數(shù)控編程中的數(shù)值計算

1、第三章 程序編制中的數(shù)值計算,§3.1 數(shù)值計算的內(nèi)容§3.2 簡單輪廓的基點計算§3.3 非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)的計算§3.4 列表曲線節(jié)點坐標(biāo)的計算§3.5 刀位軌跡的坐標(biāo)計算§3.6 曲面加工中的數(shù)值計算,,,§3.1 數(shù)值計算的內(nèi)容,數(shù)控機床的控制系統(tǒng)主要進行的是位置控制，即控制刀具的切削位置。數(shù)控編程的

2、主要工作就是把加工過程中刀具移動的位置按一定的順序和方式編寫成程序單，輸入機床的控制系統(tǒng)，操縱加工過程。刀具移動位置是根據(jù)零件圖紙，按照已經(jīng)確定的加工路線和允許的加工誤差（即容差：用插補線段逼近實際輪廓曲線時允許存在的誤差）計算出來的。這一工作稱為數(shù)控加工編程中的數(shù)值計算。數(shù)值計算主要用于手工編程時的輪廓加工 。,數(shù)控加工編程中的數(shù)值計算主要包括：,工件零輪廓中幾何元素的基點插補線段的節(jié)點刀位軌跡坐標(biāo)計算輔助計算等內(nèi)容,基點,基點

3、就是構(gòu)成零件輪廓的各相鄰幾何元素之間的交點或切點。如兩直線的交點、直線與圓弧的交點或切點、圓弧與二次曲線的交點或切點等等，均屬基點。一般來說，基點的坐標(biāo)根據(jù)圖紙給定的尺寸，利用一般的解析幾何或三角函數(shù)關(guān)系不難求得。,,節(jié)點,節(jié)點是在滿足容差要求條件下用若干插補線段（如直線段或圓弧段等）去逼近實際輪廓曲線時，相鄰兩插補線段的交點。節(jié)點的計算比較復(fù)雜，方法也很多，是手工編程的難點。有條件時，應(yīng)盡可能借助于計算機來完成，以減少計算誤差并減輕編

4、程人員的工作量。一般稱基點和節(jié)點為切削點，即刀具切削部位必須切到的點。,,刀位軌跡的坐標(biāo)計算,刀位點是指刀具上代表刀具在工件坐標(biāo)系中所在位置的一個點。刀位詭計即指刀位點在工件坐標(biāo)系中運動時所描述的軌跡，又稱為刀具路徑。刀具中心位置是刀具相對于每個切削點刀具中心所處的位置。因為刀具都有一定的半徑，要使刀具的切削部位切過輪廓的基點和節(jié)點，必須對刀具進行一定的偏置。對于沒有刀具偏置功能的數(shù)控系統(tǒng)，應(yīng)計算出相對于基點和節(jié)點的刀具中心位置軌

5、跡。對于具有刀具偏置功能的數(shù)控系統(tǒng)，加工某些內(nèi)腔型面時，往往也要求計算出刀具中心軌跡的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。,,輔助計算,輔助計算包括以下內(nèi)容：1）增量計算 對于增量坐標(biāo)的數(shù)控系統(tǒng)，應(yīng)計算出后一節(jié)點相對前一節(jié)點的增量值2）輔助程序段的數(shù)值計算 對刀點到切入點的程序段，以及切削完畢后返回到對刀點的程序均屬輔助程序段。在填寫程序單之前，輔助程序段的數(shù)據(jù)也應(yīng)預(yù)先確定。,,§3.2 簡單輪廓零件的基點計算,基點的計算,一零件輪廓如圖所示

6、，其中A、B、C、D、E、F為基點， A、B、C、D、可直接由圖中所設(shè)工件坐標(biāo)系中得知。E點是直線DE與EF的交點，F(xiàn)是直線EF與圓弧AF的切點。分析可知，OF與X軸的夾角為30°，EF與X軸夾角為120°，則FX = 20 cos30°=17.321 FY = 20 sin30°= 10∵ EY = 30 ∴ EX = FX -（EY - FY ）/ tg60

7、°= 5.774,一、直接計算法,例1 計算圖中4*R12圓弧與各直線相切的切點坐標(biāo)。,十字配合件,局部放大圖,,分為三步進行：1）按點斜式列出兩直線方程，聯(lián)立求解兩直線交點C的坐標(biāo)。2）在直角三角形O1CA中，利用三角函數(shù)關(guān)系求出CA長S。3）利用三角函數(shù)關(guān)系求出A、B兩點在XOY坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。,局部放大圖,1）確定斜直線方程,2）在直角三角形O1CA中，利用三角函數(shù)關(guān)系求出CA長S,3）利用三角函數(shù)關(guān)系求出A、

