rsa算法的實現(xiàn)——畢業(yè)論文

1、<p><b>　　RSA算法的實現(xiàn)</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文設計的是一套完整實用的RSA文件加密解決方案，并具體編碼實現(xiàn)。本文采用費馬小定理測試素數(shù)，使用Montgomery加快大數(shù)模乘運算，用C++實現(xiàn)RSA加密算法類庫，并在32位windows平臺封裝成組件。在.Net平臺引用

2、此組件，實現(xiàn)可以對任意文件進行RSA加密操作的窗體應用程序。經(jīng)過加密的文件以及密鑰文件都是文本文件。本文首先給出關(guān)鍵類類圖、整個應用程序的結(jié)構(gòu)描述文檔，然后對關(guān)鍵模塊流程圖、詳細的接口文檔進行闡述，并給出關(guān)鍵的實現(xiàn)代碼，最后對應用程序進行測試，對測試結(jié)果進行分析研究，進而對應用程序進行改進，對關(guān)鍵算法進行盡可能的優(yōu)化，最終得到一個在windows運行的可以用指定密鑰對任意文件進行RSA加密并可解密的完整應用程序，和一些相關(guān)的可移植組件。

3、</p><p>　　關(guān)鍵詞： RSA；文件加密；Montgomery；費馬定理</p><p>　　Implement of RSA Algorithm</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In this paper, a solution of encrypting file w

4、ith RSA algorithm and the codes of this system are introduced. Fermat theory is used to test prime number. Montgomery is used to cut short the time of modular multiplication of large number. The class library of RSA is i

5、mplemented in C++, and packaged to component on the platform of 32 bits windows. On the platform of .Net, the application is implemented with reference of this component and can encrypt any file with RSA. Both encrypted

6、files and key </p><p>　　Key words: RSA ; File Encryption ; Montgomery ; Fermat</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　論文總頁數(shù)：35頁</b></p><p><b>　　

7、1 引言1</b></p><p><b>　　1.1課題背景1</b></p><p>　　1.2 RSA算法介紹與應用現(xiàn)狀1</p><p>　　1.3 RSA應用于文件加密的分析2</p><p>　　1.3.1 文件加密使用RSA的可行性2</p><p>　　1.

8、3.2 文件加密使用RSA的意義3</p><p>　　2 RSA文件加密軟件的設計與實現(xiàn)4</p><p>　　2.1 需求分析與總體設計4</p><p>　　2.1.1 功能分析4</p><p>　　2.1.2 工程方案選擇4</p><p>　　2.2 各部分的設計與開發(fā)5</p>

9、<p>　　2.2.1 實現(xiàn)RSA加密算法的C++核心類庫5</p><p>　　2.2.2 封裝C++核心類庫的DLL組件25</p><p>　　2.2.3 引用DLL的.Net類與實現(xiàn)文件操作功能的窗體應用程序26</p><p>　　3 軟件整體測試與分析改進27</p><p>　　3.1 編寫測試各項性能需要

10、的精確計時類27</p><p>　　3.2 測試數(shù)據(jù)與分析改進27</p><p>　　3.2.1 密鑰生成測試27</p><p>　　3.2.2 數(shù)據(jù)輸入輸出測試28</p><p>　　3.2.3 加密解密測試29</p><p><b>　　結(jié) 論31</b></

11、p><p><b>　　參考文獻32</b></p><p><b>　　附 錄33</b></p><p><b>　　致 謝34</b></p><p><b>　　聲 明35</b></p><p>&l

12、t;b>　　1 引言</b></p><p><b>　　1.1課題背景</b></p><p>　　RSA公鑰加密算法是第一個既能用于數(shù)據(jù)加密也能用于數(shù)字簽名的算法。它易于理解和操作，也十分流行。算法的名字以發(fā)明者的姓氏首字母命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。雖然自1978年提出以來，RSA的安

13、全性一直未能得到理論上的證明，但它經(jīng)歷了各種攻擊，至今（2006年）未被完全攻破。隨著越來越多的商業(yè)應用和標準化工作，RSA已經(jīng)成為最具代表性的公鑰加密技術(shù)。VISA、MasterCard、IBM、Microsoft等公司協(xié)力制定的安全電子交易標準（Secure Electronic Transactions，SET）就采用了標準RSA算法，這使得RSA在我們的生活中幾乎無處不在。網(wǎng)上交易加密連接、網(wǎng)上銀行身份驗證、各種信用卡使用的數(shù)字

14、證書、智能移動電話和存儲卡的驗證功能芯片等，大多數(shù)使用RSA技術(shù)。</p><p>　　當今公鑰加密更廣泛應用于互聯(lián)網(wǎng)身份認證，本課題將公鑰加密算法RSA應用于小型文件加密。將任意文件加密成文本的解決方案，使其使用更加靈活。整個工程的分層設計，給引用移植和后續(xù)開發(fā)帶來便利。</p><p>　　1.2 RSA算法介紹與應用現(xiàn)狀</p><p>　　RSA算法可以簡單

15、敘述如下：</p><p><b>　　<密鑰生成></b></p><p>　　取素數(shù)p，q，令n=p×q.</p><p>　　取與(p-1)×(q-1)互素的整數(shù)e，</p><p>　　由方程d×e=1 (mod (p-1)×(q-1))解出d，</p&g

16、t;<p>　　二元組(e,n)作為公開密鑰，</p><p>　　二元組(d,n)作為私有密鑰．</p><p><b>　　<加密解密></b></p><p>　　b=ae mod n，c=bd mod n.</p><p>　　附錄中給出了證明a=c (mod n).</p>

