拉格郎日方程

1、第十七章拉格朗日方程,,,,,,動力學(xué),本章研究拉格朗日第二類方程（簡稱拉格朗日方程）。他是研究動力學(xué)問題的又一有力手段，在解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題時，顯得十分簡捷、規(guī)范。,,,,動力學(xué),§17-1　廣義力 以廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件,設(shè)有n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有k個自由度，可由k個廣義坐標(biāo)q1， q2，... ， qk 確定其位置。在非定常約束下，質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑,一、廣義力,Mi的虛位移（固定時間

2、t）：,,,,動力學(xué),設(shè)作用在Mi上的主動力為Fi，則作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有主動力的元功之和：,——對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qj 的廣義力,廣義力的量綱取決于廣義坐標(biāo)的量綱：qj：長度，Qj：力； qj：角度，Qj：力矩；廣義力的數(shù)目=廣義坐標(biāo)的數(shù)目。,二、廣義力的計算方法,1、解析式,,,,,,動力學(xué),xi、yi、zi均是廣義坐標(biāo)q1、q2、...、qk及時間t的函數(shù)。,2、實(shí)際應(yīng)用時，由,由于各廣義坐標(biāo)彼此獨(dú)立，所以在求某個廣義力Qj時，僅使對應(yīng)

3、的廣義坐標(biāo)qj變分d qj，而其余的廣義坐標(biāo)則保持不變。即：令d qj≠0， d qi=0（i=1，2，...n，i ≠ j），,,,,,,動力學(xué),3、若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動力都是有勢力，質(zhì)點(diǎn)系在任一位置的勢能V=V（q1，q2，...，qk）,由式（8-7-8）,這樣就將具有k個自由度的質(zhì)點(diǎn)系變?yōu)橐粋€自由度的質(zhì)點(diǎn)系，所有主動力的元功之和：,代入解析式得：,,,,,,動力學(xué),可見：在保守系統(tǒng)中，廣義力等于質(zhì)點(diǎn)系的勢能函數(shù)對相應(yīng)廣義坐標(biāo)的偏

4、導(dǎo)數(shù)并冠以負(fù)號。,三、以廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系平衡時，由虛位移原理：,由于δqj彼此獨(dú)立，所以,即：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的必要與充分條件是，系統(tǒng)的所有廣義力都等于零。,,,,,,動力學(xué),例1：兩均質(zhì)桿，均長2l，均重P，用鉸鏈連接，跨過半徑為r的光滑圓柱體上，并位于同一鉛直面內(nèi)，求桿的平衡位置。,解：由于兩桿等長等重，平衡時他們的位置必對稱，這樣系統(tǒng)就只有一個自由度。以θ為廣義坐標(biāo)，C1、C2距O點(diǎn)的垂直

5、距離：,以過O點(diǎn)的水平面為零勢面，則,系統(tǒng)的平衡條件為：,,,,,,動力學(xué),由此解出θ。,,,,,,動力學(xué),例2：圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計滑輪重及O、E處摩擦，求平衡時C的重量W及A與水平面之間的摩擦系數(shù) f。,解：系統(tǒng)具有2自由度。以sA、 sB為廣義坐標(biāo),（1）當(dāng)sA改變δsA而δsB=0（B不動），此時δsC= δsA /2,,,,,,動力學(xué),（2）當(dāng)sB改變δsB而δsA=0，此時δsC= δsB /2,系統(tǒng)平衡時有QA

6、= QB=0,由QB= 0 得 W=2P,由QA= 0 得 F=W/2=P,,,,,,動力學(xué),應(yīng)用動力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題并不方便，由于約束的限制，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)不獨(dú)立，解題時必須用約束方程消去多余的坐標(biāo)變分。如果先考慮約束條件，采用廣義坐標(biāo)表示動力學(xué)普遍方程，就可得到與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立的微分方程，從而使復(fù)雜的動力學(xué)問題變得簡單，這就是著名的拉格郎日方程。,§17-2　拉格郎日方程,一、拉格郎日

