均值各態(tài)歷經(jīng)定理

1、莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,1,概率論與隨機(jī)過(guò)程,第14章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,2,主要內(nèi)容,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念遍歷性相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念,定義：設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ，若對(duì)任意 和 ，時(shí)刻滿足時(shí)， 維隨機(jī)變量和具有相同的分布函數(shù)，則稱隨機(jī)過(guò)程

2、 具有平穩(wěn)性，稱此過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。若平穩(wěn)過(guò)程的參數(shù)集是離散的，則稱過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)序列或平穩(wěn)時(shí)間序列。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,3,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。一般的，若隨機(jī)過(guò)程的前后環(huán)境和主要條件都不隨時(shí)間的推移而變化，則可認(rèn)為該過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程。恒溫條件下的熱噪聲電壓過(guò)程；隨機(jī)相位正弦波；,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,4,平穩(wěn)隨

3、機(jī)過(guò)程的性質(zhì),性質(zhì)1：若平穩(wěn)過(guò)程 的均值函數(shù) 存在，則均值函數(shù)為常數(shù)。證明：由平穩(wěn)過(guò)程的定義，取 ，則有 和 同分布，即得記性質(zhì)2：平穩(wěn)過(guò)程 的均方值函數(shù)和方差函數(shù)為常數(shù)。記平穩(wěn)過(guò)程的所有樣本曲線在水平直線 上下波動(dòng)，平均偏離度為 。,莊

4、伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,5,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),性質(zhì)3：若平穩(wěn)過(guò)程 的自相關(guān)函數(shù) 存在，則自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差 有關(guān)。證明：由平穩(wěn)過(guò)程的定義，取則有二維隨機(jī)向量 和 同分布。所以記性質(zhì)4：平穩(wěn)過(guò)程 的協(xié)方差函數(shù)

5、 只與 有關(guān)。記 ，則有,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,6,寬平穩(wěn)過(guò)程,定義：給定二階矩過(guò)程 ，若對(duì)任意 ，有則稱 為寬平穩(wěn)過(guò)程或廣義平穩(wěn)過(guò)程。注：按分布函數(shù)定義的平穩(wěn)過(guò)程稱為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或狹義平穩(wěn)過(guò)程。定理：若

6、嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的二階矩存在，則它一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。定理：寬平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程必定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。注：由于根據(jù)分布函數(shù)判定平穩(wěn)性一般較難，所以實(shí)際應(yīng)用中，通常只考察寬平穩(wěn)性。我們一般把寬平穩(wěn)過(guò)程稱為平穩(wěn)過(guò)程。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,7,寬平穩(wěn)過(guò)程,定義：若兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程 和 ，其互相關(guān)函數(shù) 只與時(shí)間差 有關(guān)，則稱 和

7、 是平穩(wěn)相關(guān)的，或稱兩個(gè)過(guò)程是聯(lián)合（寬）平穩(wěn)的。注：泊松過(guò)程和維納過(guò)程都是非平穩(wěn)過(guò)程，但增量具有平穩(wěn)性。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,8,平穩(wěn)過(guò)程的例,例：設(shè) 是互不相關(guān)的隨機(jī)序列，且滿足：證明該隨機(jī)序列是寬平穩(wěn)隨機(jī)序列。證明：由題即所以隨機(jī)序列為寬平穩(wěn)的。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,9,平穩(wěn)過(guò)程的例,例：（隨機(jī)相位周

8、期過(guò)程）設(shè) 是周期為 的函數(shù)， 是在 上服從均勻分布的隨機(jī)變量，則稱 為隨機(jī)相位周期過(guò)程。證明該過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程。證明：由題可知 的概率密度為則,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,10,隨機(jī)過(guò)程積分,實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征需通過(guò)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，獲得足夠多的樣本曲線之后獲得：實(shí)際應(yīng)用的困難：大量重復(fù)試驗(yàn)的