8、B兩點在XOY坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。,例2 計算加工中心試件各相鄰圓弧間的切點坐標(biāo)。,,加工中心試件,試件計算圖,,A點,,B點,B點,二、由方程導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)計算式,圖上多數(shù)坐標(biāo)點，可用直接計算法求解。但需要采用解聯(lián)立方程組求解某點坐標(biāo)時，需要方程組求解比較簡便。事先導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)計算式，計算時直接套用該標(biāo)準(zhǔn)計算式即可。常用的三種標(biāo)準(zhǔn)計算式1.直線與直線相交2.直線與圓弧相交或相切3.圓弧與圓弧相交或相切,1.直線與直線相交,,2.直線與圓弧

9、相交,,3.圓弧與圓弧相交或相切,例3 確定基點坐標(biāo)A、B、C、D、E點,,,,三、三角函數(shù)法,直線和圓弧組成的零件輪廓，用方程組法公式過于復(fù)雜，可用三角函數(shù)法進一步簡化。,,三角函數(shù)法對以上計算規(guī)則進行研究并考慮幾何圖形所處象限或方位變化，無需在土中添加過多的輔助線，只利用圖形的三角函數(shù)關(guān)系計算基點坐標(biāo)。以下介紹四種類型。,,,,,§3.3 非圓曲線節(jié)點坐標(biāo)的計算,大多數(shù)銑床或加工中心都具有直線及圓弧插補功能，因此在加

10、工由直線、圓弧組成的平面輪廓時，只需進行各基點的數(shù)值計算，不涉及節(jié)點計算問題。但若零件輪廓不是直線和圓弧組合而成，則要用直線段或圓弧段去逼近輪廓曲線，故要進行相應(yīng)的節(jié)點計算。 ?,非圓曲線數(shù)值計算的一般步驟,1.選擇插補方式2.確定編程允許誤差3.選擇數(shù)學(xué)模型、確定計算方法4.根據(jù)算法，畫出計算機流程圖5.編寫程序，

11、求解坐標(biāo)數(shù)據(jù),幾種常用插補方法中節(jié)點坐標(biāo)的計算：,直線逼近法等間距直線逼近的節(jié)點計算等步長插補法等誤差插補法圓弧逼近算法,1.直線逼近算法,等間距法是將某一坐標(biāo)軸劃分成相等的間距。在x軸方向取Δx為等間距長，根據(jù)已知曲線的方程y=f（x），可由xi求得yi，xi+1=xi+ Δx，yi+1=f （xi+1）。如此求得的一系列點就是節(jié)點。,一般取,一般取Δx=0.1進行試算，僅需校驗曲率半徑最小處和兩節(jié)點間距離最長處的誤差。,2．

12、等步長插補法,,等步長是指插補的直線段長度相等，而插補誤差則不一定相同。計算插補節(jié)點時，必須使產(chǎn)生的最大插補誤差δmax小于或等于容許的插補誤差δ，以滿足加工精度的要求。圖所示為一段輪廓曲線。設(shè)曲線方程為 y = f（x），則等步長插補節(jié)點的計算步驟為：,2．等步長插補法,1)求曲線段的最小曲率半徑Rmin,最大插補誤差δmax必在最小曲率半徑Rmin處產(chǎn)生，已知曲線曲率半徑為：

13、 R = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / ∣y″∣ （3-1） 欲求最小曲率半徑，應(yīng)將式（2-1）對x求一階導(dǎo)數(shù)，即dR / dx ={ 3（y″）2 y′[1+（y′）2]1/2 - [1+（y′）2]3/2 y″′ } /（y″）2 令dR / dx = 0，得 3(y″）2y′-[1+（y′）2]y″′= 0 （3-2） 由此可求出最小曲率

14、半徑處的x值。將此值代入式(3-1)，可得Rmin 。,2）求插補步長h,在三角形△ofg中，有 （ｈ/ 2）2 = R2 – （R –δmax ）2 取δmax =δ（一般取零件公差的1/5～1/10）， R = Rmin ，則插補步長ｈ為 h ≈ √ 8Rminδ,,3）求插補節(jié)點,步長ｈ

15、確定之后，以曲線的起點a（x0，y0）為圓心，步長ｈ為半徑作圓，該圓與曲線的交點b，即為第一個插補節(jié)點。即聯(lián)立方程 y = f（x） （x – x0）2 + （y – y0）2 = 8 Rminδ 的解（x1，y1），即為b的坐標(biāo)。再以b點為圓心，重復(fù)3），即可求得下一插補節(jié)點。依此類推，可求得y = f（x）的全部插補節(jié)點。,,例 一輪廓曲線

16、方程為x2 = 4ay起點為（0，0）。則 y′= x / 2a y″= 1 / 2a y″′ = 0 代入式（3-2） 3(y″）2y′-[1+（y′）2]y″′= 0 ，再將所的結(jié)果x = 0 代入式（3-1） R = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / ∣y