17、<p>　　RSA公開密鑰加密算法自20世紀70年代提出以來，已經(jīng)得到了廣泛認可和應用。發(fā)展至今，電子安全領(lǐng)域的各方面已經(jīng)形成了較為完備的國際規(guī)范。RSA作為最重要的公開密鑰算法，在各領(lǐng)域的應用數(shù)不勝數(shù)。RSA在硬件方面，以技術(shù)成熟的IC應用于各種消費類電子產(chǎn)品。</p><p>　　RSA在軟件方面的應用，主要集中在Internet上。加密連接、數(shù)字簽名和數(shù)字證書的核心算法廣泛使用RSA。日常應用

18、中，有比較著名的工具包Open SSL(SSL，Security Socket Layer,是一個安全傳輸協(xié)議，在Internet上進行數(shù)據(jù)保護和身份確認。Open SSL是一個開放源代碼的實現(xiàn)了SSL及相關(guān)加密技術(shù)的軟件包，由加拿大的Eric Yang等發(fā)起編寫的。相關(guān)詳細介紹見http://www.openssl.org/about/ )。Open SSL應用RSA實現(xiàn)簽名和密鑰交換，已經(jīng)在各種操作系統(tǒng)得到非常廣泛的應用。另外，家喻

19、戶曉的IE瀏覽器，自然也實現(xiàn)了SSL協(xié)議，集成了使用RSA技術(shù)的加密功能，結(jié)合MD5和SHA1，主要用于數(shù)字證書和數(shù)字簽名，對于習慣于使用網(wǎng)上購物和網(wǎng)上銀行的用戶來說，幾乎天天都在使用RSA技術(shù)。</p><p>　　1.3 RSA應用于文件加密的分析</p><p>　　1.3.1 文件加密使用RSA的可行性</p><p>　　通過1.2節(jié)的論述，不難看出RSA

20、當今的應用多在于數(shù)字簽名和證書等方面。之所以只應用于這些短小數(shù)據(jù)的加密解密，是因為RSA算法加密極慢，速度是DES對稱密鑰加密速度的千分之一左右。正是因為這樣，把RSA應用于普通文件加密的想法一直被忽略。通常文件被想象成大數(shù)據(jù)塊，但是實際上在日常應用中，有些極其重要的文本資料是并不太大的，比如因擔心遺忘而用普通文本記錄的銀行帳號和密碼、不應被陌生人知道的重要電話號碼、幾千字節(jié)大的重要小圖片等。</p><p>　

21、　雖然RSA加密運算的速度十分慢，但是在PC性能越來越好的今天，對于幾千字節(jié)的數(shù)據(jù)進行一次幾百位密鑰的RSA加密，所消耗的時間應該是可以接受的。下面結(jié)合大數(shù)運算程序的調(diào)試，從理論上簡單的分析消耗時間。在一臺普通配置的PC機上對一個整數(shù)進行冪模運算，因為公開密鑰的e通常取的較小，所以指數(shù)取一個小整數(shù)，比如C353，模一個70字節(jié)長的整數(shù)(140位十六進制，大數(shù)單元以線性組方式實現(xiàn)，對應到RSA算法中，這相當于約560bit的n)，調(diào)試一個

22、函數(shù)測試，按初等數(shù)論中的知識對程序進行算法優(yōu)化，最終在一臺配置為AMD Athron2800+，外頻333MHZ，物理內(nèi)存512MB的PC上測試需要約45毫秒時間。如果按這種速度，逐字節(jié)對1KB的數(shù)據(jù)進行同樣的運算，所消耗的時間理論上為45毫秒的1024倍即約45秒。這個時間并不是非常長。</p><p>　　其實從一個簡單的角度來說，既然RSA用于數(shù)字簽名可行，那就完全可以用于同樣大小的普通文件。對于較大的文件

23、，如果分成與數(shù)字簽名同樣大小的段(這里假設數(shù)字簽名較短，不分段一次計算加密完成)，分開的各段逐一進行加密運算，那所需要的時間也只是按文件大小線性的增長。通常數(shù)字簽名為幾十字節(jié)，加密運算并不需要很長的等待，這就說明對于幾百字節(jié)或一兩K字節(jié)大小的文件來說，如果進行RSA加密，并不會是非常漫長的工作。當然，如果文件更大，加密就顯得十分漫長了。比如按前面敘述的45毫秒大數(shù)運算程序推理，加密1M字節(jié)大小的文件需要約1天的時間。所以，要在普通PC用

24、幾百位以上的長密鑰RSA加密文件，文件不能過大，一般可以接受的上限是幾KB。如果要在較短時間內(nèi)加密大文件，需要縮短密鑰長度以減小運算量，這將帶來安全性隱患。</p><p>　　本文的第3章將根據(jù)實際調(diào)試好的軟件，測試給出具體的時間消耗數(shù)據(jù)。例如，在一臺配置為AMD Athron2800+，外頻333MHZ，物理內(nèi)存512MB的PC上測試實現(xiàn)的軟件，以560bit的n逐字節(jié)加密一個1KB大小的文件需要55秒。通常

25、記錄如銀行帳號密碼等重要數(shù)據(jù)的文本文件大小不足百字節(jié)，加密只需要數(shù)秒鐘。所以對于小型文件，進行較長密鑰的RSA加密是完全可行的。</p><p>　　1.3.2 文件加密使用RSA的意義</p><p>　　如1.3.1節(jié)所述，小型文件加密可以使用RSA。比如，因擔心遺忘而用普通文本記錄的銀行帳號和密碼、不應被陌生人知道的重要電話號碼、幾千字節(jié)大的重要小圖片等?？尚械姆椒ㄎ幢厥潜匾模拘?/p>

26、節(jié)討論何種文件適合用非對稱密鑰加密，即RSA加密文件的意義所在。</p><p>　　對于前面敘述的帶有重要信息的小型文本和二進制數(shù)據(jù)的維護，①如果不加密，將無法放心的保存在計算機上，尤其是連網(wǎng)的或機房里的公共計算機。②如果借助功能強大的大型多用戶數(shù)據(jù)保護程序維護幾個小型文件，顯得十分煩瑣，好比殺雞用牛刀。③如果采用對稱密鑰加密，即加密解密的密鑰相同，只適合部分情況。在某些情況下，使用對稱密鑰加密文件，交流使用不

