地下水污染源解析的貝葉斯監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)與參數(shù)反演方法.pdf

1、由于具有水量穩(wěn)定，水質(zhì)好等優(yōu)點(diǎn)，地下水是人類最為重要的飲用水源之一。然而人類活動(dòng)往往導(dǎo)致地下水系統(tǒng)受到各類污染物的污染。為了更好地管理地下水以及評(píng)價(jià)地下水污染的環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)，我們需要借助于數(shù)值模擬對(duì)污染物的去向進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。而地下水溶質(zhì)運(yùn)移模型的關(guān)鍵參數(shù)，例如污染源位置、污染源釋放強(qiáng)度、含水層的滲透系數(shù)等，往往難以直接獲得，需要基于監(jiān)測(cè)井獲取的觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過求解反問題來獲得對(duì)它們的估計(jì)。
　　如何進(jìn)行監(jiān)測(cè)井網(wǎng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，為反問題提供最

2、有價(jià)值的觀測(cè)值，從而準(zhǔn)確地獲得對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)，是地下水水文學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn)。此外，監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)和參數(shù)反演往往需要進(jìn)行數(shù)以萬計(jì)的模型調(diào)用，這在大尺度問題中會(huì)造成極高的計(jì)算代價(jià)。針對(duì)這些問題，本文以地下水污染物運(yùn)移中的源識(shí)別為研究目標(biāo)，發(fā)展了基于替代系統(tǒng)的貝葉斯不確定性分析方法，進(jìn)行高效、準(zhǔn)確的監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)和參數(shù)反演，具體工作如下:
　　(1)為了使觀測(cè)數(shù)據(jù)的價(jià)值最大化，我們以參數(shù)先驗(yàn)到后驗(yàn)相對(duì)熵的期望為目標(biāo)函數(shù)實(shí)施了監(jiān)測(cè)井網(wǎng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，其

3、中使目標(biāo)函數(shù)值最大的采樣位置即為最優(yōu)采樣方案。在利用最優(yōu)采樣方案獲得濃度觀測(cè)值之后，我們采用了馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo，MCMC)法來反演未知模型參數(shù)。為了提高計(jì)算效率，我們使用自適應(yīng)稀疏格子插值（adaptive sparse grid interpolation）法在參數(shù)的先驗(yàn)空間上構(gòu)造了多項(xiàng)式替代系統(tǒng)，并將它應(yīng)用到了監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)和參數(shù)反演中，避免了反復(fù)求解原始模型，即地下水流與溶質(zhì)運(yùn)移控制方

4、程。為了消除替代系統(tǒng)帶來的誤差，我們采用了一種兩階段MCMC模擬來反演未知參數(shù)，即先采用替代系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的后驗(yàn)分布進(jìn)行充分探索，再使用原始模型對(duì)參數(shù)后驗(yàn)進(jìn)行準(zhǔn)確采樣。數(shù)值算例的結(jié)果表明，在滲透系數(shù)非均質(zhì)性條件下，我們提出的方法可以有效而準(zhǔn)確地識(shí)別出污染源參數(shù)和滲透系數(shù)參數(shù)。
　　(2)在兩階段MCMC模擬的第二階段里，我們?nèi)耘f需要多次求解原始模型，因而兩階段MCMC模擬所需的計(jì)算量依然較高。為了進(jìn)一步降低計(jì)算代價(jià)，我們提出了在參數(shù)后

5、驗(yàn)空間上自適應(yīng)地構(gòu)造替代系統(tǒng)的思想。這里，我們使用了高斯過程(Gaussian process，GP)來構(gòu)造替代系統(tǒng)，并在反演參數(shù)時(shí)將MCMC模擬與替代系統(tǒng)構(gòu)造耦合起來，通過自適應(yīng)地增加接近后驗(yàn)的基點(diǎn)，來不斷提高替代系統(tǒng)在參數(shù)后驗(yàn)空間上的精度。此外，由于GP的優(yōu)良特性，我們得以量化替代系統(tǒng)的誤差并將之反映到參數(shù)的后驗(yàn)分布中。數(shù)值模擬的結(jié)果表明，基于后驗(yàn)替代系統(tǒng)的過程要比基于先驗(yàn)替代系統(tǒng)的過程更加高效和準(zhǔn)確。
　　(3)在高維問題里

