數(shù)理統(tǒng)計第一章

1、《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)》,據(jù),以對所觀察的問題作出推,數(shù)理統(tǒng)計學(xué) (Mathematical,Statistics) 是數(shù)學(xué)的一個分支,學(xué)科, 研究怎樣有效地收集 ,,整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù),斷或預(yù)測, 直至為采取一定的,決策和行動提供依據(jù)與建議。,數(shù)理統(tǒng)計學(xué)就是這樣一門學(xué)科：,它使用概率論和數(shù)學(xué)的方法,研究怎,樣收集 (通過試驗或觀察) 帶有隨機(jī),誤差的數(shù)據(jù), 并在設(shè)定的模型 (稱為,統(tǒng)計模型) 之下, 對這種數(shù)據(jù)進(jìn)行分,析(稱為統(tǒng)計分析)

2、, 以對所研究的問,題作出推斷(稱為統(tǒng)計推斷).,,參數(shù)估計,假設(shè)檢驗,,點 估 計,區(qū)間估計,2-2,回歸分析,方差分析,,參數(shù)檢驗,分布檢驗,,方差分析,正交設(shè)計,,一元回歸,多元回歸,第一章,抽樣和抽樣分布,第一章,§1.1,§1.1 母體和子樣,母體—研究對象全體元素集合,,記為X .,個體—組成母體的每個元素,記為 .,樣本,用,表示, n 為樣本容量.,稱,為母體X 的一個容量為,n 的子樣值,或

3、稱子樣的一個實現(xiàn).,子樣—從母體中抽取的部分個體,稱,若母體 X 的子樣 滿足:,(1) 與X 有相同的分布；,(2) 相互獨立，,則稱 為簡單隨機(jī)子樣.,隨機(jī)抽樣,簡單隨機(jī)子樣,,重復(fù)抽樣,非重復(fù)抽樣,獨立同分布,近似獨立同分布,,,,條件：,,設(shè)母體X的分布函數(shù)為F (x),則子樣,若母體X 的密度函數(shù)為f( x),則子樣,的概率密度函數(shù)為,的概率分布函數(shù)

4、為,若母體X為離散情形,則子樣,的聯(lián)合概率分布為,例如 設(shè)某批產(chǎn)品共有N 個,其中的次品數(shù)為M, 其次品率為,若 p 是未知的,則可用抽樣方法估計.,其概率分布,從這批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品,用隨機(jī)變量 X 來描述它是否是次品:,設(shè)有放回地抽取一個容量為n的子樣,的聯(lián)合分布為,其子樣值為,樣本空間為,若抽樣是無放回的,則前次抽取的結(jié)果會影響后面抽取的結(jié)果.例如,所以, 當(dāng)子樣容量 n 與母體中個體數(shù)目N 相比很小時, 可將無放回抽樣近似

5、地看作放回抽樣.,子樣,中不含未知參數(shù),則稱,為統(tǒng)計量.,定義,統(tǒng)計量,,統(tǒng)計量,的連續(xù)函數(shù),例,是統(tǒng)計量,,不是統(tǒng)計量.,是未知參數(shù),則,,,順序統(tǒng)計量,順序統(tǒng)計量,將子樣值,由小到大,排列得,定義 r.v.,則稱統(tǒng)計量,為順序統(tǒng)計量.,三種形式,子樣分布(刻畫子樣數(shù)據(jù)分布情況),,,頻數(shù)分布 頻率分布,經(jīng)驗分布函數(shù),直方圖,一 子樣頻數(shù)分布和頻率分布,子樣分布,設(shè)從母體中抽得的子樣為,按由小到大順序排列為,相同數(shù)合并后排列為,其中

6、,,,頻數(shù),相應(yīng)的頻數(shù)為,且,子樣頻 數(shù)分布,子樣頻率分布,,頻率,,于是有,例1 從織布車間抽取12匹布檢查每匹,布的疵點數(shù)，得子樣,( 1,0,0,2,1,3,2,0,1,1,2,1 ),例1,求子樣頻數(shù)分布和子樣頻率分布.,將12個數(shù)從小到大排列,相同的合并，,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,3,得子樣頻數(shù)表(子樣頻數(shù)分布),0 1 2 3,3 5 3 1,得子樣頻率表(子樣頻率數(shù)分布),0

