第27章二次函數(shù)教材分析廣州蘿崗區(qū)鎮(zhèn)龍第二中學(xué)李小兵

1、第27章二次函數(shù)教材分析廣州市蘿崗區(qū)鎮(zhèn)龍第二中學(xué) 李小兵,,一、本章教學(xué)內(nèi)容及課時安排,二、本章知識結(jié)構(gòu),三、本章的地位和作用,“二次函數(shù)”這一章是初中階段所學(xué)的有關(guān)函數(shù)知識的重點內(nèi)容之一，學(xué)生在學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，這是對函數(shù)及其應(yīng)用知識學(xué)習(xí)的深化和提高，是今后學(xué)習(xí)其它初等函數(shù)的基礎(chǔ)，因此，這部分對學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容有著承上啟下的作用，對培養(yǎng)和提高學(xué)生用函數(shù)模型（函數(shù)思想）來解決實際問題，逐步

2、提高分析問題，解決問題的能力有著一定的作用。,四、本章編寫特點,（一） 注重結(jié)論的探索 在本章中，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡單的二次函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的。教科書通過設(shè)置觀察、思考、討論等欄目，引導(dǎo)學(xué)生探索相關(guān)的結(jié)論。（二） 注重知識之間的聯(lián)系 學(xué)生在“一次函數(shù)”一章已經(jīng)了解了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程組的聯(lián)系。本章專設(shè)一節(jié)，通過探討二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再次展示函數(shù)與

3、方程的聯(lián)系。這樣安排一方面可以深化學(xué)生對一元二次方程的認(rèn)識，另一方面又可以運用一元二次方程解決二次函數(shù)的有關(guān)問題。（三） 注重聯(lián)系實際 二次函數(shù)與實際生活聯(lián)系緊密。本章引言選取正方體表面積、最優(yōu)化、拱橋、噴水等問題展示這種聯(lián)系。在介紹二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時也穿插安排了一些實際問題。,課程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1． 通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會二次函數(shù)的意義；2． 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函

4、數(shù)的性質(zhì)；3．會用配方法確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡單的實際問題；4．會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。,六、本章教學(xué)目標(biāo),五、本章重要的數(shù)學(xué)思想方法,(1)數(shù)形結(jié)合思想 (2) 建模思想 (3)函數(shù)思想 (4) 化歸思想 (5)配方法,《2007年廣州中考考試說明》對本章教學(xué)內(nèi)容的要求,,,七、本章重點、難點,1．重點:☆了解二次

5、函數(shù)的含義☆理解二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì),☆拋物線圖象的平移問題.☆體會一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系☆能用二次函數(shù)解決實際問題2．難點:☆二次函數(shù)圖象特征及其性質(zhì)．☆對二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系理解與應(yīng)用.☆應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題．能解決與其他函數(shù)結(jié)合的問題,1．在利用函數(shù)圖像討論二次函數(shù)的性質(zhì)時，要放慢節(jié)奏，逐步理解、完善．要充分結(jié)合點的坐標(biāo)的意義及實際問題中包含的特定意義，來理解函數(shù)的圖象與性質(zhì).2．加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合

6、的思想，達(dá)到數(shù)形互補(bǔ)，從而提高學(xué)生的分析能力． 3．在討論二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)時，要盡量引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖象與圖象之間的比較，表達(dá)式與表達(dá)式之間的比較，建立圖形和表達(dá)式之間的聯(lián)系，以達(dá)到學(xué)生對二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標(biāo)公式的理解．4．注意規(guī)律的理解與總結(jié),強(qiáng)調(diào)解決實際問題的注意事項.（如平面直角坐標(biāo)系的建立，橫軸、縱軸的實際意義，自變量的取值范圍等）,八、教學(xué)建議,(一)本章教學(xué)建議,5.注意與學(xué)生已有知識的聯(lián)系，減少對

7、新概念、 新知識接受的困難。 (一次函數(shù)知識、待定系數(shù)法和整式配方、方程和不等式的知識等）6. 創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實情境，重視解決實際問題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價值. （重視學(xué)生對基本概念的理解和接受，防止形式化的羅列概念，再舉例說明的做法,注意讓學(xué)生敘述和交流，在應(yīng)用和問題解決中加深理解，正確使用）7.充分利用教材的空間，積極組織和實施對不同學(xué)生、不同

8、班級的多樣化教學(xué).,概念的學(xué)習(xí)盡量結(jié)合本地的具體情境,突出學(xué)生的直觀感知,引導(dǎo)學(xué)生通過探求不同實例中兩個變量之間的關(guān)系,總結(jié)概括得出二次函數(shù)的定義,并對二次函數(shù)的定義進(jìn)行辨析,加深認(rèn)識。,（二）各小節(jié)具體教學(xué)建議,§27.1 二次函數(shù),,§27.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),2.用描點法作圖,過程要明確規(guī)范,注重全體學(xué)生的動手參與,注意加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系 。3.每學(xué)完一種類型的函數(shù),要引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié),使其掌握方

