第九章列聯(lián)分析

1、第九章 列聯(lián)分析,第九章 列聯(lián)分析,第一節(jié) 列聯(lián)表 第二節(jié) ?? 分布與 ?? 檢驗(yàn)第三節(jié) 列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.解釋列聯(lián)表進(jìn)行 c2 檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)3.測(cè)度列聯(lián)表中的相關(guān)性,數(shù)據(jù)的類型與列聯(lián)分析,品質(zhì)數(shù)據(jù),品質(zhì)隨機(jī)變量的結(jié)果表現(xiàn)為類別例如：性別 (男, 女)各類別用符號(hào)或數(shù)字代碼來測(cè)度使用定類或定序尺度你吸煙嗎? 1.是；2.否你贊成還是反對(duì)這一改革方案?1.贊成

2、；2.反對(duì)對(duì)品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述和分析通常使用列聯(lián)表可使用???檢驗(yàn),,第一節(jié) 列聯(lián)表,一. 列聯(lián)表的構(gòu)造二. 列聯(lián)表的分布,列聯(lián)表的構(gòu)造,列聯(lián)表（概念要點(diǎn)）,由兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表行變量的類別用 r 表示， ri 表示第 i 個(gè)類別列變量的類別用 c 表示， cj 表示第 j 個(gè)類別每種組合的觀察頻數(shù)用 fij 表示表中列出了行變量和列變量的所有可能的組合，所以稱為列聯(lián)表一個(gè) r 行 c 列的列聯(lián)

3、表稱為 r ? c 列聯(lián)表,列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)（2 ? ? 列聯(lián)表）,,列(cj),行 (ri),一個(gè)2 ? ? 列聯(lián)表,列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)（r ? c 列聯(lián)表的一般表示）,,列(cj),行(ri),r 行 c 列的列聯(lián)表,fij 表示第 i 行第 j 列的觀察頻數(shù),列聯(lián)表（一個(gè)實(shí)際例子）,【例】一個(gè)集團(tuán)公司在四個(gè)不同的地區(qū)設(shè)有分公司，現(xiàn)該集團(tuán)公司欲進(jìn)行一項(xiàng)改革，此項(xiàng)改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽樣調(diào)查方式，從四個(gè)分公司共抽取42

4、0個(gè)樣本單位(人)，了解職工對(duì)此項(xiàng)改革的看法，調(diào)查結(jié)果如下表,列聯(lián)表的分布,觀察值的分布（概念要點(diǎn)）,邊緣分布行邊緣分布行觀察值的合計(jì)數(shù)的分布例如，贊成改革方案的共有279人，反對(duì)改革方案的141人列邊緣分布列觀察值的合計(jì)數(shù)的分布例如，四個(gè)分公司接受調(diào)查的人數(shù)分別為100人，120人，90人，110人條件分布與條件頻數(shù)變量 X 條件下變量 Y 的分布，或在變量 Y 條件下變量 X 的分布每個(gè)具體的觀察值稱為條件頻

5、數(shù),觀察值的分布（圖示）,行邊緣分布,列邊緣分布,條件頻數(shù),百分比分布（概念要點(diǎn)）,條件頻數(shù)反映了數(shù)據(jù)的分布，但不適合進(jìn)行對(duì)比為在相同的基數(shù)上進(jìn)行比較，可以計(jì)算相應(yīng)的百分比，稱為百分比分布行百分比：行的每一個(gè)觀察頻數(shù)除以相應(yīng)的行合計(jì)數(shù)（fij / ri）列百分比：列的每一個(gè)觀察頻數(shù)除以相應(yīng)的列合計(jì)數(shù)（ fij / cj ）總百分比：每一個(gè)觀察值除以觀察值的總個(gè)數(shù)（ fij / n ）,百分比分布（圖示）,總百分比,列百分比

6、,行百分比,行百分比分布（圖示）,列百分比分布（圖示）,總百分比,期望頻數(shù)的分布（概念要點(diǎn) 一致檢驗(yàn)）,在全部420個(gè)樣本中，贊成改革方案的有279 個(gè)，占到總數(shù)的 r_1/n=279/420=66.4%， 即從總體上看，約有2/3的調(diào)查對(duì)象對(duì)這項(xiàng)改革方案表示贊同。在全部420個(gè)樣本中，反對(duì)改革方案的有141個(gè)，占到總數(shù)的 r_2/n=141/420=

