4.伽利略變換

1、<p><b>　　4.伽利略變換</b></p><p>　　科學遵循的原則是,在充分必要的條件下越簡單越好.盧瑟福認為“一個好的理論應該連酒吧女郎都能看懂.”</p><p><b>　　1、慣性系：</b></p><p>　　力學的發(fā)展經牛頓總結成動力學三定律,牛頓三定律及其導出的各定理在伽利略變換下,對

2、所有慣性系都有相同形式.這一表述通常稱為力學相對性原理,伽利略變換不同慣性系的時空變換導出基于兩個基本假定：一是相對性原理,另一個是時間和尺長在不同慣性系是相同的.</p><p>　　慣性系族：相對作勻速運動的所有慣性系稱為慣性系族</p><p>　　設慣性系相對慣性系是同族慣性系,慣性系時空的均勻性決定了同一事件點在慣性系與中對應坐標矢與滿足如下線性關系：</p>&l

3、t;p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　　（1-2）</b></p><p><b>　　即 , </b></p><p>　　慣性系空間的各向同性要求同一個慣性系在空間轉動下不變,也即慣性系的空間是Euclid空間,為了適當簡化推導過程我們選擇在系的空間投影為

4、系的軸,同樣選擇在系的空間投影為系的軸,各自建立正交性的時空坐標,也即有</p><p><b>　　（2-1）</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　在（2-1）式兩邊同時點乘或,由時空標架的正交性易得</p><p><b>　　,</b&

5、gt;</p><p><b>　　于是,；,</b></p><p><b>　　同理,</b></p><p><b>　　,；,</b></p><p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>

6、;　?。?-2）</b></p><p>　　在（3-1）兩邊點乘或可得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即,；,</b></p><p>　　在（3-2）兩邊點乘或可得</p><p><b>　　,</

7、b></p><p><b>　　,；,</b></p><p><b>　　綜上即有</b></p><p>　　即系到系的線性變換可分解為-到-的變換與-到-的變換.其中-到-的變換是Euclid空間的剛性轉動,于是可在系作旋轉使與同與對應平行,即有：</p><p><b>　

8、?。?-1）</b></p><p><b>　　對應的有,</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　有,,,,</b></p><

9、p><b>　　2、間隔的定義</b></p><p><b>　　3、間隔不變性</b></p><p>　　考慮兩無限接近的事件,則</p><p>　　i) 顯然a不可能是空間和時間的函數(shù),這是因為空間和時間是均勻的,若a是空間和時間的函數(shù),則在同一坐標系中,同樣兩個事件之間的間隔將是不確定的.</p&g

10、t;<p>　　ii) 因光的速度在空間各個方向一樣,故a與兩個參考系之間相對速度的方向無關.</p><p><b>　　∴a=a(v)</b></p><p>　　常期以來,時間絕對性和桿長絕對性在人們認識上是根深蒂固的,在物體運動速度遠小于光速的牛頓力學范圍內,實驗或觀測不會對這些觀念提出挑戰(zhàn).如果不是因為在解釋與光速有關的實驗結果發(fā)生困難；如果不

11、是因為電磁場方程不滿足伽利略變換下的形式不變,人們是不會輕易放棄這些假定的.</p><p>　　如所周知,伽利略-牛頓力學的基本定律（稱為慣性定律）可以表述如下：一物體在離其他物體足夠遠時,一直保持靜止狀態(tài)或保持勻速直線運動狀態(tài).這個定律不僅談到了物體的運動,而且指出了不違反力學原理的、可在力學描述中加以應用的參考物體或坐標系.相對于人眼可見的恒星那樣的物體,慣性定律無疑是在相當高的近似程度上能夠成立的.現(xiàn)在如

12、果我們使用一個與地球牢固地連接在一起的坐標系,那么,相對于這一坐標系,每一顆恒星在一個天文日當中都要描畫一個具有莫大的半徑的圓,這個結果與慣性定律的陳述是相反的.因此,如果我們要遵循這個定律,我們就只能參照恒星在其中不作圓周運動的坐標系來考察物體的運動.若一坐標系的運動狀態(tài)使慣性定律對于該坐標系而言是成立的,該坐標系即稱為“伽利略坐標系”.伽利略-牛頓力學諸定律只有對于伽利略坐標系來說才能認為是有效的.（摘自《淺說》第4節(jié)、伽利略坐標系

