關(guān)于非齊次線性方程組ax=b兩類解法的對(duì)比【畢業(yè)設(shè)計(jì)】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　關(guān)于非齊次線性方程組Ax=b兩類解法的對(duì)比</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信

2、息與計(jì)算科學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b>&l

3、t;/p><p>　　【摘要】矩陣?yán)碚撌菙?shù)學(xué)理論中重要的一環(huán)，它在很多理論與實(shí)際運(yùn)用中都有著廣泛的應(yīng)用。但是任何數(shù)學(xué)理論都有自己的適用范圍，超過(guò)一定范圍，她它便不再適用。矩陣?yán)碚撘膊焕猓瑐鹘y(tǒng)的矩陣?yán)碚撛诮鉀Q一些問(wèn)題時(shí)不再適用，所以需要提出一些矩陣的新理論。廣義逆矩陣就是對(duì)矩陣的補(bǔ)充，我們?cè)诮鉀Q線性方程組時(shí)，可以用廣義逆矩陣法去解決常規(guī)方法所不能解決的問(wèn)題，這樣，我們能夠解決的問(wèn)題范圍就能被拓寬。本文對(duì)兩種方法進(jìn)行一

4、些簡(jiǎn)單的比較，進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的總結(jié)</p><p>　　【關(guān)鍵詞】矩陣?yán)碚摚痪€性方程組；廣義逆矩陣</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Matrix theory is an important mathematical theory of link, its theoretical an

5、d practical application in a lot in a wide range of applications. But any mathematical theory has its own applicable scope, exceed a certain range, she it ceases to apply. Matrix theory is not exceptional also, tradition

6、al matrix theory in solving some problems no longer apply, so need to put some matrix new theory. The generalized inverse matrix of matrix is in solving equations, we added, can use the general</p><p>　　【KEY

7、WORDS】Matrix theory; Linear equations; Generalized inverse matrix</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要I</b></p><p>　　AbstractI</p><p><b>

8、　　目　錄II</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 廣義逆矩陣的相關(guān)說(shuō)明1</p><p>　　2.1 （1）g—逆：1</p><p>　　2.2 M-P逆矩陣的性質(zhì)及其證明4</p><p>　　3 齊次線性方程組Ax=0的矩陣

9、變換法求解6</p><p>　　4 非齊次線性方程組Ax=b的矩陣變換法6</p><p>　　4.1 Kronecker定理(線性方程組有解判別定理)6</p><p>　　4.2 Kronecker定理的證明7</p><p>　　4.3 Kronecker定理的應(yīng)用8</p><p>　　5 非齊次線

10、性方程組的廣義逆矩陣法11</p><p>　　5.1 Penrose定理11</p><p>　　5.2 廣義逆與最小二乘解11</p><p>　　5.3 Penrose定理的應(yīng)用12</p><p>　　6 兩種解法的比較14</p><p>　　6.1 相容性線性方程組14</p>&

11、lt;p>　　6.1.1 用初等行變換解相容性線性方程組14</p><p>　　6.1.2 用廣義逆矩陣法解相容性線性方程組14</p><p>　　6.2 矛盾線性方程組15</p><p>　　6.2.1 用初等行變換解矛盾線性方程組16</p><p>　　6.2.2 用廣義逆矩陣法解矛盾線性方程組16</p&g

12、t;<p><b>　　6.3 小結(jié)17</b></p><p><b>　　7 補(bǔ)充18</b></p><p>　　7.1 廣義逆矩陣的相關(guān)求法18</p><p>　　7.2 布爾矩陣的廣義逆矩陣的計(jì)算20</p><p><b>　　7.3 態(tài)射20<

13、/b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p>　　附錄錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　矩陣在數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用中占有重要地位。在數(shù)學(xué)上，矩陣是縱橫排列的數(shù)據(jù)表格，最早來(lái)自于方程組的系數(shù)或相關(guān)常數(shù)所構(gòu)成的方陣。矩陣這一概念最初是由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)

14、家凱利提出。矩陣概念在生產(chǎn)實(shí)踐中有很多應(yīng)用，比如矩陣圖法以及計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)系統(tǒng)中的矩陣卡系統(tǒng)等等。隨著計(jì)算機(jī)的日益普及，對(duì)運(yùn)算能力的要求越來(lái)越高，這些都離不開(kāi)矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展。</p><p>　　我們從解決非齊次線性方程組的問(wèn)題入手，我們都知道解非齊次線性方程組有矩陣變換法，可是當(dāng)我們面對(duì)的是無(wú)解的方程組時(shí)，傳統(tǒng)矩陣?yán)碚撟哌M(jìn)了死胡同，這就需要引入新的矩陣?yán)碚?。廣義逆矩陣概念的引出就水到渠成。由于在實(shí)際應(yīng)用中，我們不可