7、33.6%，,期望頻數(shù)的分布（概念要點(diǎn) 一致檢驗(yàn)）,如果我們希望進(jìn)一步了解各分公司對(duì)這項(xiàng)改革方案的是否存在差異，。。。我們可以先假設(shè)各分公司對(duì)這項(xiàng)改革方案的看法相同，也就是說，各分公司贊成該項(xiàng)改革方案的人數(shù)的比例相同，i.e. P1 = P2 = P2 = P4 這個(gè)比例可用 279/420=66.4%（= P1 = P2 = P2 = P4 ） 來估計(jì)。,期望頻數(shù)的分布（概念要點(diǎn) 一致檢

8、驗(yàn)）,因此， (如果看法一致)第一分公司贊成這項(xiàng)改革方案的期望人數(shù)為第一份公司被調(diào)查的總?cè)藬?shù)*贊成的比例=100* P1=100*66.4%=66=C_1* (R_1/n )=C_1*R_1/n,期望頻數(shù)的分布（概念要點(diǎn) 一致檢驗(yàn)）,因此， (如果看法一致)第一分公司反對(duì)這項(xiàng)改革方案的期望人數(shù)為第一份公司被調(diào)查的總?cè)藬?shù)*反對(duì)的比例=100* （1-P1 ）=100*33.6%=34=C_1* (R_2/n )=

9、C_1*R_2/n,期望頻數(shù)的分布（概念要點(diǎn) 一致檢驗(yàn)）,因此， (如果看法一致)第二分公司贊成這項(xiàng)改革方案的期望人數(shù)為第二分公司被調(diào)查的總?cè)藬?shù)*贊成的比例=120* P1=120*66.4%=34=C_2* (R_1/n )=C_2*R_1/n,期望頻數(shù)的分布（概念要點(diǎn) 一致檢驗(yàn)）,第i行j列的期望頻數(shù),期望頻數(shù)的分布（算例）,?根據(jù)上述公式計(jì)算的前例的期望頻數(shù),第二節(jié) ?? 分布與 ?? 檢驗(yàn),一.

10、 ?? 統(tǒng)計(jì)量 ?? 檢驗(yàn),?? 統(tǒng)計(jì)量,?? 統(tǒng)計(jì)量（要點(diǎn)）,用于檢驗(yàn)列聯(lián)表中變量之間是否存在顯著性差異，或者用于檢驗(yàn)變量之間是否獨(dú)立計(jì)算公式為,?? 統(tǒng)計(jì)量（算例）,,合計(jì)：3.0319,?? 檢驗(yàn),品質(zhì)數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn),一致性檢驗(yàn)（要點(diǎn)）,檢驗(yàn)列聯(lián)表中目標(biāo)變量之間是否存在顯著性差異檢驗(yàn)的步驟為提出假設(shè)H0：P1 = P2 = … = Pj (目標(biāo)變量的各個(gè)比例一致)H1：P1 , P2 , … ,

11、Pj 不全相等 (各個(gè)比例不一致)計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)行決策根據(jù)顯著性水平?和自由度(r-1)(c-1)查出臨界值??2若?2???2，拒絕H0；若?2<??2，接受H0,自由度計(jì)算說明表,一致性檢驗(yàn)（實(shí)例）,提出假設(shè)H0：P1 = P2 = P2 = P4 (贊成比例一致)H1：P1 , P2 , P3 , P4不全相等 (贊成比例不一致)計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,【例】續(xù)前例，檢

12、驗(yàn)職工的態(tài)度是否與所在單位有關(guān)？(? ?0.1),根據(jù)顯著性水平?＝0.1和自由度(2-1)(4-1)=3查出相應(yīng)的臨界值??2=6.251。由于?2=3.0319<??2=6.251，接受H0,獨(dú)立性檢驗(yàn)（要點(diǎn)）,檢驗(yàn)列聯(lián)表中的行變量與列變量之間是否獨(dú)立檢驗(yàn)的步驟為提出假設(shè)H0：行變量與列變量獨(dú)立H1：行變量與列變量不獨(dú)立計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)行決策根據(jù)顯著性水平?和自由度(r-1)(c-1)查出臨界值??2若?2

13、???2，拒絕H0；若?2<??2，接受H0,獨(dú)立性檢驗(yàn)（實(shí)例）,【例】一種原料來自三個(gè)不同的地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個(gè)不同等級(jí)。從這批原料中隨機(jī)抽取500件進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如下表。檢驗(yàn)各地區(qū)與原料之間是否存在依賴關(guān)系（? ?0.05),獨(dú)立性檢驗(yàn)（實(shí)例）,提出假設(shè)H0：地區(qū)與原料等級(jí)之間獨(dú)立H1：地區(qū)與原料等級(jí)之間不獨(dú)立計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,根據(jù)顯著性水平?＝0.05和自由度(3-1)(3-1)=4查出相應(yīng)的臨界值??2=9.

