第五章 目標規(guī)劃

1、第 七 章,目 標 規(guī) 劃,第七章 目標規(guī)劃,在科學(xué)研究、經(jīng)濟建設(shè)和生產(chǎn)實踐中，人們經(jīng)常遇到一類含有多個目標的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，我們稱之為多目標規(guī)劃。本章介紹一種特殊的多目標規(guī)劃叫目標規(guī)劃(goal programming)，這是美國學(xué)者Charnes等在1952年提出來的。目標規(guī)劃在實踐中的應(yīng)用十分廣泛，它的重要特點是對各個目標分級加權(quán)與逐級優(yōu)化，這符合人們處理問題要分別輕重緩急保證重點的思考方式。 本章

2、分目標規(guī)劃模型、目標規(guī)劃的幾何意義與圖解法和求解目標規(guī)劃的單純形方法等三個部分進行介紹。,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.1 問題提出 為了便于理解目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的特征及建模思路, 我們首先舉一個簡單的例子來說明. 例7.1.1 某公司分廠用一條生產(chǎn)線生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B ，每周生產(chǎn)線運行時間為60小時，生產(chǎn)一臺A產(chǎn)品需要4小時，生產(chǎn)一臺B產(chǎn)品需要6小時．根據(jù)市場預(yù)測，A、B產(chǎn)品平均銷售量分別為

3、每周9、8臺，它們銷售利潤分別為12、18萬元。在制定生產(chǎn)計劃時，經(jīng)理考慮下述4項目標：,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.1 問題提出 (續(xù))首先，產(chǎn)量不能超過市場預(yù)測的銷售量； 其次，工人加班時間最少； 第三，希望總利潤最大； 最后，要盡可能滿足市場需求, 當(dāng)不能滿足時, 市場認為B產(chǎn)品的重要性是A產(chǎn)品的2倍． 試建立這個問題的數(shù)學(xué)模型．討論：

4、 若把總利潤最大看作目標，而把產(chǎn)量不能超過市場預(yù)測,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.1 問題提出 (續(xù))的銷售量、工人加班時間最少和要盡可能滿足市場需求的目標看作約束，則可建立一個單目標線性規(guī)劃模型 設(shè)決策變量 x1，x2 分別為產(chǎn)品A，B的產(chǎn)量 ? Max Z = 12x1 + 18x2 ? s.t. 4x1 + 6x2 ? 60 ?

5、 x1 ? 9 ? x2 ? 8 ? x1 , x2 ? 0,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.1 問題提出 (續(xù))容易求得上述線性規(guī)劃的最優(yōu)解為(9,4)T 到 (3,8)T 所在線段上的點, 最優(yōu)目標值為Z* = 180, 即可選方案有多種. 在實際上, 這個結(jié)果并非完全符合決策者的要求, 它只實現(xiàn)了經(jīng)理的第一、二、三條目標，而沒

6、有達到最后的一個目標。進一步分析可知，要實現(xiàn)全體目標是不可能的。,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 把例7.1.1的4個目標表示為不等式.仍設(shè)決策變量 x1，x2 分別為產(chǎn)品A，B的產(chǎn)量. 那麼, 第一個目標為: x1 ? 9 ，x2 ? 8 ； 第二個目標為: 4x1 + 6x2 ? 60 ； 第三個目標為: 希望總利潤最大，要表示成不等式需要找到一個目標上界

7、，這里可以估計為252（=12?9 + 18?8），于是有 12x1 + 18x2 ? 252； 第四個目標為: x1 ? 9，x2 ? 8；,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 （續(xù)）下面引入與建立目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型有關(guān)的概念． （1）、正、負偏差變量d +，d - 我們用正偏差變量d + 表示決策值超過目標值的部分；負偏差變量

8、d - 表示決策值不足目標值的部分。因決策值不可能既超過目標值同時又末達到目標值，故恒有 d + ?d - ＝ 0 ． （2）、絕對約束和目標約束我們把所有等式、不等式約束分為兩部分：絕對約束和目標約束。,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 （續(xù)）絕對約束是指必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束；如在線性規(guī)劃問題中考慮的約束條件，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。設(shè)例7.1.1 中