15、能遇到無(wú)解的方程組就不去解決，而廣義逆矩陣法可以求出方程組的最小二乘解，把誤差在一定的范圍內(nèi)相對(duì)最小化，這在實(shí)際應(yīng)用中是很重要的。正如我們都知道對(duì)于實(shí)數(shù)的平方都大于等于零，但是對(duì)于有些實(shí)際遇到的一元二次方程組在實(shí)數(shù)域中是無(wú)解的，所以需要?jiǎng)?chuàng)立復(fù)數(shù)理論一樣。廣義逆矩陣?yán)碚撌菍?duì)矩陣?yán)碚摰挠行аa(bǔ)充，它有著自己的定義方式、相關(guān)性質(zhì)定理及其一些應(yīng)用。本文就是從這一角度去對(duì)廣義逆矩陣?yán)碚撟饕环崂恚纬上到y(tǒng)的認(rèn)識(shí)。 </p><

16、;p>　　廣義逆矩陣是對(duì)逆矩陣的推廣。若A為非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b的解為，其中A的逆矩陣滿足(為單位矩陣)。若A是奇異陣或長(zhǎng)方陣，Ax=b可能無(wú)解或有很多解。若有解，則解為，其中是維數(shù)與A的列數(shù)相同的任意向量，X是滿足AXA=A的任何一個(gè)矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用、或等符號(hào)表示，有時(shí)簡(jiǎn)稱廣義逆。</p><p>　　線性方程組的逆矩陣解法一般只適用于一種特殊情況,即適用于系數(shù)矩陣為方陣的時(shí)

17、候，用于一般的線性方程組 ,可以應(yīng)用矩陣的廣義逆來(lái)研究并表示 它的解而且與其它解法相比解的討論更完整 ,表達(dá)形式更簡(jiǎn)潔系統(tǒng)。</p><p>　　廣義逆矩陣的相關(guān)說(shuō)明</p><p><b>　　（1）g—逆：</b></p><p>　　對(duì)于每一個(gè)非異的n階矩陣A，必存在逆矩陣，并且它們之間有如下關(guān)系：，逆矩陣是唯一的。n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的非

18、齊次線性方程組Ax=b，當(dāng)A非異時(shí)，其唯一解可由逆矩陣表示為。</p><p>　　當(dāng)系數(shù)矩陣A為任意矩陣時(shí)，非齊次線性方程組Ax=b的解是否也可以通過(guò)一個(gè)與A以某種恰當(dāng)?shù)年P(guān)系相伴的矩陣表示出來(lái)呢？下面有定理1肯定地回答了這個(gè)問(wèn)題。</p><p>　　定理1 設(shè)，Ax=b是相容的（即該方程組有解），那么，x=Xb是Ax=b的一個(gè)解的充要條件是其中的X使得AXA=A成立。</p&g

19、t;<p>　　證：令為A的任一列，當(dāng)然是相容的。如果就是的一個(gè)解，則。讓j跑遍1,2...，n，即得AXA=A。反之，Ax=b相容，必存在，使得。因AXA=A，故，也就是b=A(Xb)?？梢?jiàn)，x=Xb是Ax=b的一個(gè)解。</p><p>　　那么對(duì)于一般線性方程組Ax=b來(lái)說(shuō)，滿足矩陣方程AXA=A的矩陣，正起著A非異時(shí)所能起到的類似的作用。因此，這個(gè)矩陣方程的解叫做A的“廣義逆”,記為</

20、p><p>　　定義1 對(duì)任意矩陣A而言，凡滿足矩陣方程AXA=A的矩陣X，都稱為A的廣義逆，記為或，簡(jiǎn)稱g-逆。</p><p>　　定義 設(shè)，矩陣A的一個(gè)廣義逆是滿足以下條件的矩陣X：對(duì)于任何使Ax=b相容的b而言總是Ax=b的一個(gè)解。</p><p>　　Ax=b是相容的（即非齊次線性方程組有解）充要條件是對(duì)某個(gè)有成立，其一般解為，其中y為任意n維列向量。這里的逆

21、叫做Cayley逆。</p><p>　　現(xiàn)在，給出任意矩陣的g—逆的具體結(jié)構(gòu)。</p><p>　　先看一個(gè)特殊情形，若，且形如下形式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則只要取矩陣S有下式成立</p><p>　　，其中是任意的，就有RSR=R。</p>

