數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計--具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型

1、<p>　　注：任務(wù)書由指導(dǎo)教師填寫。</p><p>　題　目具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型</p><p>　1、課程設(shè)計的目的數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計是讓學(xué)生通過動手動腦解決實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)完《數(shù)學(xué)建?！氛n程后進(jìn)行的一次全面的綜合訓(xùn)練，是一個非常重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。</p><p>　課程設(shè)計的內(nèi)容和要求（包括原始數(shù)據(jù)、技術(shù)要求、工作要求等）根據(jù)指導(dǎo)教師所

2、下達(dá)的課程設(shè)計題目和課程設(shè)計要求，在規(guī)定的時間內(nèi)完成設(shè)計任務(wù)；撰寫詳細(xì)的課程設(shè)計論文一份。</p><p>　3、主要參考文獻(xiàn)【1】姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版），高等教育出版社，北京?！?】壽紀(jì)麟，數(shù)學(xué)建模——方法與范例，西安交大出版社?！?】（美）JOHN A.QUELCH 等著 呂—林 等譯，市場營銷管理教程和案例, 北京大學(xué)出版社 2000。【4】戴永良 廣告績效評估，中國戲劇出版社，2001。 <

3、/p><p>　4、課程設(shè)計工作進(jìn)度計劃</p><p>　指導(dǎo)教師（簽字）日期年 月 日</p><p>　教研室意見：年 月 日</p><p>　學(xué)生（簽字）： 接受任務(wù)時間： 2014 年 12 月 15 日</p><p><b>　　摘要</b></p&

4、gt;<p>　　廣告，就是廣而告知的意思。隨著市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，行業(yè)之間的競爭越來越激烈，為了提高利潤，廣告成為了重要的競爭工具，也是企業(yè)培育市場、培養(yǎng)品牌的重要方式。不同的行業(yè)、不同的產(chǎn)品、甚至同一產(chǎn)品的不同生命周期，廣告的投放時間、投放程度、投放市場的選擇都是千差萬別的。今天我們從數(shù)學(xué)建模角度結(jié)合數(shù)學(xué)知識研究產(chǎn)品廣告費(fèi)用分配對銷量及利潤的影響，建立廣告投入策略的模型，討論了不確定環(huán)境下使得公司獲利最大的最優(yōu)廣告費(fèi)投入量

5、。</p><p>　　并用模擬近似法進(jìn)行應(yīng)用實(shí)例分析，從而得到模型參數(shù)的變化對最優(yōu)策略的影響．</p><p>　　本文還進(jìn)一步考慮了模型的優(yōu)缺點(diǎn)，并根據(jù)提出的缺點(diǎn)，對模型進(jìn)行了進(jìn)一步改進(jìn)，并提供了一些相關(guān)的評估方法。</p><p>　　[關(guān)鍵詞]：廣告費(fèi)用; 市場競爭；銷量；利潤；優(yōu)化模型；增長因子</p><p><b>　

6、　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p><b>　　一丶問題重述1</b></p><p><b>　　二丶符號說明2</b></p><p><b>　　三、問題分析2</b></p>

7、<p><b>　　四、模型假設(shè)3</b></p><p>　　五、模型建立與求解4</p><p><b>　　六、結(jié)果解釋6</b></p><p><b>　　七、實(shí)例分析6</b></p><p><b>　　八丶模型評估9</b&

8、gt;</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)10</b></p><p><b>　　一丶問題重述</b></p><p>　　甲乙兩公司通過廣告來競爭銷售商品的數(shù)量，廣告費(fèi)分別是x和y。設(shè)甲乙公司商品的售量在兩公司總售量中占得份額，是它們的廣告費(fèi)在總廣告費(fèi)中所占份額的函數(shù)和。又設(shè)公司的收入與售量成正比，從收入中扣除廣告

9、費(fèi)后即為公司的利潤。試構(gòu)造，模型的圖形，并討論甲公司怎樣確定廣告費(fèi)才能使利潤最大。（1）令，則。畫出f(t)的示意圖。（2）寫出甲公司利潤的表達(dá)式p(x)。對于一定的y，使p(x)最大的x的最優(yōu)值應(yīng)滿足什么關(guān)系。用圖解法確定這個最優(yōu)值。</p><p><b>　　二丶符號說明</b></p><p>　　k、c: 任意常數(shù)；</p><p&g

10、t;　　x、y:甲、乙兩公司各自投入的廣告費(fèi)；</p><p><b>　　t: ；</b></p><p>　　p(x): 甲公司投入廣告后獲得的利潤。</p><p><b>　　三、問題分析</b></p><p>　　廣告對于任何產(chǎn)品它的最終目的是提高銷售量，進(jìn)而使銷售利潤上升。</p