27、夠方便。比如，張三由于某種原因，需要將自己的某個文件在公共計算機上留給李四，而不希望別人看到內(nèi)容。如果采用對稱密鑰加密，張三和李四提前約好一個密碼就可以。但是如果張三想要在同一臺公共計算機上再留一個秘密文件給王五，而不希望別人看到，就要和王五另外約定一個密碼。如果需要在這臺公共計算機上留十個文件給不同的人，自己就要記和十個人約定好的密碼，這樣以來交流起來不夠方便，因為對于張三，要自己維護太多的密鑰。非對稱密鑰(公開密鑰方式)恰好解決這樣

28、的問題。只要大家都在這臺計算機或這臺計算機可以訪問到的地方，留下自己的公開密鑰，一切就變的容易解決了。張三要留給李四的文件，就用李四的公開密鑰加密，要留給王五的文件，就用王五的公開密鑰加密。李四和王五只要把留給自己的文件用自己的私</p><p>　　綜上所述，使用前面敘述的方式加密文件有兩點重要意義：①應用非對稱密鑰加密任意文件，使非對稱密鑰的應用不僅僅局限于互聯(lián)網(wǎng)絡。②非對稱加密后的數(shù)據(jù)變換成文本，使得我們可

29、以通過幾乎任何方式安全傳遞任意文件，比如在只有http的環(huán)境使用xml方式。</p><p>　　2 RSA文件加密軟件的設計與實現(xiàn)</p><p>　　2.1 需求分析與總體設計</p><p>　　2.1.1 功能分析</p><p>　　經(jīng)過1.3.2節(jié)的論述，我們可以將對軟件的要求總結(jié)如下：</p><p>

30、　?、倏梢园匆蟮奈粩?shù)生成非對稱密鑰。</p><p>　?、诳梢杂弥付荑€以RSA算法加密任意一個文件，加密生成的數(shù)據(jù)為純文本。</p><p>　?、劭梢匝b載加密過的文件，并用指定的密鑰解密還原出原文件。</p><p>　　④ 提示信息完整、操作舒適、圖形界面雅觀</p><p>　　按上述描述，給出Use Case和Statec

31、hart如圖2-1。</p><p>　　圖2-1 本項目的 Use Case和Statechart</p><p>　　根據(jù)以上分析，一般來說，需要進行編碼的程序有 </p><p>　?、賀SA密鑰生成 ②RSA加密解密 ③任意文件的讀取 ④各環(huán)節(jié)必要的數(shù)據(jù)編碼轉(zhuǎn)換 ⑤圖形操作界面。</p><p>　　2.1.2 工程方案選擇</

32、p><p>　　綜合考慮復用性、可維護性和執(zhí)行效率，較妥當?shù)姆椒ㄊ欠謱釉O計。核心的RSA算法由C++類庫實現(xiàn)，針對用戶所在的操作系統(tǒng)封裝成本地化組件。其他各功能如文件操作、數(shù)據(jù)編碼轉(zhuǎn)換和圖形界面等，由托管代碼借助虛擬機平臺標準庫的功能快速開發(fā)實現(xiàn)(本文針對選用.Net上的C#論述，選用java由JNI或其他方式調(diào)用本地組件，設計模式上是完全類似的)。這種開發(fā)方式，核心功能集中在最底層，在不斷的封裝中針對具體環(huán)境對組件

33、功能不斷擴充，任意一個層面的封裝都可以被直接應用到其他項目，比如在Web使用以前為某窗體程序?qū)懙慕M件、給嵌入式設備交叉編譯算法庫等。但是每一層都需要依賴底層的所有組件。圖2-2形象的說明了分層設計給復用帶來的好處。</p><p>　　圖2-2 綜合考慮復用性、可維護性和執(zhí)行效率的分層設計</p><p>　　選用這種設計方案，上層使用C#，底層算法使用C++，可以由一個Visual St

34、udio解決方案管理，給調(diào)試帶來極大的方便。整個工程分四層，實現(xiàn)RSA加密算法的C++核心類庫、封裝C++核心類庫的DLL組件、引用DLL的.Net類、實現(xiàn)文件操作功能的.Net窗體應用程序。2.2節(jié)詳細介紹各部分的設計與開發(fā)。</p><p>　　考慮到工作量，本軟件加解密數(shù)據(jù)沒有嚴格遵從RSA標準PKCS #1，而是在滿足設計要求的前提下，以一種盡可能簡單的方式實現(xiàn)加密和解密。</p><

35、p>　　2.2 各部分的設計與開發(fā)</p><p>　　2.2.1 實現(xiàn)RSA加密算法的C++核心類庫</p><p>　　1. 大數(shù)存儲和四則運算</p><p>　　根據(jù)RSA算法的要求，為了實現(xiàn)大數(shù)的各種復雜運算，需要首先實現(xiàn)大數(shù)存儲和基本四則運算的功能。當今開源的大數(shù)運算C++類有很多，多用于數(shù)學分析、天文計算等，本文選用了一個流行的大數(shù)類型，并針對R

36、SA算法和本項目的具體需要對其進行了擴充和改進。下面簡單介紹大數(shù)存儲和四則運算的實現(xiàn)原理。</p><p>　　最先完成的功能是大數(shù)的存儲，存儲功能由flex_unit類提供。和普通的類型一樣，每一個大數(shù)對應一個flex_unit的實例。類flex_unit中，用一個無符號整數(shù)指針unsigned * a指向一塊內(nèi)存空間的首地址，這塊內(nèi)存空間用來存儲一個大數(shù)，所以可以說，大數(shù)是被存儲在一個以unsigned為單元