22、<p>　　而任意一個(gè)秩為r的矩陣，都可通過(guò)適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q和列的置換化為行階梯型： </p><p>　　這就是說(shuō)，存在適當(dāng)?shù)某醯染仃嘐和置換矩陣P，會(huì)使下式成立：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　因而有下式成立：</b>&l

23、t;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　將A進(jìn)行分解以后，容易得到下式成立：</p><p>　　這樣它就滿足AXA=A，其中L是任意一個(gè)矩陣。</p><p>　　有以上的推理知，任意矩陣A的g—逆都存在，而且一般不是唯一的。當(dāng)且僅當(dāng)A非異時(shí)，g—逆才是唯一的，就是Cayley逆。由于P和E均是非異的

24、，因此有下式成立：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　Moore—Penrose逆</p><p>　　E.H.Moore和R.Penrose先后證明了對(duì)于每個(gè)有限維的矩陣A，存在滿足如下四個(gè)方程的一個(gè)相伴陣：</p><p><b>　　(1)AXA=A;</b><

25、/p><p><b>　　(2)XAX=X;</b></p><p>　　(3)(AX)*=AX;</p><p>　　(4)(XA)*=XA</p><p>　　以這樣的更多的聯(lián)系與A相伴的X，其條件是比一般g-逆更強(qiáng)的一種廣義逆，成為Moore—Penrose逆，記為或，它是的特殊情況。</p><p

26、>　　在一般的非齊次線性方程組的求解時(shí)，只要用到g—逆就可以了，但是任何數(shù)學(xué)理論都有其局限性，對(duì)于另外的目的，單靠AXA=A往往并不足以揭露問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，這與我們的初衷相悖，所以需要補(bǔ)加更多的關(guān)系。這時(shí)候前面的Moore—Penrose逆就是必要的了。</p><p>　　對(duì)于Moore—Penrose逆來(lái)說(shuō)，有如下定理成立：</p><p>　　定理2 設(shè)A=FG滿秩分解（即F和G

27、與矩陣A有相同的秩），則（廣義逆的求法）</p><p>　　證：因，而秩=秩F=r，秩=秩G=r，所以都是滿秩的。因而非異。容易驗(yàn)證滿足方程（1）—（4）。</p><p>　　由上述證明得知，除r=0外，任意都有Moore—Penrose逆存在，這對(duì)于我們的問(wèn)題解決是有很大好處的。不僅如此，隨著實(shí)際問(wèn)題和理論研究上的需要，人們還突破（1）—（4）這幾個(gè)方程的局限，補(bǔ)加或提出一些別的關(guān)系

28、，建立了更多種類型的廣義逆，例如，若人們關(guān)心的是譜的性質(zhì)，即關(guān)于矩陣特殊值和特殊向量的那些性質(zhì)，那么，我們只需要考察方陣即可。</p><p>　　可見(jiàn)，與非奇異情形不同，無(wú)論如何都只有一種逆矩陣，而且是唯一的。在廣義逆的意義下，由于不同的目的，我們可有不同類型的逆矩陣。它們與A以各種不同的方式聯(lián)系著。這種種聯(lián)系，就形成了對(duì)于形形色色的廣義逆的研究，就形成了“廣義逆矩陣”這樣一個(gè)內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛的新科目。<

29、;/p><p>　　M-P逆矩陣的性質(zhì)及其證明</p><p>　　性質(zhì)1 任何秩為r的矩陣A，它的M-P廣義逆矩陣存在且唯一。</p><p>　　證明：若R（A）=0，則A為零矩陣，顯然，這個(gè)零矩陣滿足M-P廣義逆矩陣定義中的所有四個(gè)條件。</p><p>　　若，對(duì)A做滿秩的分解：A=GH，其中G與H分別是數(shù)域F上的，并且秩為R的和矩陣

30、，容易得出與均是R階非奇異方陣，且和分別是G和H的M-P廣義逆。令，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以證明，B是滿足廣義逆矩陣的定義所有四個(gè)條件的。所以B是A的M-P廣義逆矩陣。</p><p>　　接下去我們需要證明唯一性：不妨設(shè)C是A的另一個(gè)M-P廣義逆矩陣，由于B是廣義逆矩陣，</p><p><b>　　所以有上式成立。</b></p><p>　　由此得知

31、，B=C，從而M-P廣義逆的唯一性得證。</p><p>　　性質(zhì)2 對(duì)于任意的秩為R的矩陣A，都有以下結(jié)論成立：</p><p>　　如果A為可逆矩陣，則有</p><p>　　證明：根據(jù)A的M-P廣義逆矩陣定義都：成立，上述結(jié)論的成立可以根據(jù)相關(guān)定義容易推證。</p><p>　　齊次線性方程組Ax=0的矩陣變換法求解</p>