17、″∣可得 Rmin = 2a ，將Rmin代入式（3-3），得 ｈ≈ √ 16aδ 最后由式（3-4）解聯(lián)立方程：,,x2 = 4 a y x 2 + y 2 = 16 aδ 即可得第一個插補節(jié)點。重復(fù)步驟3），可求得其余插補節(jié)點。

18、等步長插補法，計算過程比較簡單，但因步長取決于最小曲率半徑，致使曲率半徑較大處的節(jié)點過多過密，所以等步長法只對于曲率半徑變化不是太大的的曲線加工較為有利。,,,等誤差法可使各插補直線段的插補誤差小于或等于容許的插補誤差，其插補線段可長可短。該插補法適用于輪廓曲率變化比較大、形狀比較復(fù)雜的工件，是插補線段最少的方法。如圖所示，設(shè)輪廓曲線方程為y = f（x），插補容差為δ，則等誤差法插補節(jié)點的計算步驟為：,3.等誤差插補法,1）以曲線起點

19、（x0 ，y0）為圓心，δ為半徑作圓，圓方程為 （x – x0）2 + （y – y0）2 = δ2 2）作該圓與輪廓曲線y = f（x）的公切線，得到兩切點（ξ0 ，η0），（ξ1 ，η1），滿足下列聯(lián)立方程：對曲線

20、 f ′ （ξ1）=（η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0） f （ξ1）= η1 對圓 F ′（ξ0）=（η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0） F （ξ0）= η0式中，y = F（x）表示圓方程。由此可求得公切線得斜率k k = （η1

21、 -η0）/ （ξ1 -ξ0）,,3）過（x0 ，y0）點作公切線的平行線y – y0 = k（x – x0）4）將平行線方程與輪廓曲線方程聯(lián)立，可求得第一個節(jié)點坐標(biāo)（x1 ，y1）。 y = f（x） y – y0 = k（x – x0）依此類推，再以（x1 ，y1）點為圓心重復(fù)上述步驟，可求其余

22、插補節(jié)點。,,,用圓弧段逼近輪廓曲線是一種精度較高的插補方法。用這種方法插補輪廓曲線時，需計算出各插補圓弧段半徑、圓心及圓弧段的起點和終點（即輪廓曲線上的插補節(jié)點）。如圖所示，設(shè)輪廓曲線方程為y = f（x），插補容差為δ，圓弧插補節(jié)點的計算步驟如下：（1）曲率圓法圓弧逼近的節(jié)點計算,4．圓弧逼近算法,1）求曲線起點（x1 ，y1）處的曲率半徑R1

23、 R1 = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / |y″| 2）求（x1 ，y1）處的曲率圓的圓心坐標(biāo)（ζ1 ，η1） ζ1 = x1 – y′[1 +（y′）2 ] / y″ η1 = y1 + [1 +（y′）2] / y″,,3）以（ζ1 ，η1）為圓心，R1±δ為半徑的圓弧與曲線y = f（x）交點（x2

24、 ，y2），即插補節(jié)點。解聯(lián)立方程 y = f（x） （x –ζ1）2 + （y –η1）2 = （R1±δ）2 式中，當(dāng)輪廓曲線的曲率遞減時，取R1+δ為半徑；當(dāng)輪廓曲線的曲率遞增時，取R1 -δ半徑。解上述聯(lián)立方程得到的（x ，y），即為圓弧與曲線的交點（x2 ，y2）。曲線y = f（x）在（x1 ，y1）和（x2 ，y2）兩節(jié)點間的線段是以此為起、終點的圓弧替代的。

25、,,4）插補圓弧的圓心（λ1 ，μ1） 插補圓弧的圓心是這樣求得的：分別以（x1 ，y1）和（x2 ，y2）為圓心，以R1為半徑作兩段相交的圓弧，兩圓弧的交點即為所求的圓心。故須解下列聯(lián)立方程： （x1 –λ1）2 + （y1 –μ1）2 = R12 （x2 –λ1）2 +（y2 –μ1）2 = R12 求得的（λ1 ，μ1）即為插補圓弧段的圓心。重復(fù)上述過程，再從（x2 ，

26、y2）處開始，可求得曲線y = f（x）在（x2 ，y2）處的曲率半徑R2 和曲率圓圓心（ζ2 ，η2）及插補圓弧段的圓心（λ2 ，μ2）。依此類推，可完成全部插補節(jié)點、插補圓弧半徑及插補圓弧圓心的計算。,,,,2.三點圓法圓弧逼近的節(jié)點計算,三點圓法是在等誤差直線段逼近求出各節(jié)點的基礎(chǔ)上，通過連續(xù)三點作圓弧，并求出原心點的坐標(biāo)及圓弧半徑。如圖所示，首先從曲線起點開始，通過P1，P2，P3三點中任意兩點連線的中垂線上，據(jù)此可求出圓心點