37、的線性組中。在方法void reserve( unsigned x )中通過C++的new來給a開辟空間，當flex_unit的實例中被存入比當前存儲的數(shù)更大的數(shù)時，就會調(diào)用reserve來增加存儲空間，但是當flex_unit的實例中被存入比當前存儲的數(shù)更小的數(shù)時，存儲空間并不會自動緊縮，這是為了在運算的時候提高執(zhí)行效率。結(jié)合指針a，有兩個重要的無符號整數(shù)來控制存儲，unsigned z和unsigned n，z是被分配空間的單元數(shù)，

38、隨數(shù)字變大不斷增大，不會自己緊縮，而n是當前存儲的大數(shù)所占的單元數(shù)，組成一個大數(shù)的各unsigned單元的存入和讀出由set、get方法完成，變量n是只讀的。類型unsigned在32位機是32位的，所以對于flex_unit這個大數(shù)類來說，每個大數(shù)最大可</p><p>　　圖2-3 flex_unit對大數(shù)的管理</p><p>　　在flex_unit的存儲功能基礎上，將其派生，得到

39、vlong_value，在vlong_value中實現(xiàn)四則運算函數(shù)，并實現(xiàn)強制轉(zhuǎn)換運算符unsigned，以方便大數(shù)類型和普通整數(shù)的互相賦值。當大數(shù)被強制轉(zhuǎn)換為unsigned時，將取其最低四字節(jié)的值。四則運算實現(xiàn)的原理十分簡單，都是按最基本的算術(shù)原理實現(xiàn)的，四則運算過程的本質(zhì)就是按一定數(shù)制對數(shù)字的計算，比如相加，就是低位單元對齊，逐單元相加并進位，減法同理。而乘除法和取余也都是按照豎式運算的原理實現(xiàn)，并進行了必要的優(yōu)化。雖然實現(xiàn)了四則

40、運算函數(shù)，但是若是程序里的運算都要調(diào)用函數(shù)，顯得煩瑣而且看起來不美觀，所以我們另寫一個類vlong，關(guān)聯(lián)(Associate，即使用vlong_value類型的對象或其指針作為成員)vlong_value，在vlong重載運算符。這樣，當我們操作vlong大數(shù)對象的時候，就可以像使用一個簡單類型一樣使用各種運算符號了。之所以將vlong_value的指針作為成員而不是直接構(gòu)造的對象，也是為了提高執(zhí)行效率，因為大型對象的拷貝要消耗不少機器

41、時間。</p><p>　　2. 大數(shù)冪模與乘模運算?Montgomery冪模算法</p><p>　　在實現(xiàn)了vlong類型后，大數(shù)的存儲和四則運算的功能都完成了?？紤]到RSA算法需要進行冪模運算，需要準備實現(xiàn)這些運算的方法。所以寫一個vlong的友元，完成冪模運算功能。冪模運算是RSA 算法中比重最大的計算，最直接地決定了RSA 算法的性能，針對快速冪模運算這一課題，西方現(xiàn)代數(shù)學家提出

42、了很多的解決方案。經(jīng)查閱相關(guān)數(shù)學著作，發(fā)現(xiàn)通常都是依據(jù)乘模的性質(zhì)，先將冪模運算化簡為乘模運算。</p><p>　　通常的分解習慣是指數(shù)不斷的對半分，如果指數(shù)是奇數(shù)，就先減去一變成偶數(shù)，然后再對半分，例如求D=，E=15，可分解為如下6個乘模運算。</p><p>　　歸納分析以上方法，對于任意指數(shù)E，可采用如圖2-4的算法流程計算 。</p><p>　　圖2-4

43、 冪模運算分解為乘模運算的一種流程</p><p>　　按照上述流程，列舉兩個簡單的冪模運算實例來形象的說明這種方法。</p><p><b>　?、偾蟮闹?lt;/b></p><p>　　開始D = 1P = 2 mod 17 = 2E = 15</p><p>　　E奇數(shù)D = DP mod n

44、= 2P = PP mod n = 4E= (E-1)/2 =7</p><p>　　E奇數(shù)D = DP mod n = 8P = PP mod n = 16E= (E-1)/2 =3</p><p>　　E奇數(shù)D = DP mod n = 9P = PP mod n = 1E= (E-1)/2 =1</p><p>　　E奇數(shù)D =

45、DP mod n = 9P = PP mod n = 1E= (E-1)/2 =0</p><p>　　最終D = 9 即為所求。</p><p><b>　?、谇蟮闹?lt;/b></p><p>　　開始D = 1P = 2 mod 13 = 2E = 8</p><p>　　E偶數(shù)D = 1

46、P = PP mod n = 4E = E/2 =4</p><p>　　E偶數(shù)D = 1P = PP mod n = 3E = E/2 =2</p><p>　　E偶數(shù)D = 1P = PP mod n = 9E = E/2 =1</p><p>　　E奇數(shù)D = DP mod n = 9P = 不需要計算E

47、 = (E-1)/2 =0</p><p>　　最終D = 9 即為所求。</p><p>　　觀察上述算法，發(fā)現(xiàn)E根據(jù)奇偶除以二或減一除以二實際就是二進制的移位操作，所以要知道需要如何乘模變量，并不需要反復對E 進行除以二或減一除以二的操作，只需要驗證E 的二進制各位是0 還是1 就可以了。同樣是計算，下面給出從右到左掃描二進制位進行的冪模算法描述，設中間變量D,P,E的二進制各位下標從

48、左到右為u,u-1,u-2,…,0。</p><p>　　Powmod(C,E,n) </p><p><b>　　{</b></p><p><b>　　D=1;</b></p><p>　　P=C mod n;</p><p>　　for i=0 to u do <

49、/p><p><b>　　{</b></p><p>　　if(Ei=1)D=D*P(mod n); </p><p>　　P=P*P(mod n);</p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　return D;</b></p