11、><p>　　現(xiàn)實(shí)生活中，影響銷售數(shù)量的因素有很多，包括市場的自然變動、價格因素、產(chǎn)品或者服務(wù)的性能和質(zhì)量、廣告的質(zhì)量和密度、銷售網(wǎng)絡(luò)的密度和質(zhì)量、行業(yè)特點(diǎn)等等。但在實(shí)證研究的過程中我們無法把所有因素都考慮在內(nèi)，因此我們在做模型分析前假設(shè)銷售數(shù)量只受廣告費(fèi)用的影響，并且產(chǎn)品所做的廣告在一定意義上都是成功的。</p><p>　　下面我們通過對銷售與利潤之間數(shù)量關(guān)系的分析，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系模型

12、，利用甲乙兩公司銷售的函數(shù)，用求導(dǎo)，平移函數(shù)圖像地方法，求出相應(yīng)的利潤最值問題。</p><p>　　利潤=收入-廣告費(fèi)，利用這個等式，建立甲公司利潤的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)已知的關(guān)系，求導(dǎo)，得駐點(diǎn)，進(jìn)而得最值。</p><p><b>　　四、模型假設(shè)</b></p><p>　　1. 銷售數(shù)量只受廣告費(fèi)用的影響，且產(chǎn)品所做的廣告在一定意義上都是

13、成功的，商家的信譽(yù)度和產(chǎn)品質(zhì)量是良好的。</p><p>　　2. 不考慮市場環(huán)境的突變及同類產(chǎn)品的競爭，有且僅有這兩個公司通過廣告競爭銷售該商品。</p><p>　　3.產(chǎn)品的銷售過程和宣傳力度均為連續(xù)過程，若某公司廣告費(fèi)用為0，則商品銷售額也是0。</p><p>　　4.廣告具有立時性，一旦宣傳就起效應(yīng)；</p><p>　　5.利潤

14、與銷量成正比，且比例系數(shù)為k。商品的銷售速度是因作廣告而增加，但是這種增加有一定的限度。廣告只能影響該產(chǎn)品在市場上尚未達(dá)到飽和的部分，當(dāng)商品在市場上趨于飽和時，銷售速度也趨于它的上限值。</p><p>　　6.假設(shè)停止廣告宣傳后，銷售速度不會達(dá)到飽和速度。</p><p>　　7.產(chǎn)品量是充足的，廣告的宣傳力度和宣傳時間相對固定；</p><p>　　8. 自然衰

15、減是銷售速度的一種性質(zhì)，即商品銷售速度隨銷售率的增加而減小。</p><p><b>　　五、模型建立與求解</b></p><p><b>　　問題（1）：</b></p><p>　　令，帶入得，使用MATLAB軟件，得到的示意圖</p><p><b>　　結(jié)果：</b>

16、</p><p>　　f(t)圖形以為中心對稱，如圖實(shí)線或虛線所示。</p><p>　　由x,y的一般性，以下設(shè)f（t）為實(shí)線形狀。</p><p><b>　　問題（2）：</b></p><p>　　設(shè)甲公司廣告費(fèi)用為x,以公司廣告費(fèi)用為y(y是常數(shù))。</p><p>　　則甲公司銷量為,

17、銷售額為，(k是常數(shù)）。</p><p><b>　　利潤p(x)為：。</b></p><p>　　依題意即是要求p（x）取得最大值的點(diǎn)。</p><p><b>　　方法一：</b></p><p><b>　　由可得，</b></p><p>　　

18、取任意常數(shù)c，，則：</p><p>　　曲線族g（t）中與f（t）相切的那一條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，。</p><p><b>　　如圖：</b></p><p><b>　　方法二：</b></p><p>　　由f（t）~t圖形做出下圖，再作直線，在曲線上找一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)，使過M點(diǎn)的切線平行于h

19、（x），即為所求：</p><p>　　結(jié)果：按方法一或者方法二都可以得到結(jié)果。如圖，即為所求，即產(chǎn)品投資費(fèi)用為時甲公司獲得的利潤最大。</p><p><b>　　六、結(jié)果解釋</b></p><p>　　產(chǎn)品銷售中的廣告投入選擇與費(fèi)用分配一直是企業(yè)面臨的一大難題，如何將其進(jìn)行合理分配不僅體現(xiàn)了廣告業(yè)務(wù)人員的決策意識，也是企業(yè)利潤取得最大化的

20、重要保障，在廣告費(fèi)用投入準(zhǔn)則中我們要知道既不是投入越多，收獲也就更多，而是要采取理性選擇，在廣告費(fèi)用投入越少的情況下使得利潤最大，總而言之，廣告在產(chǎn)品銷售環(huán)節(jié)中已經(jīng)起著舉足輕重的作用，而且隨著社會競爭的激烈加劇，它的重要性還會上升。</p><p>　　本模型可以有效幫助決策者大致估算廣告投入費(fèi)用，提高廣告費(fèi)用的投入產(chǎn)出比。</p><p><b>　　七、實(shí)例分析</b&