27、坐標(biāo)及圓弧半徑。,,,,3.相切圓法圓弧逼近的節(jié)點計算,方法比較繁瑣，僅了解基本原理即可。如圖所示，通過曲線上A，B，C，D點作曲線的發(fā)現(xiàn)，分別交于M，N點，以M點為圓心，AM為半徑作圓M，以N為圓心，ND為半徑作圓，,若使圓M和圓N相切，必滿足采用此方法求解B，C，D三點坐標(biāo)值，要使用迭代法解聯(lián)立方程組，而且求解過程繁瑣。,1. 數(shù)控編程的數(shù)值計算包括哪些內(nèi)容？2. 基點和節(jié)點有什么區(qū)別？何為切削點？3. 等步長

28、法插補輪廓曲線，其插補節(jié)點的計算步驟是什么？試述其特點和適用范圍。4. 等誤差法插補輪廓曲線，其插補節(jié)點的計算步驟是什么？試述其特點和適用范圍。,思考與練習(xí),§3.4 列表曲線節(jié)點坐標(biāo)的計算,一、概述 零件的輪廓形狀除可用直線、圓弧及各種非圓曲線表達之外，還可以用列表曲線表示。所謂列表曲線是指零件圖樣上的曲線形狀是由一系列坐標(biāo)點所確定。列表曲線的表達形式來源于兩種情況：1）零件的輪廓形狀是通過實驗或測量的方法得到，

29、無法給出確定的函數(shù)表達式；2）編程員在處理非圓曲線時，為了便于求解節(jié)點坐標(biāo)，常按等間距對曲線進行分割，由計算機求解出大量的點坐標(biāo)數(shù)據(jù)。,采用直線方程或圓方程之外的其它數(shù)學(xué)方程式（如拋物線、三次樣條曲線）對列表點進行擬合，得到由多段參數(shù)不同但方程式表達形式完全相同的函數(shù)表達式，稱為第一次擬合；然后根據(jù)編程允差的要求，再對第一次擬合時的數(shù)學(xué)方程（稱為插值方程）進行插點加密，求得新的節(jié)點，再在新的節(jié)點之間采用直線或圓弧擬合，稱為第二次擬合

30、。,1.三次參數(shù)樣條曲線擬合所謂樣條：用模擬彈性梁彎曲變形的方法而模擬出的具有力學(xué)特性的曲線。,§3.5 刀位軌跡坐標(biāo)的計算,機床數(shù)控系統(tǒng)在控制刀具進行切削加工時，是按刀具中心（立銑刀是指刀具端面的中心位置）在工件坐標(biāo)系中的位置進行控制的。顯然刀具中心不能落在切削點上，因為刀具都有一定的尺寸，要使刀具的切削表面始終相切地經(jīng)過工件輪廓的切削點，必須對刀具進行一定的偏置。刀具偏置又稱刀具半徑補償或刀具半徑偏移。 ?,具有刀具中心

31、自動偏置功能的數(shù)控機床，可直接按零件輪廓切削點的位置進行編程，其刀具半徑偏置由數(shù)控系統(tǒng)自動調(diào)用預(yù)先存儲在刀具半徑補償?shù)刂分械臄?shù)值來實現(xiàn)。但對于沒有刀具自動偏置功能的數(shù)控系統(tǒng)，則需要計算出相對于切削點的刀具中心位置的坐標(biāo)作為編程數(shù)據(jù)。在平面輪廓加工中，常用立銑刀，設(shè)刀具半徑為R，若切削點的坐標(biāo)為（x ，y），切削點的法矢為n（n x ，n y），則相應(yīng)與切削點的刀具中心位置為：x刀 = x + R n xy刀 = y

32、+ R n y 由此可見，刀具一經(jīng)選定，只要求出各刀具切削位點的單位法矢，就可算出刀具中心的偏置位置，從而求得刀具中心規(guī)跡。這里主要給出三種切削點單位法矢的計算方法：直線段的單位法矢圓弧段上某切削點的單位法矢平面曲線上某切削點的單位法矢,直線段的單位法矢,設(shè)ab 為平面輪廓上一直線段，起點為a（ x a , y a ），終點為b （ x b , y b ），該定向直線段的單位矢量為：

33、 xb – xa yb - ya τ = {τx , τy } = L ， L 式中 L = √（ x b – x a ）2 +（ y b – y a）2 為直線段的長度。,,,,,顯然，直線上任一點處的單位矢量都是相同的。所以，直線 ab 上各點的單位法矢 n 也都是相同的。即 n

34、 = { nx ，ny } = {干τy ，±τx } 式中正負號的選取規(guī)定如下：順時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的左側(cè)（左偏置）或逆時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的右側(cè)（右偏置）取上方符號；順時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的右側(cè)（右偏置）或逆時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的左側(cè)（左偏置）取上方符號取下方符號。,,圓弧段上某切削點的單位法矢,設(shè)P為半徑為R、圓心為C的圓弧上任一切削點，圓弧在