7、方程,,,,,,動力學(xué),設(shè)有n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有k個自由度，可由k個廣義坐標(biāo)q1， q2，... ， qk 確定其位置。在非定常約束下，質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑,Mi的虛位移（固定時間t）：,代入質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)普遍方程：,,,,,,動力學(xué),第一項(xiàng)：主動力在質(zhì)點(diǎn)系的虛位移的元功之和：,第二項(xiàng)：慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的虛位移的元功之和：,,,,,動力學(xué),為簡化上式 , 需要用到以下兩個關(guān)系式：,①M(fèi)i點(diǎn)的速度： 由(a)式,,,,,,動力學(xué),

8、由（a）知 只是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)，與廣義速度無關(guān)，故將上式對 求偏導(dǎo)：,②將（g）對任一廣義坐標(biāo)ql 求偏導(dǎo)：,將（a）式先對ql求偏導(dǎo)再對t求導(dǎo)：,,,,,,動力學(xué),比較（i）（j）得,,,,,,動力學(xué),將下標(biāo)l換成j得：,將（h）（k） 代入（f）得：,,,,,,動力學(xué),于是（e）式為,,,,,,動力學(xué),將（d）（m）代入（c）得：,由于δqj彼此獨(dú)立，所以：,這就是拉格朗日第二類動力學(xué)方

9、程，簡稱拉格朗日方程，或拉氏方程。,,,,,,動力學(xué),（2）有勢力、非有勢力都適用,（4）不含約束力。,如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的力是有勢力，則：,二、保守系統(tǒng)的拉格朗日方程,而拉氏方程為：,,,,,動力學(xué),由于V=V（q1，q2，...，qk），不含廣義速度，所以,上式為：,令L=T-V——拉格朗日函數(shù),保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。,,,,,,動力學(xué),,應(yīng)用拉氏方程解題的步驟： 1. 判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必

10、須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。 2. 計算質(zhì)點(diǎn)系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 3. 計算廣義力 ，計算公式為：,或,若主動力為有勢力，須將勢能V表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。 5. 求出上述一組微分方程的積分。,,,,,,動力學(xué),[

11、例3] 圖示行星齒輪機(jī)構(gòu)位于水平面內(nèi)。均質(zhì)桿OA：重P，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動；均質(zhì)小齒輪：重Q，半徑 r ，沿半徑為R的固定大齒輪滾動。系統(tǒng)初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。已知桿OA受大小不變力偶M作用后，求桿OA的運(yùn)動方程。,所受約束皆為完整、理想、定常的，取OA桿轉(zhuǎn)角? 為廣義坐標(biāo)。,解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個自由度,,,,,,動力學(xué),,,,,動力學(xué),由拉氏方程：,積分，得：,故：,代入初始條件，t =0 時，

12、 得,,,,動力學(xué),[例4]圖示系統(tǒng)，物塊C質(zhì)量為m1 ，均質(zhì)輪A、B質(zhì)量均為m2，半徑均為R，A作純滾動，求系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。,解：系統(tǒng)具有一自由度，保守系統(tǒng)。以物塊C的平衡位置為原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)：,以平衡位置為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原長處為彈性勢能零點(diǎn)，則,,,,動力學(xué),代入到拉氏方程 得：,,,,,,動力學(xué),[例5] 與剛度為

13、k 的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動?；瑝KA上又連一單擺，擺長l ， 擺錘質(zhì)量為m2 ，試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。,解：系統(tǒng)為保守二自由度系統(tǒng)。取x , ?為廣義坐標(biāo)，x 軸 原點(diǎn)位于彈簧自然長度位置， ? 逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?,,,,動力學(xué),以彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，滑塊A所在平面為重力勢能零點(diǎn)，則：,,,,,,動力學(xué),,,,,,,動力學(xué),,系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。,,上式為系統(tǒng)在平衡位置(x =0, ? =0)附近