成對出現(xiàn)”，且對稱于S平面的實(shí)軸和虛軸，選用A(-S2)的對稱極、零點(diǎn)的任一半作為Ha

12、(s)的極、零點(diǎn)，則可得到Ha(s)。 為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在S左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半。,書上例子,設(shè)已知幅度平方函數(shù)A(Ω2) = ,求對應(yīng)的模擬系統(tǒng)傳輸函數(shù)Ha(s),令s=jΩ，帶入表達(dá)式得：,這4個極點(diǎn)和2個零點(diǎn)在s平面上的分布如圖所示。,,S平面左半平面的2個極點(diǎn)和一個零點(diǎn)構(gòu)成Ha(s),右半平面的2個極點(diǎn)和一個零點(diǎn)構(gòu)成

13、Ha(-s)。則：,三種模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)：1)巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器) (巴特沃茲逼近) 特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f↗，幅頻特 性 單調(diào)↘。 其幅度平方函數(shù)：,N為濾波器階數(shù)，如圖1,圖1 巴特沃茲濾波器 振幅平方函數(shù),通帶: 使信號通過的頻帶 阻帶：抑制噪聲通過的頻帶 過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范

14、圍 Ωc ：截止頻率。 過渡帶為零， 阻帶|H(jΩ)|=0 通帶內(nèi)幅度|H(jΩ)|=cons.， H(jΩ)的相位是線性的。,,理想濾波器,圖1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。通

15、帶內(nèi)，分母Ω/Ωc1， ( Ω/Ωc)2N 》1, Ω增加， A(Ω2)快速減小。Ω=Ωc, ， ,幅度衰減 ，相當(dāng)于3db衰減點(diǎn)。,振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)： 令分母為零，得 可見，Butter worth濾波器的幅度平方函數(shù)

16、有2N個極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=Ωc的圓周上。,,圖2 三階A(-S2)的極點(diǎn)分布,例：N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖。,考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(diǎn)(SP3，SP4，SP5)組成的，它們分別為：,系統(tǒng)函數(shù)為：,令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話，則有,2)切比雪夫(chebyshev)濾波器 (切比雪夫多項(xiàng)式逼近) (選講) 特點(diǎn)

17、：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率 處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次(N)很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的 。,切比雪夫?yàn)V波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。可根據(jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量(波動范

18、圍)提出要求，如要求波動范圍小于1db。,振幅平方函數(shù)為 —有效通帶截止頻率— 與通帶波紋有關(guān)的參量， 大 ，波紋大。 0 < <1,VN(x)—N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為,雙曲余弦 cosh(x)=,cosh(x),acosh(x),N為偶數(shù)，

19、 ，min ， N為奇數(shù)， ， max，,,當(dāng) Ω=0時，,如圖1 ，通帶內(nèi) 變化范圍,Ω＞Ωc ，隨Ω/Ωc ↗， →0 (迅速趨于零),切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性,有關(guān)參數(shù)的確定:

20、 a、通帶截止頻率 ，預(yù)先給定 b、由通帶波紋表為 給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求 。,c、階數(shù)N—由阻帶的邊界條件確定。( 、A事先給定),3、橢圓濾波器(考爾濾波器)(選講)特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得

21、較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為,RN(Ω，L)—雅可比橢圓函數(shù)L—表示波紋性質(zhì)的參量,N=5， 的特性曲線,可見，在歸一化通帶內(nèi)(-1≤Ω≤1)， 在(0，1)間振蕩，而超過ΩL后， 在

22、 間振蕩。 這一特點(diǎn)使濾波器同時在通常和阻帶具有任意衰減量。,下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)  橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中ε和A的定義同切比雪夫?yàn)V波器,Ωr,Ωr,當(dāng)Ωc、Ωr、ε和A確定后，階次N的確定方法為：式中