35、P點處的單位法矢即為圓心C到P有向聯(lián)線的單位矢量。即 x p – x c y p – y c n = { n x ，n y } = ± R , ± R 當(dāng)?shù)毒咄馄茫ǖ毒呤冀K在圓弧的外側(cè)）時，兩分量均取上面正號；當(dāng)?shù)毒邇?nèi)偏置（刀具始終在圓弧內(nèi)側(cè)

36、）時，兩分量均取下面負號。,,,,,平面曲線上某切削點的單位法矢,設(shè)P為曲線f（x）上的任一切削點，則在該點的斜率為 tgα = f ′（x p）其單位切矢為 τ = {τx , τy } = { cosα，sinα} 相應(yīng)的單位法矢為 n = { n

37、x ，n y } = { 干τy ，±τx } 式中正負號選取規(guī)則同前：順時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的左側(cè)或逆時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的右側(cè)取上方符號；順時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的右側(cè)或逆時針方向走刀時，刀具始終位于工件輪廓的左側(cè)取上方符號取下方符號。,,3.相切圓法圓弧逼近的節(jié)點計算,方法比較繁瑣，僅了解基本原理即可。如圖所示，通過曲線上A，B，C，D點作曲線的發(fā)現(xiàn)，分別

38、交于M，N點，以M點為圓心，AM為半徑作圓M，以N為圓心，ND為半徑作圓，,若使圓M和圓N相切，必滿足采用此方法求解B，C，D三點坐標(biāo)值，要使用迭代法解聯(lián)立方程組，而且求解過程繁瑣。,1. 數(shù)控編程的數(shù)值計算包括哪些內(nèi)容？2. 基點和節(jié)點有什么區(qū)別？何為切削點？3. 等步長法插補輪廓曲線，其插補節(jié)點的計算步驟是什么？試述其特點和適用范圍。4. 等誤差法插補輪廓曲線，其插補節(jié)點的計算步驟是什么？試述其特點和適用

39、范圍。,思考與練習(xí),§3.4 列表曲線節(jié)點坐標(biāo)的計算,一、概述 零件的輪廓形狀除可用直線、圓弧及各種非圓曲線表達之外，還可以用列表曲線表示。所謂列表曲線是指零件圖樣上的曲線形狀是由一系列坐標(biāo)點所確定。列表曲線的表達形式來源于兩種情況：1）零件的輪廓形狀是通過實驗或測量的方法得到，無法給出確定的函數(shù)表達式；2）編程員在處理非圓曲線時，為了便于求解節(jié)點坐標(biāo)，常按等間距對曲線進行分割，由計算機求解出大量的點坐標(biāo)數(shù)據(jù)。,采

40、用直線方程或圓方程之外的其它數(shù)學(xué)方程式（如拋物線、三次樣條曲線）對列表點進行擬合，得到由多段參數(shù)不同但方程式表達形式完全相同的函數(shù)表達式，稱為第一次擬合；然后根據(jù)編程允差的要求，再對第一次擬合時的數(shù)學(xué)方程（稱為插值方程）進行插點加密，求得新的節(jié)點，再在新的節(jié)點之間采用直線或圓弧擬合，稱為第二次擬合。,1.三次參數(shù)樣條曲線擬合所謂樣條：用模擬彈性梁彎曲變形的方法而模擬出的具有力學(xué)特性的曲線。,,需要注意三次參數(shù)樣條曲線的端點條件，要與

41、實際零件圖樣的要求相適應(yīng)。a 未選擇曲線端點條件，為自由端點b 左端點的切線方向與x軸平行，右端點切線方向為45度。,2.NURBS曲線,NURBS是非均勻有理B樣條（Non-Uniform Rational B-Spline）1)20世紀(jì)60年代，貝塞爾開始構(gòu)造以“逼近”為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線表示法，用一組多邊折線（特征多邊形）的各個定點來定義貝塞爾曲線。,2）1972-1974 弗雷斯特對貝塞爾曲線進行了改進，得到B樣條曲線。

42、區(qū)別貝賽爾曲線在于需要通過三重節(jié)點法或三頂點共線法解決曲線通過首末節(jié)點的問題。,B樣條曲線,3） 為精確描述二次曲線以及球面等曲面，使用非均勻有理B樣條曲線，即NURBS技術(shù)。,通過所有節(jié)點的NURBS曲線,創(chuàng)建控制點的NURBS曲線,調(diào)整后的NURBS曲線,3.圓弧樣條擬合,圓弧樣條擬合是一種較為簡單的曲線擬合方法，它利用樣條的思想，使用圓弧這一最簡單的二次曲線來構(gòu)造曲線的形狀。,圓弧樣條原理,三、密集列表點的圓弧過濾方法,