9、法。多描多畫 、交流或教師主動呈現(xiàn)辨析，數(shù)形結(jié)合。,1.重視由簡到繁,從特殊到一般的探索過程；,通過噴泉的水流、標(biāo)槍的投擲，最優(yōu)化，拋物線形狀拱橋等問題的探究，展示二次函數(shù)與實際的聯(lián)系，并運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以解決，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解要注意解的范圍、解的精確度以及如何達(dá)到所要求的精確度等。,27.3 實踐與探索,,(1)列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實際意義，確

10、定自變量的取值范圍；(2)在自變量的取值范圍內(nèi)，運用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。,運用二次函數(shù)解實際問題的一般步驟：,2、函數(shù)有四種表示形式：語言表示、表格表示、圖象表示、代數(shù)式表示。其中后三種是數(shù)學(xué)的形式。,九、本章知識點歸納,1、一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)稱為y是x的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線.,3、“五點一線法”作二次函數(shù)的圖象步驟：（1）找出開口方向，求出頂點坐標(biāo)、對稱軸方程

11、（2）根據(jù)圖象的對稱性，從頂點 開始， 左右各取四個對稱的點（通常取(0,c)，(x1,0)， (x2,0) ， 四點）（列表、描點）（3）用平滑的曲線連接（連線）,,,,,,,,,,,4、類比歸納二次函數(shù)五種類型的圖象性質(zhì),,,,,,5、二次函數(shù)五種類型的圖象平移規(guī)律,（一般式）y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k（頂點式）,配方,展開,,,y

12、=ax2,,平 移,,平 移,6.常用的二次函數(shù)解析式的求法： (1)一般式：y=ax2+bx+c (回避三元一次方程組) (2)頂點式：y=a(x-h)2+k (3)交點式：y=a(x-x1)(x-x2) (交點式中考不要求.),說明:已知任意三點坐標(biāo)選用一般式； (若已知與y軸的交點, 可先將c值直接代入函數(shù)解析式,使三元方程組變?yōu)槎?從而簡化運算) 已知頂點坐標(biāo)、對稱軸或最值?？蛇x用頂點式；已知

13、拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)常選用交點式.,一看二次項系數(shù)a .(a決定拋物線的開口方向) 開口向上 a ＞ 0 開口向下 a ＜ 0,三看常數(shù)項 c. (c決定拋物線與y軸交點位置),6.二次函數(shù)的圖象“六看” :（依形判數(shù)，由數(shù)思形）,二看a與b的符號:(a與b決定對稱軸位置),,五看圖象的走向定函數(shù)的增減性：（以對稱軸為界） 左低右高 y 隨 x 增大而增大, 左高右低 y 隨

14、x 增大而減小,六看部分圖象對應(yīng)的取值范圍： 圖象端點向 x 軸引垂線，由垂足對應(yīng)的數(shù)看x的取值范圍; 圖象端點向 y 軸引垂線，由垂足對應(yīng)的數(shù)看y的取值范圍.,四看b2-4ac的符號(b2-4ac決定拋物線與 x 軸交點的個數(shù)) 拋物線與 x 軸有兩個交點， b2-4ac ＞ 0； 拋物線與 x 軸有一個交點， b2-4ac ＝ 0； 拋物線與 x 軸無交點， b2-4ac ＜ 0.,學(xué)生畫

15、圖象中容易出現(xiàn)的問題,1.“三角”型——原因：只取了3個點，取點太少2.“對勾”型——原因：因為頂點坐標(biāo)不明確，左右取點不對稱3.“怪異”型——原因：（1）坐標(biāo)計算錯誤 （2）描點時,位置不對 （3）連線時順序不對,-2,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的幾個特例：　　 1、當(dāng)x=1 時，　　 2、當(dāng)x=-1時， 3、當(dāng)

16、x=2時，　　 4、當(dāng)x=-2時，,y=a+b+c,y=a-b+c,y=4a+2b+c,y=4a-2b+c,……………　　……………,,,,,,,,o,1,-1,2,,練習(xí)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如上圖所示，那么下列判斷正確的有（填序號）　　　　 　.①abc>0, ②b2-4ac0, ④a+b+c0, ⑥4a+2b+c<0, ⑦4a-2b+c<0.,,①,③,⑦,四.歸

17、納小結(jié)，構(gòu)成體系,y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k,y=ax2,,,配 方,轉(zhuǎn) 化,平 移,轉(zhuǎn) 化,2.系數(shù)與圖象間的關(guān)系,1.研究方法,a決定圖象的形狀,b影響對稱軸的位置,c確定圖象與y軸的交點,?決定圖象與x軸的交點情況,從二次函數(shù)的圖象看什么?,從開口方向確定a的符號從開口方向及對稱軸確定b的符號從圖象與y軸的交點確定c的符號或具體數(shù)值從圖象與x軸的交點個數(shù)判斷b2—4ac的符號看頂點

18、坐標(biāo)、對稱軸,注意提高學(xué)生的識圖能力,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:(1)有兩個交點(2)有一個交點(3)沒有交點,二次函數(shù)與一元二次方程,,b2 – 4ac > 0,b2 – 4ac= 0,,b2 – 4ac< 0,,若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點,則,b2 – 4ac,≥0,（2007年佛山市）已知二次函數(shù)（ 是常數(shù)）， 與 的部分對應(yīng)值如下表，則當(dāng)