7、 1 2 3,1/4 5/12 1/4 1/12,,,頻數(shù),,,頻率,,經(jīng)驗分布函數(shù),,經(jīng)驗分布,為子樣的為經(jīng)驗分布函數(shù).,設(shè)子樣為,對任意實數(shù),子樣值中小于或等于,的個數(shù)為,則稱,同分布函數(shù),一樣具有性質(zhì)：,非降、右連續(xù)、,,由子樣頻數(shù)分布得子樣經(jīng)驗分布函數(shù)：,,,圖,子樣經(jīng)驗分布函數(shù)圖形,1,,,,o,,,x,,,,,o,,o,,o,,,,,例1的子樣經(jīng)驗分布函數(shù)：,,例1圖,例1的子樣經(jīng)驗分布函數(shù)圖形,1,,

8、,,,x,,,,,,,,,,格利汶科,由Chebyshev 大數(shù)定律, 對任意,即,子樣經(jīng)驗分布函數(shù),總 體分布函數(shù),依概率收斂于,格利汶科(W.Glivenko)定理,當(dāng) 時, 經(jīng)驗分布函數(shù)依概率,關(guān)于x均勻地收斂于母體分布函數(shù),即,,對固定x成立,直方圖例 例2,(1)頻數(shù)直方圖,樣本數(shù)據(jù),頻率直方圖,,,,,經(jīng)驗分布函數(shù),,某班50名學(xué)生概率考試成績?nèi)缦拢?75 65 80 81 92 63 7

9、7 79 54 98,85 72 66 84 83 60 82 78 64 90,81 78 76 86 68 76 73 71 88 87,,直方圖,,65 57 46 89 78 66 87 79 84 78,96 88 67 38 67 75 83 82 68 85,,例2,由于,故分 9 組, 每組組距為7, 于是可得,平均分,頻 數(shù)分布表,頻數(shù)直方圖

10、,繼而畫出,,38~44,45~51,52~58,59~65,66~72,73~79,80~86,87~93,94~99,組 限,組中值,41,48,55,62,69,76,83,90,97,組頻數(shù),1,1,2,5,8,12,12,7,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,組 號,,,,,,合 計,50,組總分,41,48,110,310,552,912,996,630,194,3793,頻數(shù)分布表,,,,,分布表1,頻數(shù)直方

11、圖,,,,,,,,,,近似正態(tài)分布,,結(jié)論:,,直方圖1,38 45 52 59 66 73 80 87 94,1210 8 6 4 2,(2)頻率直方圖與累積頻率直方圖,在頻數(shù)分布表中去掉“組總分”一,列, 添上“組頻率”(%)“累積頻率”(%),頻率分布表,頻率直方圖,繼而畫出,,兩列, 得,,,,,累積頻率圖,,,,,,,合 計,50,頻率,累積頻率,分布表2,頻率直方圖,,,,,,,,,,近似正態(tài)密度函數(shù),,,38

12、45 52 59 66 73 80 87 94,頻率(%),分?jǐn)?shù),,直方圖2,0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.02,,,,,,,,,,,頻率直方圖,,,,,,,,,,,y,,,,,總體數(shù)量指標(biāo)落在第k 組的概率p,,x,,累積頻率直方圖,,,,,,,,,,近似正態(tài)分布函數(shù),累積頻率(%),,直方圖3,1,,,0.2,,0.4,,0.6,0.8,,,,,,38 45 52 59 66 73 80 87 9

13、4,分?jǐn)?shù),,數(shù)字特征,子樣數(shù)字特征,,子樣矩,階原點矩,子樣均值,子樣方差,,階中心矩,當(dāng)子樣以頻數(shù)分布給出時,子樣均值,子樣方差,中位數(shù),子樣中位數(shù),子樣極差,例3 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件, 測得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199求這組子樣的均值、方差、