32、;<p>　　前面我們對(duì)矩陣的相關(guān)理論進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹，我們也都知道了矩陣在很多方面都有較為廣泛的應(yīng)用。我們?cè)谶@兒從齊次線性方程組Ax=0的求解問(wèn)題入手，從而加深對(duì)于問(wèn)題實(shí)質(zhì)的理解，了解下矩陣?yán)碚撛谇蠼夥匠痰莫?dú)特作用。我們知道線性方程組在很多領(lǐng)域都有用處，與理論研究和生產(chǎn)實(shí)踐都有很大關(guān)聯(lián)。我們先舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明矩陣在求解齊次線性方程組的作用。</p><p>　　例 求齊次線性方程組</p&g

33、t;<p><b>　　的所有解。</b></p><p>　　解：我們?cè)谶@兒令該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，則接下去我們用矩陣的行變換法進(jìn)行求解，我們有下面推理：該齊次方程組的系數(shù)矩陣</p><p>　　根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，我們知道矩陣A的秩等于2，所以該線性方程組的基礎(chǔ)解系有2個(gè)自由向量。不妨取兩個(gè)向量作為自由向量，所以我們得知它的基礎(chǔ)解系為<

34、;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　因?yàn)閷?duì)于該齊次線性方程組而言，它的所有解為</p><p>　　小結(jié)：從上述例中，我們可以看出矩陣初等變換法在求解齊次線性方程組時(shí)較為簡(jiǎn)便，形式簡(jiǎn)單易懂，是一種應(yīng)用廣泛的求解方法。</p><p>　　非齊次線性方程組Ax=b的矩陣變換法</p>&l

35、t;p>　　Kronecker定理(線性方程組有解判別定理)</p><p>　　設(shè)非齊次線性方程組Ax=b為</p><p><b>　　引入向量</b></p><p><b>　　，，.....，</b></p><p>　　于是線性方程組可以改寫(xiě)成向量方程。</p>&l

36、t;p>　　顯然，線性方程組有解的充分必要條件為向量可以表成向量組的線性組合。用秩的概念，方程組有解的條件可以敘述如下：它的系數(shù)矩陣</p><p><b>　　與增廣矩陣</b></p><p><b>　　有相同的秩。</b></p><p>　　Kronecker定理的證明</p><p&g

37、t;　　證明：先證必要性，設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，就是說(shuō)，可以通過(guò)向量組線性表出。由此立即推出，向量組與向量組等價(jià)，由于兩向量組等價(jià)的充要條件是兩者有相同的秩，所以上述兩向量組有相同的秩。這兩個(gè)向量組分別是矩陣A與的列向量組。因此，矩陣A與有相同的秩。</p><p>　　再證充分性。設(shè)矩陣A與有相同的秩，就是說(shuō)，它們的列向量組與有相同的秩，令它們的秩為r，中的極大線性無(wú)關(guān)組是由r個(gè)向量組成，無(wú)妨設(shè)是它的

38、一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。顯然也是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，因此向量可以通過(guò)線性表出。既然可以經(jīng)線性表出，當(dāng)然它可以經(jīng)線性表出。因此，非齊次方程組Ax=b有解。 </p><p>　　Kronecker定理的應(yīng)用</p><p>　　Kronecker定理為我們求解非齊次線性方程組Ax=b提供了一種方法，用該定理能夠迅速地判定一個(gè)方程組是否有解。如下面幾個(gè)例子：</p><

39、p>　　例1 求解非齊次線性方程組</p><p>　　解：對(duì)該方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組進(jìn)行初等行變換，即</p><p>　　所以得到R（A）=2</p><p>　　對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換，</p><p>　　所以得到R(B)=3</p><p>　　因?yàn)?，所以根?jù)Kronecker定理，該非齊次線性方

40、程組無(wú)解。</p><p><b>　　例2</b></p><p>　　設(shè)一個(gè)非齊次線性方程組有如下形式：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　求該線性方程組系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B的秩，并求增廣矩陣B的一個(gè)最高階非零子式。</p><p>　　解：先

41、求系數(shù)矩陣A的秩，為此對(duì)A作初等行變換變成行階梯型矩陣：</p><p>　　因?yàn)樾须A梯型矩陣有3個(gè)非零行，所以R(A)=3</p><p>　　再求增廣矩陣B的秩，為此對(duì)B作出等行變換成行階梯型矩陣：</p><p>　　因?yàn)樾须A梯型矩陣有3個(gè)非零行，所以R(B)=3。由于R(A)=R(B)=3，所以該非齊次線性方程組有解。</p><p>