19、 滿足的條件是_______時， ； 當(dāng) 滿足的條件是_________ 時，,,,,,,圖象開口向下,0<x<2,x=2或0,二次函數(shù)對一元二次方程、一元二次不等式起到了統(tǒng)領(lǐng)作用,可以使學(xué)生從更高的視角來認(rèn)識一元二次方程、一元二次不等式,根據(jù)圖象學(xué)生可得一元二次方程的近似解，雖然學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法,但通過圖象可以看出結(jié)果,突出地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的

20、思想.,1.類比歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象性質(zhì),a>o,a<0,開口方向,向上,向下,頂點,對稱軸,增減性,最 值,當(dāng) 時,當(dāng) 時,,,,二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a≠0),,,解析式,,一般式　y=ax²+bx+c,頂點式　y=a(x-h)²+k,交點式　y=a(x-x1)(x-x2),圖象,,y=ax2+bx+c

21、=a(x+─ )²+ ─,2a,b,4a,4ac-b²,頂點坐標(biāo):(?─ , ── ),2a,b,4a,4ac-b²,對稱軸:x=?──,2a,b,形狀:開口向上或向下的拋物線,性質(zhì),,開口,,a>0 拋物線開口向上,,a<0 拋物線開口向下,,|a|越大 拋物線開口越小,,對稱軸,,當(dāng)a,b異號時 對稱軸x=?─在y軸的右側(cè),,2a

22、,b,當(dāng)a,b同號時對稱軸x=? ─ 在y軸的左側(cè),2a,b,二次函數(shù)y=ax²+bx+c （a≠0),,,與 軸的交點,,隨 的變化,,,,Y,X,X,當(dāng)二次函數(shù)y=ax²+bx+c 的圖象與x軸有交點時,交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時自變量X的值,即一元二次方程ax²+bx+c=0的根.,a>0時,a<0時,當(dāng)Ｘ<-─　　，Ｙ隨Ｘ的增大而減小,當(dāng)Ｘ>-─　，Ｙ隨Ｘ的增大而增

23、大,當(dāng)Ｘ﹦?─　　，Ｙ最?。僵ぉぉ?當(dāng)Ｘ<-─　　，Ｙ隨Ｘ的增大而減小,當(dāng)Ｘ>-─　，Ｙ隨Ｘ的增大而增大,當(dāng)Ｘ﹦?─　　，Ｙ最大＝──,2a,b,2a,b,2a,b,4a,4ac-b²,2a,b,2a,b,2a,b,4a,4ac-b²,達(dá)標(biāo)測試,1、已知拋物線上的三點，通常設(shè)解析式為________________,2、已知拋物線頂點坐標(biāo)（h, k），通常設(shè)拋物線解析式為_______________,3

24、、已知拋物線與x 軸的兩個交點(x1,0)、 (x2,0),通常設(shè)解析式為_____________,4、已知二次函數(shù)圖像上的兩點（x1,h）(x2,h)，通常設(shè)解析式為_____________,5、當(dāng)已知圖象與x軸兩交點的距離為d時，通常設(shè)解析式為_________,y=ax2+bx+c(a≠0),y=a(x-h)2+k(a≠0),y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),y=a(x-

25、x0)[x-(x0+d)] (a≠0),達(dá)標(biāo)測試,根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。,(1)、圖象經(jīng)過(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三點；,(2)、圖象的頂點(2，3)， 且經(jīng)過點(3，1) ；,(3)、圖象經(jīng)過(0，0)， (12，0) ，且最高點 的縱坐標(biāo)是3 。,根據(jù)下列條件求關(guān)于x的二次函數(shù)的解析式1.當(dāng)x=3時，y最小值=-1，且圖象過（0，7）;2.圖象過點（0，-2）

26、（1，2）且對稱軸為直線 x=1.5;3.圖象經(jīng)過點（0，1）（1，0）（3，0）;,14.畫出 函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題．圖象與x 軸交點的坐標(biāo)是什么？當(dāng)x 取何值時，y＝0？這里x的取值與方程 有什么關(guān)系?,,,(3)當(dāng)x 取何值時，y＜0？當(dāng)x取何值時，y＞0？(4)能否用含有x的不等式來描述（3）中的問題？,1.已知y=

27、ax2+bx+c的圖象如圖所示,請在下列橫線上填寫 “”或“=”. a___0, b____0, c_____0, abc____0 b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0 b2-4ac_____0 a+b+c_____0, a-b+c____0 4a-2b+c_____0,<,<,>,>,=,=,&l

28、t;,>,<,>,>,,2.拋物線y=ax2向左平移一個單位,再向下平移8個單位且y=ax2過點(1,2).則平移后的解析式為______________;,y=2(x+1)2-8,5、已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖。,(1)、當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大;,(2)、當(dāng)x為何值時，,,(3)、求它的解析式和頂點坐標(biāo)；,y<0。,中考考點,考試形式以填空題、選擇題、解答題為主。以填空題、選