21、gt;</p><p>　　究竟如何分配才能使效益最大化了，我們舉例說明一下：</p><p>　　某裝潢公司以每桶20元的價格購進(jìn)一批彩漆，想通過做廣告使銷售量有一個增長.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，彩漆售價與預(yù)期銷售量的關(guān)系見表一（來源于網(wǎng)絡(luò)），廣告費(fèi)與銷售增長因子的關(guān)系見表二，其中銷售增長因子意義為：實(shí)際銷售量等于預(yù)期銷售量乘以銷售增長因子.現(xiàn)問廣告費(fèi)與銷售價分別為多少時利潤最大？</p>

22、<p>　　根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，通過曲線擬合得到預(yù)期銷售量與售價、銷售增長因子與廣告費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系，并建立以售價和廣告費(fèi)為二元變量的利潤函數(shù)，最后求極值得到問題的解. </p><p><b>　　第一步：</b></p><p>　　根據(jù)表中數(shù)據(jù)可預(yù)設(shè)銷售量為線性函數(shù)t(x)=ax+b,</p><p>　　設(shè)銷售增長因子為二次函

23、數(shù)z(y)=cy^2+dy+e.</p><p><b>　　第二步：</b></p><p>　　利用數(shù)學(xué)軟件中曲線擬合功能求出</p><p><b>　　t(x)=ax+b</b></p><p>　　其中a≈-513.33, b≈50422.22.</p><p>　

24、　其中c≈-4.25*10ˉ10,d≈4.09*10ˉ5,e≈1.02.</p><p><b>　　第三步：</b></p><p>　　由于利潤=實(shí)際銷售收入-購進(jìn)彩漆費(fèi)用-廣告費(fèi)用，故設(shè)利潤函數(shù)為：</p><p>　　將第二步中t(x)和z(y)代入得:</p><p>　　其中a,b,c,d,e分別如第二步所示

25、。</p><p>　　分別將利潤函數(shù)對x和y求偏導(dǎo)并令其等于零得：并將a,b,c,d,e的值代入得：x≈59.11, y≈46620</p><p>　　所以，當(dāng)投入約46620元廣告費(fèi)，實(shí)際售價約為59.11元時利潤最大，此時獲最大利潤約為1525600元. </p><p>　　通過實(shí)例研究，分析可得如下結(jié)論：</p><p>　　相

26、關(guān)關(guān)系證明了假設(shè)5利潤與銷量成正比，以及其他方面實(shí)例也與模型符合。</p><p><b>　　八丶模型評估</b></p><p><b>　　模型的優(yōu)點(diǎn)：</b></p><p>　　1、易于推廣，模型構(gòu)思巧妙，能準(zhǔn)確得出最佳廣告費(fèi)；</p><p>　　2、應(yīng)用范圍廣，可應(yīng)用各種新產(chǎn)品的市場銷

27、售計劃；</p><p>　　3、基本模型對問題的描述精確、合理，推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，理論性強(qiáng)。</p><p>　　模型的缺點(diǎn)以及改進(jìn)方法: </p><p>　　1：此模型是理想化的模型，k的不確定性使這個模型比較粗糙，這里只是簡單的使收入與銷售成線性的正比關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，可以再細(xì)微的調(diào)查相關(guān)數(shù)據(jù)，得出一個更精確的函數(shù)關(guān)系。</p><p>　

28、　2.建模前假設(shè)的銷售額不受其他因素的影響，使研究的精準(zhǔn)性受到了限制。因此廣告費(fèi)用與利潤的深層關(guān)系還有待進(jìn)一步的研究。 </p><p>　　3.上述模型說明了廣告費(fèi)與銷量呈正相關(guān)關(guān)系。但從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度講，任何現(xiàn)實(shí)投入都存在邊際產(chǎn)出的問題。也就是說，廣告的費(fèi)用投入同樣應(yīng)該考慮邊際產(chǎn)出，過度的投入不但不會使投入產(chǎn)出比增加，相反會引起降低，使產(chǎn)品的生產(chǎn)流通成本增加。所以廣告費(fèi)用的多少，應(yīng)該與企業(yè)的生產(chǎn)流通規(guī)模相適應(yīng)。

29、正確利用模型，科學(xué)投入。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　【1】姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版），高等教育出版社，北京。</p><p>　　【2】壽紀(jì)麟，數(shù)學(xué)建?！椒ㄅc范例，西安交大出版社。</p><p>　　【3】（美）JOHN A.QUELCH 等著 呂—林 等譯，市場營銷管理教