9、工作很難實(shí)現(xiàn)。是否可以由一次試驗(yàn)獲得隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征？考察在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)過(guò)程在時(shí)間維度上相關(guān)數(shù)字特征與隨機(jī)過(guò)程的關(guān)系。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,11,隨機(jī)過(guò)程的積分,定義：給定二階矩過(guò)程 ，若它的每個(gè)樣本函數(shù)在時(shí)間區(qū)間 上的積分都存在。則稱此隨機(jī)過(guò)程在時(shí)間區(qū)間 的積分存在，并記為注： 也是隨機(jī)變量。,莊伯金 bj

10、zhuang@bupt.edu.cn,12,隨機(jī)過(guò)程的積分,定義(均方積分)：考慮 內(nèi)的一組分點(diǎn)：記若存在隨機(jī)變量 ，滿足則稱 為 在區(qū)間 上的均方積分，仍記為,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,13,隨機(jī)過(guò)程的積分,定理：二階矩過(guò)程 在 上均方積分存在的充要條件是自相關(guān)函數(shù)的二重積分存在。且可得

11、 均方積分的均值等于過(guò)程的均值函數(shù)的積分，即有,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均,定義：設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ，記為隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間均值。記為隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間相關(guān)函數(shù)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,15,隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均,例：隨機(jī)相位正弦波 的時(shí)間均值 和

12、 。解：可得即可通過(guò)時(shí)間平均計(jì)算過(guò)程的集平均。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,16,遍歷性,定義：設(shè) 是平穩(wěn)過(guò)程，1.若 以概率1成立，則稱過(guò)程 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。2.若對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，以概率1成立，則稱過(guò)程 的相關(guān)

13、函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。3.若 的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱 是（寬）各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。注：各態(tài)歷經(jīng)性也稱為遍歷性。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,17,遍歷性,定理（均值各態(tài)歷經(jīng)定理）：平穩(wěn)過(guò)程 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是推論：假設(shè) 存在，若 ，則過(guò)程具有均值各態(tài)歷經(jīng)性；若

14、 ，則過(guò)程不具有均值各態(tài)歷經(jīng)性。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,18,遍歷性,定理（自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理）：平穩(wěn)過(guò)程 的自相關(guān)函數(shù) 具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是：其中,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,19,遍歷性,若隨機(jī)過(guò)程 ，參數(shù)集 ，則時(shí)間平均可

15、定義為：定理：以概率1成立的充要條件是,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,20,遍歷性,定理：以概率1成立的充要條件是遍歷性定義表明若過(guò)程具有遍歷性，可用一次試驗(yàn)樣本曲線的時(shí)間平均計(jì)算隨機(jī)過(guò)程的均值和相關(guān)性函數(shù)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,21,遍歷性,設(shè)一次隨機(jī)試驗(yàn)記錄了 上的試驗(yàn)結(jié)果 ，假設(shè)平穩(wěn)過(guò)程滿足遍歷性條件，試估算平穩(wěn)過(guò)程的均值函數(shù)和

16、自相關(guān)函數(shù)。解：由遍歷性的定義，可知隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的無(wú)偏估計(jì)為：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,22,,數(shù)字化，將區(qū)間 做 等分，取 ，令則上述積分可近似表示為其中,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,23,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),設(shè) 和 是平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程，它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)

17、函數(shù)：自協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,24,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1.性質(zhì)2.證明：性質(zhì)3.證明：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,25,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)4.證明：由柯西-施瓦茲不等式,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,26,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)5. 是非負(fù)定的，即對(duì)任意數(shù)組

18、和任意實(shí)值函數(shù) ，都有證明：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,27,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)6.若平穩(wěn)過(guò)程周期為 ，即 ，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期的，且周期為 ，即證明：注：零均值的非周期噪聲和干擾在 值適當(dāng)大時(shí)， 和 呈現(xiàn)獨(dú)立性或不相關(guān)性。即有,莊伯金 bjz