50、><p><b>　　}</b></p><p>　　有些文獻將上述算法稱為平方乘積二進制快速算法，例如參考文獻中的《基于RSA算法的一種新的加密核設計》，其實這種算法本質(zhì)上和圖2-4的流程完全一致，只是把根據(jù)指數(shù)奇偶分開的減一和除以二合并成對指數(shù)二進制各位的判斷而已。在本軟件的代碼中采用直接掃描vlong二進制各位的辦法。</p><p>　　剩

51、下的問題就是乘模運算了。提高乘模運算的速度是提高模冪運算速度的關(guān)鍵。一般情況下，n是數(shù)百位乃至千位以上的二進制整數(shù)，用普通的除法求模而進行乘模運算是不能滿足速度的要求的。為此，Montgomery在1983年提出了一種模加右移的乘模算法（主要著作發(fā)表于1985年），從而避免了通常求模算法中費時的除法步驟。本軟件僅僅是應用Montgomery(蒙哥馬利)算法，算法的具體推導證明需要頗多數(shù)論知識，不在本文的討論范圍內(nèi)，如需了解可參見蒙哥馬利

52、的相關(guān)著作。下面簡單描述RSA中常用的Montgomery(蒙哥馬利)算法供參考理解源程序。</p><p>　　選擇與模數(shù)n互素的基數(shù)R=2k，n滿足2k－1≤n<2k， n應為奇數(shù)。并且選擇R-1及n’，滿足0< R-1<n, 0< n’<n,使得 RR-1-nn’＝1。對于0≤m<Rn的任意整數(shù),Montgomery給出求模乘法mR-1 mod n 的快速算法M(m):&

53、lt;/p><p><b>　　M(m)</b></p><p><b>　　{</b></p><p>　　if (t≥n) return (t-n); </p><p>　　else return t;</p><p><b>　　}</b></p

54、><p>　　因為，故t為整數(shù)；同時，得。由于，M(m) 中t結(jié)果范圍是0≤t<2n，返回時如果t不小于n，應返回t-n。</p><p>　　本軟件程序中，RSA核心運算使用的乘模算法就是 M(A*B)。雖然M(A*B)并不是乘模所需要的真正結(jié)果，但只要在冪模算法中進行相應的修改，就可以調(diào)用這個乘模算法進行計算了。</p><p>　　將上述乘模算法結(jié)合前面敘述

55、的冪模算法，構(gòu)成標準Montgomery冪模算法，即本軟件所使用的流程，敘述如下。</p><p>　　M(m) //蒙哥馬利乘?！?lt;/p><p><b>　　{</b></p><p>　　k = ( m * n’ ) mod R;</p><p>　　x = (m + k*n ) / R;</p>&

56、lt;p>　　if (x>=n) x -= n;</p><p><b>　　return x;</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　exp(C,E,n) //蒙哥馬利冪模</p><p><b>　　{</b></p>

57、<p><b>　　D=R-n;</b></p><p>　　P=C*R mod n;</p><p><b>　　i=0;</b></p><p>　　while(true)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　if

58、(E的當前二進制位Ei==1)D=M(D*P); //從低位到高位檢測二進制位</p><p><b>　　i+=1;</b></p><p>　　if(i==E的二進制位數(shù))break;</p><p><b>　　P=M(P*P);</b></p><p><b>　　}</b&

59、gt;</p><p>　　return D*R-1 (mod n);</p><p><b>　　}</b></p><p>　　在具體的實現(xiàn)中，對應monty類的mul和exp方法。全局函數(shù)modexp初始化monty對象并調(diào)用其exp方法，使用的時候直接調(diào)用modexp即可。</p><p>　　3. 尋找素數(shù)?E

60、ratosthenes篩選與Fermat素數(shù)測試</p><p>　　首先要說明的是，事實上，當今的計算機還不足以聰明到立刻計算生成一個很大的隨機素數(shù)。一般來說，要得到100%準確的大素數(shù)，都是通過查已經(jīng)計算好的素數(shù)表的方式。但是素數(shù)表的方式給RSA的安全性帶來隱患，因為攻擊者如果得到了密鑰生成時所使用的素數(shù)表，攻破RSA加密的難度將會大大降低。本程序起初使用素數(shù)表的方式，后來考慮到安全性問題，生成密鑰的方式改為

61、隨機計算生成。這樣，短時間內(nèi)如果要得到一個100%準確的大素數(shù)是很困難的，只能以盡可能高的概率得到一個大素數(shù)。</p><p>　　經(jīng)過2.2.1.1和2.2.1.2小節(jié)，所有的大數(shù)運算功能都準備完畢，在此基礎上，本工程將尋找素數(shù)的功能置于類Prime_factory_san之中。外部只要調(diào)用本類實例的成員vlong find_prime( vlong & start )就可以以大數(shù)start為起點，得到

62、一個數(shù)，這個數(shù)是素數(shù)的概率很大。下面介紹尋找素數(shù)的原理。</p><p>　　首先在需要尋找素數(shù)的整數(shù)范圍內(nèi)對整數(shù)進行篩選，把所有確知為合數(shù)的整數(shù)排除出去。程序中構(gòu)造了一個數(shù)組b[]，大小為一輪素數(shù)搜索的范圍，記搜索范圍大小為SS。b[0]到b[SS]分別對應大數(shù)start到start+SS。b[]中所有元素先初始化為1，如果對應的大數(shù)確定為合數(shù)，就將b[]中對應的元素置為0。最后，只需對那些b[]中為1的元素對

63、應的大數(shù)進行比較確切的素數(shù)測試即可，只要被測試的數(shù)是素數(shù)概率達到一定門限，就判這個數(shù)為素數(shù)。這樣做既保證了這段程序可以在短時間內(nèi)執(zhí)行完，又保證了可以以比較高的準確度得到素數(shù)。</p><p>　　函數(shù)find_prime先把b[]的所有元素賦值為1，然后按參數(shù)start給標記數(shù)組b[]的各元素賦0值。下面描述標記數(shù)組b[]的賦0值算法。首先，在類Prime_factory_san被構(gòu)造的時候，構(gòu)造函數(shù)中從2開始搜