9、生產(chǎn)A，B產(chǎn)品所需原材料數(shù)量有限制，并且無法從其它渠道予以補充，則構(gòu)成絕對約束。目標約束是目標規(guī)劃特有的，我們可以把約束右端項看作要努力追求的目標值，但允許發(fā)生正式負偏差，用在約束中加入正、負偏差變量來表示，于是稱它們是軟約束。,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 （續(xù)） 對于例7.1.1, 我們有如下目標約束 x1 + d1- -d1+

10、 = 9 (7.1.1) x2 + d2- -d2+ = 8 (7.1.2) 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (7.1.3) 12x1+18x2 + d4- -d4+ =252 (7.1.4),7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 （續(xù)）(3)、優(yōu)先因子與權(quán)系數(shù)．對于多

11、目標問題，設(shè)有L個目標函數(shù)f1,f2,?,fL, 決策者在要求達到這些目標時，一般有主次之分。為此，我們引入優(yōu)先因子Pi ，i = 1,2,?,L.無妨設(shè)預(yù)期的目標函數(shù)優(yōu)先順序為f1,f2,?,fL,我們把要求第一位達到的目標賦于優(yōu)先因子P1，次位的目標賦于優(yōu)先因子P2、…，并規(guī)定 Pi >> Pi+1，i = 1,2,?,L-1.,7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 （續(xù)） 即在計算過程中,

12、 首先保證P1級目標的實現(xiàn)，這時可不考慮次級目標；而P2級目標是在實現(xiàn)P1級目標的基礎(chǔ)上考慮的，以此類推。當(dāng)需要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的若干個目標的差別時，可分別賦于它們不同的權(quán)系數(shù)wj 。優(yōu)先因子及權(quán)系數(shù)的值，均由決策者按具體情況來確定． （4）、目標規(guī)劃的目標函效． 目標規(guī)劃的目標函數(shù)是通過各目標約束的正、負偏差變量和賦于相應(yīng)的優(yōu)先等級來構(gòu)造的．,§7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念

13、 （續(xù)） 決策者的要求是盡可能從某個方向縮小偏離目標的數(shù)值。于是，目標規(guī)劃的目標函數(shù)應(yīng)該是求極?。簃in f ＝ f （d +，d -)． 其基本形式有三種： ① 要求恰好達到目標值，即使相應(yīng)目標約束的正、負偏差變量都要盡可能地小。這時取 min （d + + d - )； ② 要求不超過目標值，即使相應(yīng)目標約束的正偏差變量要盡可能地小。這時取 mi

14、n （d + )；,§7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 （續(xù)） ③ 要求不低于目標值，即使相應(yīng)目標約束的負偏差變量要盡可能地小。這時取 min （d - )；對于例7.1.1, 我們根據(jù)決策者的考慮知第一優(yōu)先級要求 min（d1+ + d2+ )； 第二優(yōu)先級要求 min（d3+ )； 第三優(yōu)先級要求 min（d4- )； 第四優(yōu)先級要求 min（d1-

15、 + 2d2- )，這里, 當(dāng)不能滿足市場需求時, 市場認為B產(chǎn)品的重要性是A產(chǎn)品的2倍．即減少B產(chǎn)品的影響是A產(chǎn)品的2倍，因此我們引入了2:1的權(quán)系數(shù)。,§7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.2 目標規(guī)劃模型的基本概念 （續(xù)）綜合上述分析，我們可得到下列目標規(guī)劃模型 ? Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) ? s.t.