13、的全文）</p><p>　　在物理學中幾乎沒有比真空中光的傳播定律更簡單的定律了,光在真空中沿直線以速度c=300,000公里／秒傳播.無論如何我們非常精確地知道,這個速度對于所有各色光線都是一樣的.因為如果不是這樣,則當一顆恒星為其鄰近的黑暗星體所掩食時,其各色光線的最小發(fā)射值就下會同時被看到.荷蘭天文學家德西特根據(jù)對雙星的觀察,也以相似的理由指出,光的傳播速度不能依賴于發(fā)光物體的運動速度.關于光的傳播速度與

14、其“在空間中”的方向有關的假定即就其本身而言也是難以成立的.總之,我們可以假定關于光（在真空中）的“速度= c”是恒定的這一簡單的定律已有充分的理由為學校里的兒童所確信.誰會想到這個簡單的定律競會使思想周密的物理學家陷入智力上的極大的困難呢？讓我們來看看這些困難是怎樣產生的.當然我們必須參照一個坐標系來描述光的傳播過程.我們再次選取我們的路基作為這種參考系.如果沿著路基發(fā)出一道光線,根據(jù)上面的論述我們可以看到,這道光線的前端將

15、相對于路基以速度c傳播,現(xiàn)在我們假定我們的車廂仍然以速度v在路軌上行駛,其方向與光線的方向同,不過車廂的速度當然要比光的速度小得多.我們來研究一下這光線相對于車廂的傳播速度問題.顯然我</p><p>　　每一個運動著的三維坐標系都有各自獨立的一個三維空間度量和一維時間度量,構成四維度量.在同一個坐標系里 ,能量的讀數(shù)是連續(xù)變化的.在相對運動著的不同坐標系里 ,各自的四維度量應該是不同的,這也是因為在相對運動著的

16、不同坐標系里,能量的讀數(shù)是不同的緣故.然而坐標系主要表現(xiàn)為數(shù)學的概念,而能量是客觀存在的.為了保證坐標系之間能量特征（包括動能和勢能的差值等等）的連續(xù)性、一致性,坐標系之間的度量必須建立相應的變換關系.</p><p>　　伽里略的時空變換,是這樣來認識兩個相對運系統(tǒng)中,物質運動變化的時空關系的.在慣性系統(tǒng)中,有兩個相對做勻速運動的物理系統(tǒng)Σ,和Σ.在t=t,=0時,兩個系統(tǒng)重合.當Σ,相對Σ以速度V向X方向運動

17、的同時,從原點射出一光信號,光在兩個系統(tǒng)中經過時間t,和t到達同一點P.對于光從原點到P點這個同一事件,伽利略認為時間是相等的,空間是變化了的,空間的變化用速度迭加來處理.</p><p>　　伽利略時空變換如下：</p><p>　　（1）式和（2）式,就是伽利略時空變換表達式,伽利略變換對于兩個空坐標之間的時空關系的表述是正確的；伽利略變換,對于相對運動系統(tǒng)中,物質運動變化的時空關系就

18、不正確了.研究相對運動系統(tǒng)內物質運動變化的規(guī)律,必須用相對論的時空變換來處理,才能得到正確的結果.</p><p>　　薛定諤方程是伽利略變換群下的不變式——因此，這種量子力學是一種“古典量子力學”，它和“古典力學”有著相同的物理學根基——這就是“伽利略變換群”.然而，任何普適的古典的波動方程或者量子的波動力學方程，一律都不是伽利略變換群的不變式.狄拉克方程是洛倫茲變換群下的不變式——因此，這種量子力學是相對論量

19、子力學，量子電動力學，量子場論.這一類的量子理論中所有的核心方程一律都是洛倫茲變換群下的絕對式.不論是古典電動力學，還是相對論力學，它們的核心方程一律也是洛倫茲變換群下的不變式.伽利略變換群——是粒子類型的變換群.洛倫茲變換群——是波動類型的變換群.</p><p>　　把薛定諤方程為核心的量子力學稱作是“粒子性的量子力學”，或則稱作為“伽利略量子力學”而把狄拉克方程為核心的量子力學稱作是“波定性的量子力學”，或

20、者稱作為“洛侖茲量子力學”.全部量子力學被嚴格區(qū)分成性質對立的兩大系列——這種情形就和經典力學一樣，也被嚴格區(qū)分成性質對立的兩大系列：經典粒子力學和經典波動力學.所以，薛定諤方程為核心的“伽利略量子力學”和狄拉克方程為核心的“洛侖茲量子力學”是完全不同類型的量子力學，絕對不可以混淆這兩大類量子力學之間存在的深刻的物理差別，更不可以將二者混為一談！薛定諤方程所描述的量子的波函數(shù)是“粒子類型的波函數(shù)”；而狄拉克方程所描述的量子的波函數(shù)則是“