64、尋一些小素數(shù)，記錄在數(shù)組pl[]中，共記錄NP個。這些小素數(shù)用來當作因子，他們的倍數(shù)將被從大素數(shù)搜索范圍內(nèi)剔除(即把數(shù)組b[]的對應元素標記為0)，剔除的程序代碼如下。</p><p>　　for (i=0;i<np;i++)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　unsigned p = pl[i];</p&

65、gt;<p>　　unsigned r = start % vlong(p);</p><p>　　if (r) r = p - r;</p><p>　　while ( r < SS )</p><p><b>　　{</b></p><p><b>　　b[r] = 0;</b&g

66、t;</p><p><b>　　r += p;</b></p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　這里利用start對各小素數(shù)因子p求模的辦法，得到當前p在素數(shù)搜索范圍內(nèi)的最小倍數(shù)在b[]中的對應位置，將其剔除后，不斷

67、后移p個位置，將這個小素數(shù)因子p在搜索范圍內(nèi)的所有倍數(shù)全部剔除，如圖2-5所示。在完成對所有小素數(shù)因子的類似操作后，他們的倍數(shù)在搜索范圍內(nèi)的位置標記b[r]被全部標記為0。實際上這就是Eratosthenes篩選法。</p><p>　　圖2-5 在素數(shù)搜索范圍內(nèi)剔除小素數(shù)因子p的倍數(shù)</p><p>　　接下來，對可能為素數(shù)的數(shù)(即標記數(shù)組b[]中值為1的元素對應的數(shù))進行素數(shù)測試。數(shù)論

68、學家利用費馬小定理研究出了多種素數(shù)測試方法，本程序使用一種最簡單的方式，直接應用費馬小定理。取一個與p互素的整數(shù)A，對于大素數(shù)p來說應該滿足Ap-1mod p=1，但是我們把p代入一個大整數(shù)，滿足這個關(guān)系的數(shù)不一定是素數(shù)。這時我們改變A，進行多次測試，如果多次測試都通過，這個數(shù)是素數(shù)的概率就比較大。按這種原理，我們編寫素數(shù)測試函數(shù)如下。</p><p>　　int is_probable_prime_san( c

69、onst vlong &p )</p><p><b>　　{</b></p><p>　　const rep = 4; //測試次數(shù)</p><p>　　const unsigned any[rep] = { 2,3,5,7 }; //測試用的底數(shù)</p><p>　　for ( unsigned i=0; i

70、<rep; i+=1 )</p><p>　　if ( modexp( any[i], p-vlong(1), p ) != vlong(1) ) return 0;</p><p>　　//modexp是冪模函數(shù)，按上一小節(jié)敘述的算法編碼。</p><p>　　//這里modexp計算any[i]p-1mod p。</p><p>&

71、lt;b>　　return 1;</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　測試通過，程序就判定這個數(shù)為找到的素數(shù)，將找到的素數(shù)返回給上層程序使用。在這里其實有一個不可忽視的問題，就是得到一個測試通過的合數(shù)。對于這種情況，RSA算法加密解密是否還可以實現(xiàn)，是一個需要從數(shù)學角度論證的問題。因為得到素數(shù)的概率很高，經(jīng)過一整天的生

72、成密鑰和加密操作，沒有發(fā)現(xiàn)失敗的密鑰， 所以本文暫沒有對這個問題進行討論。</p><p>　　實際得到素數(shù)的流程：</p><p>　　先得到一個隨機的大整數(shù)N當作尋找的起點．</p><p>　　確定一個尋找范圍的大小SS，把(N,N+SS)范圍內(nèi)的小素數(shù)倍數(shù)去掉，即前面敘述的古希臘某人發(fā)明的篩選法．小素數(shù)因子從２開始取，取幾百個(論文中將小素數(shù)因子個數(shù)記為NP

73、)．</p><p>　　對范圍內(nèi)沒有去掉的數(shù)逐一進行素數(shù)測試，一個數(shù)如果通過測試次數(shù)達到一定標準，就判為素數(shù)．</p><p>　　如果范圍內(nèi)沒找到素數(shù)，就令N=N+SS，回到(2)繼續(xù)尋找．</p><p>　　用以上算法，直到以某成功概率得到素數(shù)為止</p><p>　　綜上所述，總結(jié)素數(shù)尋找的流程，如圖2-6所示。</p>

74、<p>　　圖2-6 函數(shù)find_prime尋找素數(shù)的流程框圖</p><p>　　得到了大素數(shù)，即RSA算法中的p、q，我們就可以計算出密鑰，進行加密等操作了。</p><p>　　4. 二元一次不定方程</p><p>　　在RSA 算法中，往往要在已知A、M的情況下，求B的最小值，使得 (AB) mod M = 1。即相當于求解B、N都是未知數(shù)

75、的二元一次不定方程 AB-MN=1的最小整數(shù)解。</p><p>　　而針對不定方程ax-by=1 的最小整數(shù)解，古今中外都進行過詳盡的研究，西方有著名的歐幾里德算法，即一種輾轉(zhuǎn)相除法，中國有秦九韶的“大衍求一術(shù)”。歐幾里德算法是一種遞歸算法，較容易理解。下面舉例說明用歐幾里德算法求解二元一次不定方程的最小整數(shù)解。</p><p>　　給定不定方程11x-49y=1，求最小的x</p

76、><p>　?。?） 11 x - 49 y = 1 49 mod 11 = 5</p><p>　?。?） 11 x - 5 y = 1 11 mod 5 = 1</p><p>　?。?）x - 5 y = 1 5 mod 1 = 0</p><p><b>　　逆向代入：</b></p>

77、<p>　　令y=0 代入（3）得x=1</p><p>　　令x=1 代入（2）得y=2</p><p>　　令y=2 代入（1）得x=9</p><p>　　x=9;y=2即為所求。</p><p>　　程序中，全局函數(shù)vlong modinv( const vlong &a, const vlong &m )