16、 x1 + d1- -d1+ = 9 ? x2 + d2- -d2+ = 8 ? 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (7.1.5) ? 12x1 + 18x2 +

17、d4- -d4+ =252 ? x1 , x2 , di- ,di+ ? 0 , i = 1,2,3,4.,§7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.3 目標規(guī)劃模型的一般形式 根據(jù)上面討論,我們可以得到目標規(guī)劃的一般形式如下,,§7.1 目標規(guī)劃模型,7.1.3 目標規(guī)劃模型的一般形式 (續(xù))（LGP）中的第二行是K個目標約束，第三行是m個絕對約束

18、，ckj 和gk 是目標參數(shù)。§7.2 目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法 對只具有兩個決策變量的目標規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，我們可以用圖解法來分析求解．通過圖解示例，可以看到目標規(guī)劃中優(yōu)先因子，正、負偏差變量及權(quán)系數(shù)等的幾何意義。,§7.2目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法,§7.2 目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法 （續(xù)）下面用圖解法來求解例7.1.1 我們先在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)，作出與各約束條件對應(yīng)

19、的直線，然后在這些直線旁分別標上 G-i ，i = 1，2，3，4。圖中x，y分別表示問題（7.1.5）的x1和x2；各直線移動使之函數(shù)值變大、變小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- （如圖7.1.1所示）．,§7.2目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法,§7.2目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法,下面我們根據(jù)目標函數(shù)的優(yōu)先因子來分析求解．首先考慮第一級具有P1優(yōu)先因子的目標的實現(xiàn)，在目標函數(shù)中要求實現(xiàn)min（d1++ d

20、2+ ),取d1+=d2+ =0.圖 7 – 2 中陰影部分即表示出該最優(yōu)解集合的所有點。 我們在第一級目標的最優(yōu)解集合中找滿足第二優(yōu)先級要求min（d3+ )的最優(yōu)解.取d3+= 0 ,可得到圖 7 – 3 中陰影部分即是滿足第一、第二優(yōu)先級要求的最優(yōu)解集合。,§7.2目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法,圖7 - 2,,§7.2目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法,圖7 – 3,,§7.2目標規(guī)劃的幾

21、何意義及圖解法,第三優(yōu)先級要求 min（d4- )，根據(jù)圖示可知，d4- 不可能取0值，我們?nèi)∈筪4- 最小的值72得到圖7–4 中兩陰影部分的交線(黑色粗線)，其表示滿足第一、第二及第三優(yōu)先級要求的最優(yōu)解集合。最后，考慮第四優(yōu)先級要求 min（d1- + 2d2- ) ，即要在黑色粗線段中找出最優(yōu)解。由于d1- 的權(quán)因子小于d2- ，因此在這里可以考慮取d2- =0。于是解得d1-=5，最優(yōu)解為A點x = 3，y = 8。,&

22、#167;7.2目標規(guī)劃的幾何意義及圖解法,圖7 – 4,,,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法,目標規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型,特別是約束的結(jié)構(gòu)與線性規(guī)劃模型沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是它的目標不止是一個,雖然其利用優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)把目標寫成一個函數(shù)的形式, 但在計算中無法按單目標處理, 所以可用單純形法進行適當(dāng)改進后求解。在組織、構(gòu)造算法時，我們要考慮目標規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型一些特點，作以下規(guī)定： (1) 因為目標規(guī)劃問題的目標

23、函數(shù)都是求最小化，所以檢驗數(shù)的最優(yōu)準則與線性規(guī)劃是相同的；,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),(2) 因為非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子， Pi >> Pi+1，i = 1,2,?,L-1. 于是從每個檢驗數(shù)的整體來看： Pi+1（i = 1,2,?,L-1）優(yōu)先級第k個檢驗數(shù)的正、負首先決定于 P1 ，P2 ，… ，Pi 優(yōu)先級第k個檢驗數(shù)的正、負。若P1 級第k個檢驗數(shù)為0，則此檢驗數(shù)的正、

24、負取決于P2級第k個檢驗數(shù)；若P2 級第k個檢驗數(shù)仍為0，則此檢驗數(shù)的正、負取決于P3級第k個檢驗數(shù)，依次類推。換一句話說，當(dāng)某Pi 級第k個檢驗數(shù)為負數(shù)時，計算中不必再考察Pj（ j > I ）級第k個檢驗數(shù)的正、負情況；,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),（3）根據(jù)（LGP）模型特征，當(dāng)不含絕對約束時，di- （i=1,2,… ,K）構(gòu)成了一組基本可行解。在尋找單純形法初始可行點時，這個特點是很有用的。