43、密集列表點是指由函數(shù)表達式計算出的大量的坐標(biāo)點。數(shù)控編程時，為了解決非圓曲線數(shù)控加工的數(shù)值計算問題，編程員常用等間距法求解節(jié)點坐標(biāo)數(shù)據(jù)。一般取△x=0.1mm或△Θ=0.1°，計算出一系列密集點坐標(biāo)，完全可以在兩相鄰點之間以直線插補的方式編程。,,所謂密集列表點的圓弧過濾，就是按照編程允差的要求，對列表點進行過濾，對保留的點按順序采用三點圓弧法連接的處理過程。,凸輪槽曲線,4.雙圓弧樣條擬合,雙圓弧樣條擬合的方法與圓弧樣條擬合

44、十分相似，只是在除首末列表點之外的所有列表點兩側(cè)分別使用兩條圓弧。由于取消了列表點兩側(cè)必須為同一圓弧的限制，在列表點出切線方向的確定與兩圓弧公切點位置的確定都更為靈活。,§3.5 刀位軌跡坐標(biāo)的計算,機床數(shù)控系統(tǒng)在控制刀具進行切削加工時，是按刀具中心（立銑刀是指刀具端面的中心位置）在工件坐標(biāo)系中的位置進行控制的。顯然刀具中心不能落在切削點上，因為刀具都有一定的尺寸，要使刀具的切削表面始終相切地經(jīng)過工件輪廓的切削點，必須對刀具進

45、行一定的偏置。刀具偏置又稱刀具半徑補償或刀具半徑偏移。 ?,具有刀具中心自動偏置功能的數(shù)控機床，可直接按零件輪廓切削點的位置進行編程，其刀具半徑偏置由數(shù)控系統(tǒng)自動調(diào)用預(yù)先存儲在刀具半徑補償?shù)刂分械臄?shù)值來實現(xiàn)。但對于沒有刀具自動偏置功能的數(shù)控系統(tǒng)，則需要計算出相對于切削點的刀具中心位置的坐標(biāo)作為編程數(shù)據(jù)。在平面輪廓加工中，常用立銑刀，設(shè)刀具半徑為R，若切削點的坐標(biāo)為（x ，y），切削點的法矢為n（n x ，n y），則相應(yīng)與切削點的刀具中

46、心位置為：x刀 = x + R n xy刀 = y + R n y 由此可見，刀具一經(jīng)選定，只要求出各刀具切削位點的單位法矢，就可算出刀具中心的偏置位置，從而求得刀具中心規(guī)跡。,一、銑削加工刀位軌跡計算,由于銑削加工是用道具中心作為刀位點，因此銑削加工刀位軌跡的計算，又稱為刀具中心軌跡的計算。應(yīng)盡量使用刀具半徑的自動補償功能區(qū)域加工時，一般只能按刀具中心軌跡進行手工編程。,例1 雙邊開口槽的槽底加工,要求

47、用Ф20mm立銑刀采用往復(fù)平行加工方式開槽，112mm尺寸邊界單邊留精銑余量Δt=1.5mm，試計算銑削槽底平面時的刀位軌跡坐標(biāo)值。,,,例2.矩形封閉槽的槽底加工,所示零件上的封閉槽底Ф20mm立銑刀立銑刀采用環(huán)繞方式加工，粗開槽后再用Ф6mm立銑刀對槽輪輪廓作精銑加工，試計算粗加工刀位軌跡坐標(biāo)值。,,,二、車削加工刀位軌跡計算,數(shù)控車削加工中使用的車刀，目前多采用機夾可轉(zhuǎn)位刀片。在這種刀片的刀尖位置處，規(guī)定了標(biāo)準(zhǔn)的刀尖圓角半徑。車

48、削加工中刀位點的選擇有兩種可能，即假想刀尖點或刀尖圓弧中心。為了便于對刀和測量，通常用車刀的假想刀尖點作為刀位點。,1.假想刀尖點作為刀位點,所謂假想刀尖點，是指與zx坐標(biāo)軸平行并與刀尖圓弧相切的兩直線交點。,假想刀尖點位置,補償計算,,圖中實線為零件的外形輪廓，虛線為零件外形輪廓的等距線，偏移距離等于刀尖圓弧半徑r，則刀尖圓弧中心只有按圖中虛線運動，才能由刀具切削刃部分切出零件的錐面形狀。此時，假想刀尖點相對于零件輪廓上的對應(yīng)點發(fā)生了

49、偏移。,補償計算,2.刀尖圓弧中心作為刀位點,,,,§3.6 空間曲線曲面加工的數(shù)值計算,規(guī)則立體型面加工的數(shù)值計算自由空間曲線曲面加工的數(shù)值計算三維加工中刀具中心位置的計算 ?,一、規(guī)則立體型面加工的數(shù)值計算規(guī)則的三坐標(biāo)立體型面是機械加工中經(jīng)常遇到的零件型面。如在具有相互垂直移動的三坐標(biāo)銑床上加工此類零件，可用“層切法”加工。此時，把立體型面看作由無數(shù)條平面曲線所疊成。根據(jù)表面粗糙度允許的范圍，將立體