42、;　　再求增廣矩陣B的一個(gè)最高階非零子式，因?yàn)镽(B)=3，知B的最高階非零子式為3階。B的3階子式共有個(gè)，要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式，是比較麻煩的?？疾霣的行階梯型矩陣，記，則矩陣的行階梯型矩陣為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由上面知R()=3，故中必有3階非零子式。的3階子式有4個(gè)，在的4個(gè)3階子式中找一個(gè)非零子式比在B中找非

43、零子式較方便。今計(jì)算的前三行構(gòu)成的子式。</p><p>　　因此這個(gè)子式便是B的一個(gè)最高階非零子式。</p><p>　　例3 求解下列方程組</p><p>　　解：對(duì)于該線性方程組進(jìn)行初等行變換，對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換： </p><p>　　可以看出R(A)=R(B)=2，所以根據(jù)上述Kronecker定理，知該方程組有解，其中

44、A是方程組的系數(shù)矩陣。</p><p><b>　　接下去我們還能得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取則有 。</b></p><p>　　所以就能得到方程組的一個(gè)解 </p><p><b>　

45、　。</b></p><p>　　在對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組</p><p><b>　　中，</b></p><p><b>　　取</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則可以得出 <

46、/b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　即得所對(duì)應(yīng)的其次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 </p><p>　　接下去我們可以得到通解為 </p><p>　　小結(jié)：在我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中，遇到最多的是線性方程組，包括齊次線性和非齊次線性兩種，上述的矩陣變換法是一種通法。對(duì)于非齊次線性方程組而言，在求

47、解過(guò)程中只需對(duì)系數(shù)矩陣和增廣矩陣進(jìn)行初等行變換和列變換，然后根據(jù) Kronecker定理比較兩者的秩，如果相等，則方程組有解；如果不相等，則方程組無(wú)解。 </p><p>　　非齊次線性方程組的廣義逆矩陣法</p>

48、;<p><b>　　Penrose定理</b></p><p>　　非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為，這里表示矩陣A的Moore—Penrose廣義逆。</p><p><b>　　廣義逆與最小二乘解</b></p><p>　　現(xiàn)在，為了下文的容易闡述，這兒說(shuō)明一下廣義逆表出的最小二乘解。&l

49、t;/p><p>　　設(shè)，很多時(shí)候，線性方程組Ax=b是無(wú)解的，換句話說(shuō)，對(duì)一切，殘差向量r=b—Ax都是非零的，這時(shí)，我們需要努力地尋求Ax=b的某種近似解，即尋求一個(gè)x，它能夠使殘差向量在一定情況下“最接近于”零。最常用的近似解是使該殘差向量的歐幾里得范數(shù)最小，即所謂的最小二乘解。</p><p>　　定義：若向量，使得取最小值，則稱x為Ax=b的最小二乘解。</p><

50、;p>　　定理：設(shè)，則為Ax=b的一個(gè)最小二乘解，這里為A的任意一個(gè){1,3}—逆。</p><p>　　Penrose定理的應(yīng)用</p><p>　　例：求解下列線性方程組</p><p>　　解：下面我們用廣義逆矩陣法進(jìn)行求解，對(duì)于該方程組的系數(shù)矩陣，我們可以得到</p><p><b>　　所以有</b>&l

51、t;/p><p><b>　　接下去我們可以得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　根據(jù)Penrose定理我們就可以知道，這個(gè)方程組無(wú)解，是矛盾方程組。</p><p>　　小結(jié)：畢竟

52、特殊情況是少數(shù)，在日常應(yīng)用中，我們更多的時(shí)候遇到的是非齊次線性方程組無(wú)解時(shí)的狀況，這時(shí)候矩陣變換法不再適用，所以我們需要?jiǎng)?chuàng)立新的數(shù)學(xué)理論以解決這一問(wèn)題。無(wú)解的時(shí)候我們需要進(jìn)行近似計(jì)算，以獲得最小二乘解，這樣的話，就能使誤差盡可能地小。廣義逆矩陣和最小二乘解是對(duì)矩陣?yán)碚摰倪M(jìn)一步補(bǔ)充，讓我們?cè)诿鎸?duì)新的問(wèn)題時(shí)多了一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具。</p><p><b>　　兩種解法的比較</b></p&