78、用來完成這種算法。對應前面的敘述，參數(shù)a對應A，參數(shù)m對應M，函數(shù)返回值即為B的最小值。</p><p>　　5. RSA算法實現(xiàn)加密與解密</p><p>　　最后，類RSA_san基于前面的準備工作，實現(xiàn)RSA密鑰生成和加解密的功能(算法在此不再贅述，RSA算法協(xié)議見（http://www.di-mgt.com.au/rsa_alg.html)。為了方便閱讀，整個類的源程序中，所使用的

79、變量字母均和RSA算法協(xié)議中一致。在類RSA_san的構(gòu)造函數(shù)里，執(zhí)行準備一對隨機密鑰的操作。之后可以直接使用類的其他成員進行RSA加解密操作。類中各成員頻繁的用到字符串和vlong類型的轉(zhuǎn)換，因為大數(shù)是用字符串置入的，而把大數(shù)讀出，也是保存在字符指針指向的一段內(nèi)存空間里，所以也是字符串。所以，需要實現(xiàn)一系列的編碼轉(zhuǎn)換函數(shù)，比如將unsigned指針指向的一段空間里保存的一個大數(shù)，表示成十六進制形式的字符串文本。編碼轉(zhuǎn)換通常是用C風格的

80、指針操作和sprintf函數(shù)來完成。</p><p>　　需要加密和解密的數(shù)據(jù)也是通過字符串參數(shù)置入的。由于字符串的結(jié)尾字符“\0”實際上也可能是需要加密的數(shù)據(jù)，所以置入的串長度并不能以“\0”來決定，程序里引入一個unsigned類型的參數(shù)來決定置入的串長度，這樣就解決了加密連0數(shù)據(jù)時候被截斷的問題。</p><p>　　因為是對文件加密的軟件，需要加密的數(shù)據(jù)通常并不止幾字節(jié)，本軟件默認

81、的分塊大小是1字節(jié)，即逐個字節(jié)作為參數(shù)，調(diào)用C++核心模塊中的方法。</p><p>　　加密解密流程均為標準RSA算法，具體過程見下圖：</p><p><b>　　①生成密鑰：</b></p><p>　　圖2-7 隨機生成密鑰</p><p><b>　　相關(guān)代碼：</b></p>

82、<p>　　public static int GetRandomString()//實現(xiàn)隨機字串的獲得</p><p><b>　　{</b></p><p>　　Random rnd = new Random();</p><p>　　Byte[]b=new Byte[System.Math.Max(RSAprimeplen1

83、,RSAprimeplen2)];</p><p><b>　　s1="";</b></p><p><b>　　s2="";</b></p><p>　　for(int i=0;i<RSAprimeplen1;i++)</p><p><b>

84、;　　{</b></p><p>　　Byte tmp=System.Convert.ToByte(254.0*rnd.NextDouble());</p><p>　　if(tmp!=0)b[i]=tmp;else b[i]=1;}</p><p>　　s1=wujunjie_rsa.FromASCIIByteArray(b);</p>

85、;<p>　　for(int i=0;i<RSAprimeplen2;i++)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　Byte tmp=System.Convert.ToByte(254.0*rnd.NextDouble());</p><p>　　if(tmp!=0)b[i]=tmp;else b[i

86、]=1;</p><p><b>　　}</b></p><p>　　s2=wujunjie_rsa.FromASCIIByteArray(b);</p><p>　　return 1;}</p><p><b>　?、诩用苓^程：</b></p><p>　　圖2-8 載入待

87、加密的文本</p><p>　　圖2-9 準備加密文本</p><p>　　圖2-10加密后生成的文本</p><p>　　圖2-11加密過程完成</p><p><b>　　相關(guān)代碼：</b></p><p>　　private void menuItem10_Click(object send

88、er, System.EventArgs e)//公鑰加密</p><p><b>　　{</b></p><p>　　if(wujunjie_rsa.charlist.Count==0)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　emptymsg em=new emptymsg(

89、this); </p><p>　　em.Show();</p><p><b>　　return;</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　Stream myStream ;</p><p>　　SaveFileDialog saveFileDi

90、alog1 = new SaveFileDialog();</p><p>　　saveFileDialog1.Filter = "Hex text files (*.hextxt)|*.hextxt|All files (*.*)|*.*" ;</p><p>　　saveFileDialog1.FilterIndex = 1 ;</p><p&

91、gt;　　saveFileDialog1.RestoreDirectory = true ;</p><p>　　if(saveFileDialog1.ShowDialog() == DialogResult.OK)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　if((myStream=saveFileDialog1.OpenF

92、ile()) != null)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　textBox1.Text+="\r\n正在對讀入的文件進行處理，請稍候：）\r\n";</p><p>　　System.Threading.Thread.Sleep(500);</p><p>　　High

93、ResolutionTimer timer = new HighResolutionTimer(); </p><p>　　timer.Start();</p><p>　　using (StreamWriter sw = new StreamWriter(myStream)) </p><p><b>　　{</b></p>&

94、lt;p>　　sw.WriteLine("# RSA.HexText");</p><p>　　sw.WriteLine("#___________________________________________");</p><p>　　Byte []b=new Byte[wujunjie_rsa.RSAstep];</p>&

95、lt;p>　　wujunjie_rsa.result_hexstrings.Clear();</p><p>　　progressBar1.Minimum=0;</p><p>　　progressBar1.Maximum=wujunjie_rsa.charlist.Count;</p><p>　　for(int i=0;i<wujunjie_rsa.