50、型面分割成若干“層”，每層都是一條平面曲線，可采用平面曲線零件的輪廓切削點的計算方法計算每層的切削點的刀具軌跡。 ?,如圖2-7所示零件輪廓曲面，其母線是一條與 Z 軸夾角為θ的直線，軌跡是一個橢圓。以某一直線為母線，沿軌跡運動而形成的立體型面叫作簡單立體型面。加工這種立體型面一般采用球頭銑刀。數(shù)值計算的目的是求出球頭銑刀球心的運動軌跡。,如前述，立體型面可看作有無數(shù)條平面曲線相疊形成，在XOY 平面內(nèi)的橢圓曲線方程為

51、 x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1 以一系列平形于XOY，而相互距離為適當(dāng)行距dz 的平面，將上述型面分割為若干層，每層都是一個橢圓。一層加工完畢，銑刀在Z 軸方向移動一個dz的行距，再加工下一層。這樣，立體型面加工就成了平面曲線輪廓的連續(xù)加工問題，其平面輪廓曲線上切削點的數(shù)值計算方法與與§2.1中講述的方法是一樣的。 ?,二、空間自由曲線曲面插補節(jié)點的數(shù)值計算,對于自由曲面零件，如渦

52、輪及螺旋漿葉片、飛機機翼、汽車覆蓋件的模具等，不管是通過計算機輔助設(shè)計或是通過實驗手段測定，這種型面反應(yīng)在圖樣上的數(shù)據(jù)是列表數(shù)據(jù)（或由各種截面曲線構(gòu)成的自由曲面 ）。因此，對這類零件進行數(shù)控加工編程時，常常都是以三維坐標(biāo)點（x i ，y i ，z i）表示的。當(dāng)給出的列表點已密到不影響曲線精度的程度時，可直接在相鄰列表點間用直線段或圓弧段逼近。但往往給出的只是很少稀疏點，為保證精度，就要增加新的節(jié)點。為此，處理列表曲線或曲面的一般方法

53、是根據(jù)已知列表點導(dǎo)出擬合方程，再根據(jù)擬合方程通過細化參數(shù)求得新的插補節(jié)點。,自由曲線、曲面的擬合方法很多，有Bezier方法，B樣條方法，Coons法,Fergusoon法等。目前最常用的是非均勻有理B樣條擬合法。如非均勻有理B樣條曲線的描述形式為 ∑W i P i N k , i（u） P （u）= ∑W

54、 i N k , i（u） 0 ≤ u ≤ 1 式中，u為擬合曲線參數(shù)；P（u）為空間曲線上任一位置矢量；P i 為擬合曲線的控制點（ i = 0，… ，m ）；N k , i（u）為k次B樣條基函數(shù)，W i 是相應(yīng)控制點P i 的權(quán)因子。其插補節(jié)點的算法為： 通過細化參數(shù)u，把由m個控制點確定的空間曲線段分割成若干子曲線段，當(dāng)各子曲線段所對應(yīng)的弦的最大距離滿足容差δ要求時，即可用直線段——弦代替子曲線

55、段，細化的參數(shù)值u所對應(yīng)的分割點即為所求的節(jié)點。,,例如，構(gòu)成空間曲線的m個控制點若是均勻分部的，根據(jù)容差要求，u可取值為 （0，0.2, 0.4, 0.6, 0.8,1）或（0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1）分別代入上式，即可求出空間曲線上的切削點。,同樣，若非均勻有理B樣條曲面是由（m + 1）×（n + 1）個空間點陣擬合而成的。其描述形式為：∑∑ W ij P

56、 ij N i,k（u）N j,k（v） S（u ，v）= ∑∑ W ij N i,k（u）N j,k（v） 0 ≤ u ，v ≤ 1 式中，u ，v為擬合曲面參數(shù)，P ij 是矩形域上特征網(wǎng)格控制點陣，W ij 是相應(yīng)控制點

57、的權(quán)因子，N i,k（u）和N j,k（v）是 k 階的B 樣條基函數(shù)，S（u ，v）是曲面上任一點的位置矢量。其插補節(jié)點的計算方法與自由曲線的處理方法類似：細化兩個方向參數(shù) u 和 v，把曲面分割成子曲面片集，細化的程度由用子平面片代替曲面片能滿足容差要求而定，然后再把細化好的子曲面片分割成兩個三角形，各三角形的形心即為所求的插補節(jié)點。自由曲面加工的刀位規(guī)跡就是將這些小三角形的形心順序連起來形成的，見圖2-8。,,這種處理方法的優(yōu)點是

58、，不管曲面多么復(fù)雜，都可以用單一的算法生成刀具規(guī)跡。從圖2-8中可以看出，（a）、（b）中的刀具規(guī)跡均不理想，前者走刀行距不均勻，切削量忽大忽小，加工質(zhì)量不高；后者在切削過程中不斷改變切削方向，這將對機床不利。由于細化參數(shù)的方法是一種逼近法,a),b),c),因此，只要滿足加工容差要求，在細化的小三角形平面中可以有選擇地使用。如圖2-8（c）所示，只取同一四邊形內(nèi)兩個三角形之一的形心作為插補節(jié)點，就可以解決切削行距不均和沿折線走刀的問題