25、 解目標規(guī)劃問題的單純形法的計算步驟 (1)建立初始單純形表．在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別列成K行。初始的檢驗數(shù)需根據(jù)初始可行解計算出來，方法同基本單純形法。當(dāng)不含絕對約束時，di- （i=1,2,… ,K）構(gòu)成了一組基本可行解，這時只需利用相應(yīng)單位向量把各級目標行中對應(yīng)di- （i=1,2,… ,K）的量消成0即可得到初始單純形表。置k ＝ 1；,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),(2)

26、檢查當(dāng)前第k行中是否存在大于0，且對應(yīng)的前k-1行的同列檢驗數(shù)為零的檢驗數(shù)。若有取其中最大者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)(3)。若無這樣的檢驗數(shù)，則轉(zhuǎn)(5)； (3)按單純形法中的最小比值規(guī)則確定換出變量，當(dāng)存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量，轉(zhuǎn)（4）；,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),(4)按單純形法進行基變換運算，建立新的單純形表，（注意：要對所有的行進行轉(zhuǎn)軸運算

27、）返回(2)； (5)當(dāng)k ＝ K 時，計算結(jié)束。表中的解即為滿意解。否則置k = k+1，返回（2）。,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),例7.3.1 試用單純形法來求解例7.1.1的目標規(guī)劃模型(7.1.5) ? Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) ? s.t. x1

28、 + d1- -d1+ = 9 ? x2 + d2- -d2+ = 8 ? 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 ? 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252

29、 ? x1 , x2 , di- ,di+ ? 0 , i = 1,2,3,4.,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),解: 首先處理初始基本可行解對應(yīng)的各級檢驗數(shù)。 由于P1 , P2 優(yōu)先級對應(yīng)的目標函數(shù)中不含di- , 所以其檢驗數(shù)只需取系數(shù)負值。分別為 ( 0，0，0，-1，0，-1，0，0，0，0 ；0)和 ( 0，0，

30、0， 0，0，0，0，-1，0，0 ；0),,,,,,,,,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),P3 優(yōu)先級對應(yīng)的目標函數(shù)中含d4- ,所以其檢驗數(shù)需要把第四個約束行加到取負值的這一行上，得到 ( 12，18，0，0，0，0，0，0，0，-1；252 )TP4 優(yōu)先級對應(yīng)的目標函數(shù)中含（d1- + 2d2- )，所以其檢驗數(shù)需要把第一個約束行與第二個約束行的2倍加到取系數(shù)負值的這一行上，得到 (

31、1，2，0，-1，0，-2，0，0，0，0；25 )。列目標規(guī)劃的初始單純形表,,,,,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),（1）k = 1，在初始單純形表中基變量為 （d1-,d2-,d3-,d4-)T =（9，8,60，252)T ；（2）因為P1與P2優(yōu)先級的檢驗數(shù)均已經(jīng)為非正，所以這個單純形表對P1與P2優(yōu)先級是最優(yōu)單純形表；（3）下面考慮P3優(yōu)先級，第二列的檢驗數(shù)為18，此為進基變量，計算相應(yīng)

32、的比值 bi/aij 寫在 ? 列。通過比較，得到d2- 對應(yīng)的比值最小，于是取a22（標為 * 號）為轉(zhuǎn)軸元進行矩陣行變換得到新的單純形表；,,,,§7.3 求解目標規(guī)劃的單純形方法 (續(xù)),（4）下面繼續(xù)考慮P3優(yōu)先級，第一列的檢驗數(shù)為18，此為進基變量，計算相應(yīng)的比值 bi/aij 寫在 ? 列。通過比較，得到d3- 對應(yīng)的比值最小，于是取a31（標為 * 號）為轉(zhuǎn)軸元進行矩陣行變換得到新的單純形表；,,,,§