14、488。由于?2=19.82>??2＝9.448，拒絕H0,期望頻數(shù)的分布（概念要點(diǎn)）,假定行變量和列變量是獨(dú)立的一個(gè)實(shí)際頻數(shù) fij 的期望頻數(shù) eij ，是總頻數(shù)的個(gè)數(shù) n 乘以該實(shí)際頻數(shù) fij 落入第 i 行 和第j列的概率，即,期望頻數(shù)的分布（算例）,例如，第1行和第1列的實(shí)際頻數(shù)為 f11 ,它落在第1行的概率估計(jì)值為該行的頻數(shù)之和r1除以總頻數(shù)的個(gè)數(shù) n ，即：r1/n；它落在第1列的概率的估計(jì)值為該列的頻數(shù)之

15、和c1除以總頻數(shù)的個(gè)數(shù) n ，即：c1/n 。根據(jù)概率的乘法公式，該頻數(shù)落在第1行和第1列的概率應(yīng)為,由于觀察頻數(shù)的總數(shù)為n ，所以f11 的期望頻數(shù) e11 應(yīng)為,,第三節(jié) 列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量,一. ? 相關(guān)系數(shù) 列聯(lián)相關(guān)系數(shù) V 相關(guān)系數(shù),列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量（一般問題）,品質(zhì)相關(guān)對(duì)品質(zhì)數(shù)據(jù)(定類和定序數(shù)據(jù))之間相關(guān)程度的測(cè)度列聯(lián)表變量的相關(guān)屬于品質(zhì)相關(guān)列聯(lián)表相關(guān)測(cè)量的指標(biāo)主要有? 相關(guān)系數(shù)列聯(lián)相關(guān)系數(shù)V

16、 相關(guān)系數(shù),? 相關(guān)系數(shù)（要點(diǎn)）,測(cè)度 2?2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)相關(guān)程度的一個(gè)量對(duì)于2?2 列聯(lián)表，? 系數(shù)的值在0～1之間 ? 相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式為,? 相關(guān)系數(shù)（原理分析）,一個(gè)簡(jiǎn)化的 2?2 列聯(lián)表,? 相關(guān)系數(shù)（原理分析）,列聯(lián)表中每個(gè)單元格的期望頻數(shù)分別為,將各期望頻數(shù)代入 ?? 的計(jì)算公式得,? 相關(guān)系數(shù)（原理分析）,將??入? 相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式得,ad 等于 bc ， ? = 0，表明變量X 與 Y 之間獨(dú)立

17、若 b=0 ，c=0，或a=0 ，d=0，意味著各觀察頻數(shù)全部落在對(duì)角線上，此時(shí)|?| =1,表明變量X 與 Y 之間完全相關(guān),列聯(lián)表中變量的位置可以互換，?的符號(hào)沒有實(shí)際意義，故取絕對(duì)值即可,列完全相關(guān)的兩種情形,列完全相關(guān)的兩種情形,列聯(lián)相關(guān)系數(shù)（要點(diǎn)）,用于測(cè)度大于2?2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的相關(guān)程度計(jì)算公式為,C 的取值范圍是 0?C<1C = 0表明列聯(lián)表中的兩個(gè)變量獨(dú)立C 的數(shù)值大小取決于列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)，并隨行數(shù)

18、和列數(shù)的增大而增大根據(jù)不同行和列的列聯(lián)表計(jì)算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較,V 相關(guān)系數(shù)（要點(diǎn)）,計(jì)算公式為,V 的取值范圍是 0?V?1 V = 0表明列聯(lián)表中的兩個(gè)變量獨(dú)立 V=1表明列聯(lián)表中的兩個(gè)變量完全相關(guān)不同行和列的列聯(lián)表計(jì)算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較當(dāng)列聯(lián)表中有一維為2，min[(r-1),(c-1)]=1,此時(shí)V=?,?、C、V 的比較,同一個(gè)列聯(lián)表，?、C、V 的結(jié)果會(huì)不同不同的列聯(lián)表，?、C、V 的結(jié)果也不同在對(duì)不同列