59、。自由曲線和自由曲面插補節(jié)點的計算量是手工難以承受的，最好能借助于計算機完成。,,三、三維加工中刀具中心位置的計算,不論是規(guī)則立體型面的加工或是空間自由曲線或曲面的加工，都存在著刀具中心的偏置問題。三維型面加工常用的刀具有球頭刀或平頭圓角刀（見圖2-9）。平頭圓角刀的刀具半徑為R，圓角半徑為r，則球頭刀的圓角半徑r = R 。若球頭刀和平頭圓角刀的刀具中心均指的是刀具端部的中心，對于切削加工時刀具主軸始終平行于Z軸的數(shù)控機床，其刀具中

60、心的偏置方法可遵循下列規(guī)則： 1.先使刀具中心沿切削點處法線方向偏移 r 距離；2.再沿與刀軸垂直的方向平移R – r 距離；3.最后使刀具中心沿刀軸方向下移 r 距離。 ?,若點P是某一空間曲線或曲面上的切削點，其坐標(biāo)為（xp ，yp，zp）曲線或曲面在該點處的單位法矢為

61、 n = { nx，ny，nz } 其中nx，ny，nz 為單位法矢在工件坐標(biāo)系三坐標(biāo)軸上的分量。根據(jù)上述三條規(guī)則，與切削點相對應(yīng)的刀具中心位置為： x刀 = xp + rnx + （R – r）nx = xp + Rnx y刀 = yp + rny + （R – r）ny = yp + Rny z刀 = zp + rnz - r,空間曲面上某切削點單位法矢的求法，視曲面

62、描述方程的形式而異。若曲面的描述方程為F（x，y，z）= 0 ，則曲面上切削點（x0，y0，z0）處的法線方程為 （x – x0） （y – y0） （z – z0） F′x（x0，y0，z0） F′y（x0，y0，z0） F′z（x0，y0，z0） 式中，F(xiàn)′x（x0，y0，z0）、F′y（x0，y0，z0）、F′z（x0，y0，z0）為F（x，y，z

63、）在（x0，y0，z0）處的偏導(dǎo)數(shù)，即曲面在該點法線的方向數(shù)。所以，曲面在該點的單位法矢為 n = {nx，ny，nz} =｛ F′x（x0，y0，z0）, F′y（x0，y0，z0）, F′z（x0，y0，z0）} / k其中 k = [ F′x2（x0，y0，z0）+ F′y2（x0，y0，z0）+ F′z2（x0，y0，z0）]1/2,,,,,,,,2）曲面為非均勻有理B 樣條曲面，曲面S（u，v）上任一

64、點（u0，v0）處的單位法矢可用下式求得： S′u× S′v n = { n x ，n y ，n z } = |S′u × S′v| 式中，S′u 為曲面相對于參數(shù)u的偏導(dǎo)矢，S′v 為曲面相對于參數(shù)v的偏導(dǎo)矢， | S′u × S′v|為矢量S′u × S′v 的模

65、，S′u × S′v為曲面在S （u0，v0）處的法矢，且 i j k S′u × S′v= S′ux S′uy S′ uz S′vx S′vy S′vz,,,,,,思考與練習(xí),5. 試

66、述弦線插補圓弧段時插補節(jié)點的計算方法。6. 試述圓弧插補輪廓曲線時插補圓弧的計算方法。7. 為什么要計算刀具中心位置？8. 刀具在尖角過渡時應(yīng)考慮什么問題？9. 平面輪廓加工時，立銑刀的偏置規(guī)則是什么？,10．空間型體加工時，球頭刀和平頭圓角刀的偏置規(guī)則是什么？11．加工空間自由曲線、曲面時，插補節(jié)點的計算方法是什么？12．在圖2-10所示的工件坐標(biāo)系中，試給出各零件輪廓各基點的坐標(biāo)。13．一半徑R = 20mm、圓心位于

67、坐標(biāo)原點的圓弧，起點坐標(biāo)為（-10，17.32），終點坐標(biāo)為（12.856，15.32），若用弦線插補該圓弧，當(dāng)容差分別為0.1mm、0.01mm、0.001mm時，各需要計算多少插補節(jié)點？14. 如果用切線逼近圓弧，使導(dǎo)出切線段插補圓弧的節(jié)點計算公式。15. 在如圖2-11所示的加工中，試導(dǎo)出未加工部分面積與刀徑及所包角度α的關(guān)系表達式。16. 用直徑Φ6的立銑刀加工曲線y = 3 x 2 + 4 x – 8，當(dāng)?shù)毒吲c曲線