53、gt;<p>　　每一個(gè)非齊次線性方程組Ax=b（），由前面的Kronecker定理知：該線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣和對(duì)應(yīng)的增廣矩陣有相同的秩，這兒的秩可以通過(guò)初等行變換或列變換得出，如果它有解，則稱之為相容線性方程組：反之，則稱之為不相容線性方程組或矛盾線性方程組。對(duì)于前者，我們主要有兩種有效的方法進(jìn)行求解，即矩陣的初等變換法和廣義逆矩陣法，雖然具體形式不太一樣，但是實(shí)質(zhì)和最終結(jié)果是等價(jià)的，有著異曲同工之

54、妙。而對(duì)于矛盾線性方程組第一種方法無(wú)能為力，但是廣義逆矩陣法卻有巨大的作用。</p><p><b>　　相容性線性方程組</b></p><p>　　對(duì)于任意一個(gè)非齊次線性方程組，如果它有解，則稱它為相容性線性方程組。即對(duì)于Ax=b，有</p><p>　　用初等行變換解相容性線性方程組</p><p>　　例：求解下

55、列非齊次線性方程組</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解：由于該非齊次線性方程組是否有解無(wú)法直接判斷，所以先用矩陣的初等行變換法來(lái)判斷。它的增廣矩陣為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由Kronecker定理知，該方程組的系數(shù)矩陣和對(duì)應(yīng)的增廣矩陣

56、的秩相等，所以該線性方程組為相容線性方程組，可以得出上述非齊次線性方程組的通解為（其中為任意常數(shù)）</p><p>　　用廣義逆矩陣法解相容性線性方程組</p><p>　　同樣是上面的例子：求解非齊次線性方程組</p><p>　　下面我們用廣義逆矩陣法進(jìn)行求解，雖然方法相對(duì)繁瑣些，但只是為了進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較，所以只能這樣。</p><p>

57、　　解：對(duì)于這個(gè)線性方程組，它的系數(shù)矩陣為</p><p>　　很容易就可以看出，它的秩等于2，所以A是行滿秩矩陣，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以得到它的廣義逆矩陣</p><p><b>　　由于，</b></p><p>　　可以看出Ax=b為相容性線性方程組。它的通解為</p><p><b>　　。</b&

58、gt;</p><p>　　由前面的廣義逆矩陣和最小二乘解的相關(guān)知識(shí)可以知道：最小范數(shù)解的歐幾里得范數(shù)，顯然這是它的最小二乘解。</p><p>　　定理3：對(duì)于相容性線性方程組Ax=b，矩陣的初等變換法（行變換或列變換）所求的通解與廣義逆矩陣所求的通解是等價(jià)的。</p><p>　　證明：因?yàn)椋杂删€性代數(shù)相關(guān)知識(shí)可以知道，矩陣的列向量是齊次線性方程組Ax=0的

59、解。</p><p>　　另外因?yàn)?，由Sylvester不等式我們知道，又因?yàn)榫仃嚨闹燃由暇仃嚨闹却笥诘扔诰仃嚨闹龋╪）。所以有。因?yàn)?，所以?lt;/p><p>　　這說(shuō)明矩陣的列向量與Ax=0基礎(chǔ)解系等價(jià)，從而可以看出矩陣的初等變換法所求的通解與廣義逆矩陣求的通解是等價(jià)的。</p><p><b>　　矛盾線性方程組</b></p>

60、<p>　　對(duì)于任意一個(gè)非齊次線性方程組，如果它無(wú)解，則稱它為矛盾線性方程組。即對(duì)于Ax=b，有</p><p>　　用初等行變換解矛盾線性方程組</p><p>　　在這里，我們?nèi)匀徊捎门e例的方法進(jìn)行說(shuō)明。</p><p>　　例：求解下列非齊次線性方程組</p><p>　　解：我們先用初等行變換進(jìn)行求解，對(duì)該非齊次線性方程

61、組而言，有系數(shù)矩陣A的秩等于1，而它的增廣矩陣等于2。根據(jù)Kronecker定理，由于兩者不相等，所以該線性方程組為矛盾方程組，而用傳統(tǒng)的初等行變換無(wú)法求解。</p><p>　　用廣義逆矩陣法解矛盾線性方程組</p><p>　　同樣是上面的例子：求解非齊次線性方程組</p><p>　　解：下面我們用廣義逆矩陣法進(jìn)行求解，對(duì)于該方程組的系數(shù)矩陣，我們可以得到&l

62、t;/p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　接下去我們可以得到</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　這樣我們就可以知道，這個(gè)方程組是矛盾方程組，只能求出其最小二乘解。最小二乘解的通式為</p><p

63、><b>　　。</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　為該矛盾線性方程組唯一的最小二乘解，它的范數(shù)值是極小的。</p><p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　任何數(shù)學(xué)理論都有自己的使用范圍，都有著自己的局限性，對(duì)于我們經(jīng)