96、charlist.Count;i+=System.Convert.ToInt32(wujunjie_rsa.RSAstep))</p><p><b>　　{</b></p><p>　　for(int j=0;j<wujunjie_rsa.RSAstep;j++)</p><p><b>　　{</b></p

97、><p>　　b[j]=System.Convert.ToByte(wujunjie_rsa.charlist[i+j]);</p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　string s;</b></p><p>　　wujunjie_rsa.RSA_san_en(b,wujun

98、jie_rsa.RSAstep);</p><p>　　s=wujunjie_rsa.get_result_hexstring();</p><p>　　wujunjie_rsa.result_hexstrings.Add(s);</p><p>　　progressBar1.Value=i+1;</p><p><b>　　}&l

99、t;/b></p><p>　　for(int i=0;i<wujunjie_rsa.result_hexstrings.Count;i++)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　string hs=System.Convert.ToString(wujunjie_rsa.result_hexstrings[

100、i]);</p><p>　　if(hs==null||hs=="")sw.WriteLine("0");</p><p>　　else sw.WriteLine(hs);</p><p><b>　　}</b></p><p>　　sw.WriteLine("#____

101、_______________________________________");</p><p>　　sw.Write("# ");</p><p>　　sw.WriteLine(DateTime.Now);</p><p>　　wujunjie_rsa.result_hexstrings.Clear();</p>&

102、lt;p><b>　　}</b></p><p>　　myStream.Close();</p><p>　　timer.Stop(); </p><p>　　textBox1.Text+="\r\n消耗時間："+timer.ElapsedTime+"\r\n";</p><p&

103、gt;　　textBox1.Text+="\r\n處理完成，新生成文件\r\n"+saveFileDialog1.FileName+"\r\n";</p><p>　　progressBar1.Value=0;</p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　}</b&

104、gt;</p><p><b>　　} </b></p><p><b>　?、劢饷苓^程：</b></p><p>　　圖2-12 載入加密后生成的文本</p><p>　　圖2-13解密已加密的文本</p><p>　　圖2-14 解密生成解密文件</p>&

105、lt;p>　　圖2-15 解密過程完成</p><p><b>　　相關(guān)代碼：</b></p><p>　　private void menuItem8_Click(object sender, System.EventArgs e)//私鑰解密</p><p><b>　　{</b></p><

106、p>　　if(wujunjie_rsa.hextxtlist.Count==0)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　emptymsg em=new emptymsg(this); </p><p>　　em.Show();</p><p><b>　　return;</b&

107、gt;</p><p><b>　　}</b></p><p>　　Stream myStream ;</p><p>　　SaveFileDialog saveFileDialog1 = new SaveFileDialog();</p><p>　　saveFileDialog1.Filter = "Tex

108、t files (*.txt)|*.txt|All files (*.*)|*.*" ;</p><p>　　saveFileDialog1.FilterIndex = 2 ;</p><p>　　saveFileDialog1.RestoreDirectory = true ;</p><p>　　if(saveFileDialog1.ShowDial

109、og() == DialogResult.OK)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　if((myStream=saveFileDialog1.OpenFile()) != null)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　textBox1.Text+=

110、"\r\n正在對十六進制文本進行處理，請稍候：）\r\n";</p><p>　　System.Threading.Thread.Sleep(500);</p><p>　　HighResolutionTimer timer = new HighResolutionTimer(); </p><p>　　timer.Start(); </p

111、><p>　　using (BinaryWriter bn = new BinaryWriter(myStream))</p><p><b>　　{</b></p><p>　　progressBar1.Minimum=0;</p><p>　　progressBar1.Maximum=wujunjie_rsa.hextx

112、tlist.Count;</p><p>　　for(int i=0;i<wujunjie_rsa.hextxtlist.Count;i++)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　wujunjie_rsa.RSA_san_dn_hexstring(System.Convert.ToString(wujunjie_r

113、sa.hextxtlist[i]));</p><p>　　for(uint j=0;j<wujunjie_rsa.RSAstep;j++)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　bn.Write(wujunjie_rsa.get_result_byte(j));</p><p><b&

114、gt;　　}</b></p><p>　　progressBar1.Value=i+1;</p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　myStream.Close();</p><p>　　timer.Sto

115、p(); </p><p>　　textBox1.Text+="\r\n消耗時間："+timer.ElapsedTime+"\r\n";</p><p>　　textBox1.Text+="\r\n處理完成，新生成文件\r\n"+saveFileDialog1.FileName+"\r\n";</p>

116、;<p>　　progressBar1.Value=0;}</p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　6. 核心類庫綜述</b></p><p>　　綜上幾小節(jié)所述，實現(xiàn)RSA加密算法的C++核心

117、類庫由六個類組成，類名和對應的功能描述總結(jié)如表2-1所示。各個類之間的關(guān)系如圖2-16所示。</p><p>　　表2-1 RSA加密算法的C++類庫中的類</p><p>　　圖2-16 C++核心功能類圖</p><p>　　另外需要說明的是，程序中有幾個不屬于任何類的全局函數(shù)，比如應用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的函數(shù)gcd、解同余方程的函數(shù)modinv等。按常規(guī)設

118、計模式來說，不應當出現(xiàn)類之外的函數(shù)，但是因為這些函數(shù)使用頻繁，考慮到機器效率，直接置于全局，不再另行包裝。</p><p>　　2.2.2 封裝C++核心類庫的DLL組件</p><p>　　在Visual Studio當前的解決方案中以VC++創(chuàng)建一個win32dll工程，將測試好的實現(xiàn)RSA加密算法的C++核心類庫中的所有文件加入到此工程下，新建一對cpp和h文件，把可能用到的功能全部

119、規(guī)劃為新文件中的全局函數(shù)，并以C接口導出，即__declspec(dllexport)。由于核心類庫的對外功能都使由RSA_san類提供的，所以在新cpp文件中全局的聲明一個RSA_san類的對象指針(RSA_san *WRSA)，全局函數(shù)int start_RSA_san()初始化*WRSA對象，在初始化成功后，其他全局函數(shù)通過調(diào)用*WRSA對象的公開方法實現(xiàn)各種功能，如加密、讀取密鑰等。在關(guān)閉上層引用程序以前，應執(zhí)行int fini