19、聯(lián)表變量之間的相關(guān)程度進(jìn)行比較時(shí)，不同列聯(lián)表中的行與行、列與列的個(gè)數(shù)要相同，并且采用同一種系數(shù),列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量（一個(gè)實(shí)例）,【例】一種原料來自三個(gè)不同地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個(gè)不同等級(jí)。從這批原料中隨機(jī)抽取500件進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如下表。分別計(jì)算?系數(shù)、C系數(shù)和V系數(shù)，并分析相關(guān)程度,列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量（一個(gè)實(shí)例）,解：已知n=500，根據(jù)前面的計(jì)算??＝19.82，列聯(lián)表為3?3,結(jié)論：三個(gè)系數(shù)均不高，表明產(chǎn)地和原料等級(jí)之

20、 間的相關(guān)程度不高,,第四節(jié) 列聯(lián)分析中應(yīng)注意的問題,一. 條件百分表的方向 c2 分布的期望值準(zhǔn)則,條件百分表的方向,一般，列聯(lián)表中變量的位置是任意的。即變量X既可放在列的位置，也可放在行的位置。如果變量X與變量Y存在因果關(guān)系，令X為自變量（原因），Y為因變量（結(jié)果），那么一般的做法是把自變量X放在列的位置，條件百分表也多按自變量的方向計(jì)算，因?yàn)檫@樣便于更好地表現(xiàn)原因?qū)Y(jié)果的影響。如下例：,職業(yè)背景

21、與工作價(jià)值觀取向,例外情形,如果因變量在樣本內(nèi)的分布不能代表其在總體內(nèi)的分布，例如，為了分析的需要，抽樣時(shí)擴(kuò)大了因變量的某項(xiàng)內(nèi)容的樣本容量， 這時(shí)如果仍以自變量的方向計(jì)算百分比就會(huì)歪曲實(shí)際情況。,實(shí)例,社會(huì)學(xué)家欲研究家庭狀況（自變量）對(duì)青少年犯罪（因變量）的影響。該地區(qū)有未犯罪的紀(jì)錄的青少年10 000名，有犯罪記錄的青少年150名。如果從未犯罪青少年中抽取1%，即100名進(jìn)行研究，則用相同比例從犯罪青少年中抽取的樣本量?jī)H為1.5人

22、。顯然這樣少的數(shù)量無(wú)法滿足對(duì)比研究的需要。因此，對(duì)犯罪青少年的抽樣必要擴(kuò)大，譬如擴(kuò)大到1/2，即抽取75人。數(shù)據(jù)如下：,家庭狀況與青少年犯罪,家庭狀況與青少年犯罪（條件百分表）,歪曲的比例：完整家庭中，犯罪青少年占的比例 是29%，原因時(shí)抽樣事擴(kuò)大了對(duì)犯罪青少年抽取的數(shù)量,家庭狀況與青少年犯罪（按因變量方向計(jì)算條件百分表）,從上表可見：完整家庭中，未犯罪青少年占的比例是92%，而在離異家庭中這個(gè)比例進(jìn)為8%,c2 分布的期

23、望值準(zhǔn)則,用c2 分布進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，要求樣本容量必須足夠大，特別使每個(gè)單元中的期望頻數(shù)（理論頻數(shù)）不能過小，否則應(yīng)用c2 檢驗(yàn)可能會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。關(guān)于小單元次數(shù)通常有兩個(gè)準(zhǔn)則：,如果只有兩個(gè)單元，每個(gè)單元的期望頻數(shù)必須是5或5以上。如果有兩個(gè)以上的單元，如果20%的單元期望頻數(shù)f_e小于5，則不能應(yīng)用c2 檢驗(yàn)。,c2 檢驗(yàn) 只有兩個(gè)單元的情形,每個(gè)單元的期望頻數(shù)必須是5或5以上可以使用c2 檢驗(yàn),c2 檢驗(yàn) 兩個(gè)以上

24、的單元情形,如果20%的單元期望頻數(shù)f_e小于5，則不能應(yīng)用c2 檢驗(yàn),可以應(yīng)用c2 檢驗(yàn),,6個(gè)單元中只有1個(gè)單元的期望頻數(shù)<51/6<20%,不可以應(yīng)用c2 檢驗(yàn),,7個(gè)單元中有3個(gè)單元的期望頻數(shù)20%如果應(yīng)用c2 檢驗(yàn) ： c2 =14.01> 12.592=c2 _0.05（6） ，拒絕原假設(shè)。但實(shí)際上，期望值與觀察值擬合得很好,上例的修改,將這個(gè)例子中的某些類合并，使得f_e>=5,麻煩就會(huì)。將E