19、huang@bupt.edu.cn,28,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),例：某接收機(jī)輸出電壓 由周期信號(hào) 和噪聲電壓 之和，即設(shè) 和 互不相關(guān)的各態(tài)歷經(jīng)性過(guò)程，且 。則自相關(guān)函數(shù)由于所以，對(duì)于適度的 ，有 ，呈現(xiàn)周期性。故可以通過(guò)檢驗(yàn)輸出電壓自相關(guān)函數(shù)是否近似具有周期性來(lái)檢驗(yàn)是否有輸出

20、信號(hào)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,29,傅里葉變換,定義（傅里葉變換）：設(shè)時(shí)間函數(shù) ，滿足狄利克雷條件，且絕對(duì)可積，即則其傅里葉變換存在，即傅里葉逆變換為：注：若 傅里葉變換存在，則信號(hào) 可以看作（或分解）將周期信號(hào) 放大到 倍之后的疊加。 為頻率為 的周期波的振幅，稱為

21、信號(hào)的頻譜。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,30,傅里葉變換,帕塞瓦爾（Parseval）等式：注：帕塞瓦爾等式揭示了信號(hào)在傅里葉變換前后能量保持不變的特性。其實(shí)正交變換都具有這種特性。注：一般的，平穩(wěn)過(guò)程的樣本函數(shù) 并不具備能量有限的條件，且一般不滿足絕對(duì)可積的條件。對(duì)平穩(wěn)過(guò)程，轉(zhuǎn)而研究樣本函數(shù)的平均功率：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,31,功率譜密度,為了描述平均功率

22、，取樣本函數(shù)的截尾函數(shù)其傅里葉變換為根據(jù)帕塞瓦爾等式，可得求平均，可得,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,32,功率譜密度,令 ，則 在 的平均功率可表示為定義：功率譜密度,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,33,平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,定義：平穩(wěn)過(guò)程 ，記

23、稱為平穩(wěn)過(guò)程的平均功率。稱為平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,34,平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,定義：稱為平穩(wěn)過(guò)程的平均功率的譜表示。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,35,譜密度的性質(zhì),性質(zhì)1. 是 的實(shí)值、非負(fù)的偶函數(shù)。性質(zhì)2. 和 是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，即（維納-辛欽公式）：,莊伯

24、金 bjzhuang@bupt.edu.cn,36,譜密度的例,例：隨機(jī)電報(bào)信號(hào)為平穩(wěn)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為求功率譜密度。解：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,37,譜密度的例,例：已知譜密度求自相關(guān)函數(shù)和均方值解均方值,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,38,單位沖激函數(shù),定義：廣義函數(shù) 滿足：稱為單位沖激函數(shù)，簡(jiǎn)稱 函數(shù)。性質(zhì)1. 性質(zhì)2.

25、 傅里葉變換對(duì),莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,39,單位沖激函數(shù),性質(zhì)3. 正弦性自相關(guān)函數(shù) 的譜密度為證明：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,40,單位沖激函數(shù),例：求自相關(guān)函數(shù)的功率譜密度。解,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,41,白噪聲,定義：均值為零而譜密度為正常數(shù)，即的平穩(wěn)過(guò)程 稱為白噪聲

26、過(guò)程，簡(jiǎn)稱白噪聲。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：白噪聲為均值為零，自相關(guān)函數(shù)為 函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程，且對(duì)于 ，有 和 不相關(guān)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,42,白噪聲,低通白噪聲：若均值為零，譜密度在低頻范圍內(nèi)為常數(shù)，即則稱隨機(jī)過(guò)程為低通白噪聲。自相關(guān)函數(shù)：,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,43,互譜密度,定義：設(shè)

27、和 是平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，稱為平穩(wěn)過(guò)程 和 的互譜密度。性質(zhì)1. 性質(zhì)2. 若互相關(guān)函數(shù) 絕對(duì)可積，則有傅里葉變換對(duì)：性質(zhì)3. 和 是偶函數(shù)， 和 是奇函數(shù)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,4