64、常使用矩陣?yán)碚撘膊粫?huì)例外。對(duì)于非齊次線性方程組而言，常規(guī)的矩陣初等變換法在有解的時(shí)候是有效的，可是到了無(wú)解的情況時(shí)就無(wú)能為力了。所以廣義逆矩陣法應(yīng)允而生，相比較而言，廣義逆矩陣法要比初等變換法更深刻，特別是對(duì)于矛盾線性方程組Ax=b，無(wú)效的后果根是無(wú)法與前者相比。</p><p><b>　　補(bǔ)充</b></p><p>　　廣義逆矩陣的相關(guān)求法</p>

65、<p>　　廣義逆矩陣概念是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教科書(shū)上沒(méi)有涉及的新內(nèi)容，廣義逆矩陣在很多領(lǐng)域中有著重要的作用，例如在測(cè)量學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及線性規(guī)劃等領(lǐng)域就有較為廣泛的應(yīng)用。對(duì)與廣義逆矩陣而言，其基本理論還在不斷優(yōu)化中，以后的應(yīng)用必將越來(lái)越廣。為此，我們需要簡(jiǎn)單補(bǔ)充說(shuō)明廣義逆矩陣的簡(jiǎn)易求法。</p><p>　　廣義逆矩陣的計(jì)算方法一般有初等變換法和滿秩分解法。下面給出具體的行和列的初等變換求廣義逆矩陣的方法

66、。</p><p>　　設(shè)矩陣A是矩陣，它的秩等于r且等于m，但同時(shí)也小于n（這時(shí)候稱A為行滿秩），對(duì)A進(jìn)行行和列的初等變換總可以將A變?yōu)槿缦路謮K矩陣。</p><p>　　當(dāng)它的秩等于r且等于n小于m（這時(shí)候稱A為列滿秩），對(duì)A進(jìn)行行和列的初等變換總可以將A變成如下的分塊矩陣</p><p>　　如果有該矩陣的秩等于r且小于m和n中較小的一個(gè)（這時(shí)候稱A為虧秩矩陣

67、）時(shí)，對(duì)A進(jìn)行行和列的初等變換總可以將A變成如下的分塊形式</p><p>　　其中是階滿秩矩陣，，是具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣，并且它們滿足，即有下式成立：。這里P是一系列的行初等矩陣的積，Q是一系列的列初等矩陣的積。所以我們可以得到</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而矩陣就是的廣義逆矩陣。</p><

68、p>　　如果我們?cè)O(shè)矩陣是對(duì)矩陣A進(jìn)行的一系列的行初等變換；是對(duì)矩陣A進(jìn)行的一系列的列初等變換。則接下去我們可以得到：</p><p>　　很顯然，，，這就是把同樣的行初等變換施加于E的結(jié)果是P，把同樣的列出等變換施加于E的結(jié)果便是Q。其中，是階滿秩矩陣，，是具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣且滿足，所以我們有，仍然和上面一樣，P是一系列的行初等矩陣的積，Q是一系列的列初等矩陣的積。</p><p>

69、　　當(dāng)矩陣A為滿秩矩陣是有成立的，即它的廣義逆矩陣就是普通的逆矩陣。下面舉一個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明：</p><p><b>　　例：設(shè)</b></p><p><b>　　，求A的廣義逆矩陣</b></p><p>　　解：容易求出該矩陣的秩等于2</p><p><b>　　，。</b&

70、gt;</p><p>　　從而我們可以得出矩陣A的某一個(gè)廣義逆矩陣為</p><p>　　在這兒需要指出的是，上述方法對(duì)于求長(zhǎng)方形虧秩矩陣的廣義逆矩陣非常方便，實(shí)際計(jì)算時(shí)，有些矩陣只需要進(jìn)行行初等變換或列初等變換就可以將其變成滿秩矩陣，這使得運(yùn)算更為簡(jiǎn)便。</p><p>　　布爾矩陣的廣義逆矩陣的計(jì)算</p><p>　　隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的

71、飛速發(fā)展，二進(jìn)制已經(jīng)被大家普遍接受了，二進(jìn)制中只有0和1兩個(gè)元素。布爾矩陣應(yīng)運(yùn)而生，布爾矩陣就是一個(gè)矩陣中只有0和1兩個(gè)元素。對(duì)于這類矩陣，我們這兒簡(jiǎn)單說(shuō)明下計(jì)算它們的廣義逆矩陣時(shí)所需要的知識(shí)。</p><p>　　首先，設(shè)，如果存在一個(gè)矩陣，使得下式成立：ABA=A，則稱為A是正則的，同時(shí)稱矩陣B是矩陣A的一個(gè)廣義逆矩陣。</p><p>　　然后，設(shè)，矩陣G是矩陣A的一個(gè)廣義逆矩陣，如