6、，替代系統(tǒng)構(gòu)造和MCMC反演的效果都欠佳。為了解決高維問題中的最優(yōu)監(jiān)測(cè)設(shè)計(jì)和參數(shù)反演問題，我們提出了一種基于集合(ensemble)的方法。我們采用了數(shù)據(jù)價(jià)值分析(data-worth analysis)來尋找信息量最大的采樣方案，然后使用集合平滑器(ensemble smoother，ES)來對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行反演。為了驗(yàn)證方法的效果，我們測(cè)試了一個(gè)商維的數(shù)值算例。在這個(gè)算例里，我們考慮了8個(gè)未知污染源參數(shù)和3321個(gè)未知滲透系數(shù)參數(shù)。經(jīng)

7、過12個(gè)監(jiān)測(cè)時(shí)間步的設(shè)計(jì)，我們獲得了24個(gè)最優(yōu)采樣位置。利用這24個(gè)最優(yōu)采樣位置上獲得的濃度和水頭觀測(cè)值，我們可以將3329個(gè)未知參數(shù)準(zhǔn)確地反演出來。
　　(4)雖然ES算法適用于高維情況，但是它基于線性估計(jì)理論，無法解決參數(shù)分布為多峰的反演問題。為了解決高維非高斯情況下的參數(shù)反演問題，我們提出了一種名為迭代局部更新集合平滑(iterative local updating ensemble smoother,ILUES)的算法。

8、在實(shí)施該算法的過程中，我們沒有直接對(duì)集合中的每個(gè)樣本進(jìn)行更新，而是對(duì)每個(gè)樣本的局部樣本集合進(jìn)行更新，來對(duì)可能的多峰分布進(jìn)行充分探索。另外，在非線性問題里，為了提高反演效果，我們?cè)贗LUES算法中采用了一種簡(jiǎn)單的迭代過程。ILUES算法無需聚類分析，就可以準(zhǔn)確地將參數(shù)的多峰分布識(shí)別出來。
　　為了驗(yàn)證ILUES算法的效果，我們測(cè)試了五個(gè)數(shù)值算例，分別考慮了參數(shù)先驗(yàn)多峰，參數(shù)后驗(yàn)多峰和參數(shù)高維等不同的場(chǎng)景。這些算例都很好地展示了ILU

9、ES算法在復(fù)雜模型參數(shù)反演中的效果。與常用的MCMC算法相比，ILUES算法具有計(jì)算量上的顯著優(yōu)勢(shì)。
　　(5)由于替代系統(tǒng)構(gòu)造在高維問題里效率很低，這極大地限制了替代系統(tǒng)的應(yīng)用范圍。為了解決這個(gè)問題，我們提出了將降維和替代系統(tǒng)構(gòu)造結(jié)合的思想，并將它應(yīng)用到地下水污染風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和分析中。
　　在估計(jì)失效概率（即超過風(fēng)險(xiǎn)值的概率）的時(shí)候，采用直接的蒙特卡洛(Monte Carlo，MC)模擬通常需要大量調(diào)用系統(tǒng)模型。為了減小失效概

10、率分析的計(jì)算代價(jià)，人們往往會(huì)在MC模擬中使用替代系統(tǒng)。然而，直接對(duì)高維地下水模型構(gòu)造替代系統(tǒng)非常困難。而且，替代系統(tǒng)的使用會(huì)不可避免地引入誤差。為了解決上述問題，我們提出了一種兩階段MC模擬方法，來準(zhǔn)確而有效地開展失效概率分析。在第一階段，我們結(jié)合Karhunen-Loève展開和分段逆回歸(slicedinverse regression)法對(duì)空間非均質(zhì)的滲透系數(shù)參數(shù)進(jìn)行充分降維，并在此基礎(chǔ)上利用混沌多項(xiàng)式展開(polynomial

11、chaos expansion)構(gòu)造出較為準(zhǔn)確的替代系統(tǒng)。利用該替代系統(tǒng)，我們可以有效地計(jì)算出大量樣本的關(guān)注量(quantity of interest，QoI);在第二階段，為了消除替代系統(tǒng)引入的誤差，我們用原始模型重新計(jì)算了失效邊界附近樣本的QoI值。這樣，我們可以消除替代系統(tǒng)引入的誤差，并得到對(duì)失效概率的準(zhǔn)確估計(jì)。為了驗(yàn)證上述方法的效果，我們將它應(yīng)用到了一個(gè)高維地下水污染物運(yùn)移模擬的例子里，并將流向下游的總污染物的量作為QoI。結(jié)