72、果對(duì)于矩陣A的任意廣義逆矩陣B，均滿足，則稱矩陣G是矩陣A的最大廣義逆矩陣。</p><p>　　這兒補(bǔ)充一個(gè)定理：設(shè)，矩陣A為正則矩陣的充分必要條件是，這時(shí)候，矩陣是矩陣A的最大廣義逆矩陣。證明較為繁瑣，這兒略去。</p><p><b>　　態(tài)射</b></p><p>　　我們都知道，在歐幾里得空間中矩陣的變換是一種關(guān)系變換，矩陣的變換可

73、以使事物之間發(fā)生聯(lián)系。我們?cè)谶@兒補(bǔ)充一下有關(guān)態(tài)射的知識(shí)。在數(shù)學(xué)理論上，一個(gè)態(tài)射是兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間保持結(jié)構(gòu)的過(guò)程的一種抽象。最常見(jiàn)的這種態(tài)射過(guò)程的例子是在某種意義上保持結(jié)構(gòu)的函數(shù)或映射。在集合論知識(shí)中，例如，態(tài)射就是函數(shù)；在群輪中，它們就是群同態(tài)；而在拓?fù)鋵W(xué)上，它們是連續(xù)函數(shù)；在泛代數(shù)的范圍內(nèi)，態(tài)射通常就是同態(tài)。態(tài)射的引申會(huì)對(duì)我們理解矩陣結(jié)構(gòu)關(guān)系有幫助，近世代數(shù)中群的知識(shí)就讓我們對(duì)同態(tài)加深了印象。對(duì)于態(tài)射和它們定義于其間的結(jié)構(gòu)（或?qū)ο螅┑?/p>

74、抽象的研究就構(gòu)成了范疇論的一部分。在范疇論中，態(tài)射不必是函數(shù)，而通常被視為兩個(gè)對(duì)象間的箭頭，有時(shí)候這兩個(gè)對(duì)象不必是集合。不像映射一個(gè)集合的元素到另外一個(gè)集合，態(tài)射只是用來(lái)表示域和陪域間的某種關(guān)系。這樣的話，態(tài)射就比通過(guò)矩陣變換聯(lián)系起來(lái)的關(guān)系更為廣泛和一般了。盡管態(tài)射的本質(zhì)看起來(lái)很抽象，多數(shù)人無(wú)法正確理解，理解基本都是通過(guò)具體范疇的例子。不過(guò)這些并不會(huì)影響態(tài)射的應(yīng)用。</p><p>　　這兒補(bǔ)充態(tài)射的一些最基本知

75、識(shí)，只是因?yàn)樗c廣義逆矩陣有些聯(lián)系，能夠更為深入了解廣義逆矩陣而已，并沒(méi)有刻意而為。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]白素英 關(guān)于非齊次線性方程組 Ax=b兩類解法的對(duì)比 哈爾濱金融高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) 2010年7月 第3期 </p><p>　　[2]侯雙根 廣義分塊對(duì)角矩陣的廣義逆矩陣 鄭

76、州工學(xué)院學(xué)報(bào) 1992年6月 第l3卷 第2期 </p><p>　　[3]伊崇信 戴洪才 一種求布爾矩陣全體廣義逆的新算法 齊齊哈爾輕工學(xué)院學(xué)報(bào) 1990年6月 第6卷第2期</p><p>　　[4]周立仁 矩陣加權(quán)Moore--Penrose 逆的通式 青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2010年第2期 </p><p>　　[5]宋小

77、力 AX = B型矩陣方程解集的結(jié)構(gòu) 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào) 2010年7月 第36卷 第3期</p><p>　　[6]邵俊倩 關(guān)于Moore-Penrose 逆的若干性質(zhì) 巢湖學(xué)院學(xué)報(bào) 2009年第 11卷第6期 總第99期</p><p>　　[7]賀永會(huì) 矩陣方程 AiXiBi = C在特定條件下的解 山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào) 2009年11月</p>

78、<p>　　[8]郭玲 付敏 向慶 線性方程組AX= B的識(shí)別反問(wèn)題及其應(yīng)用 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào) 第23卷(增)(2008)</p><p>　　[9]羅成林 求廣義逆矩陣的方法 高師理科學(xué)刊 2007年5月 第27卷 第3期 </p><p>　　[10]Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt 關(guān)于柯西托普利茨矩陣和柯西漢克爾矩陣標(biāo)準(zhǔn)