畢業(yè)論文--在氣墊導(dǎo)軌上阻尼振動的研究

1、<p>　　本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　題　　目　　在氣墊導(dǎo)軌上阻尼振動的研究　</p><p>　　姓　　名　　　 　　　　　　　　</p><p>　　學(xué)　　號　　 　　　　　　</p><p>　　院、　系　　物理與電子信息學(xué)院　　　　</p><p>　　?！　?/p>

2、業(yè)　　 物理學(xué)類　　　　　　　</p><p>　　指導(dǎo)教師　 　　　　　　　</p><p>　　職稱（學(xué)歷） 副 教 授 </p><p>　　在氣墊導(dǎo)軌上阻尼振動的研究</p><p>　　摘 要：本文對阻尼振動方程進(jìn)行了詳細(xì)的求解，得出阻尼振動的周期公式；并通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)探究了振子質(zhì)

3、量及彈簧的勁度系數(shù)對阻尼振動的影響。結(jié)果表明：滑塊的質(zhì)量不變時，對數(shù)減縮率隨著彈簧勁度系數(shù)的減小反而增大，弛豫時間和品質(zhì)因數(shù)隨著彈簧勁度系數(shù)的減小而減小，說明等效彈簧勁度系數(shù)越小時，阻尼振動衰減得越塊；彈簧勁度系數(shù)不變時，對數(shù)減縮率隨著滑塊上附加物質(zhì)量的增加而增大，弛豫時間，品質(zhì)因數(shù)卻隨著滑塊上附加物質(zhì)量的增加而減小，說明振子質(zhì)量越大，阻尼振動衰減得越快。</p><p>　　關(guān)鍵詞：阻尼振動；對數(shù)減縮；阻尼常量

4、</p><p>　　一個實(shí)際振動系統(tǒng)由于各種原因，使其振動的能量總是逐漸減少，振幅隨時間逐漸衰減，最后停止振動，這就是阻尼振動。阻尼振動是力學(xué)和電磁學(xué)領(lǐng)域的一種常見的物理現(xiàn)象。很多文獻(xiàn)都對阻尼振動進(jìn)行了討論，本文對阻尼振動方程進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，得出振動周期公式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步對影響阻尼振動衰減快慢的主要因素進(jìn)行了較深入的理論分析和實(shí)驗(yàn)論證。</p><p><b>　　1 實(shí)

5、驗(yàn)原理</b></p><p>　　阻尼諧振子由氣墊導(dǎo)軌上的滑塊和一對彈簧組成，如圖1所示，滑塊除受彈簧恢復(fù)力作用外，還受到滑塊與導(dǎo)軌之間的粘性阻力的作用。在滑塊速度</p><p>　　較小時，粘性阻力和滑塊的速度成正比，即 圖1 阻尼振動實(shí)驗(yàn)</p><p>　　Fig.1 damping vibration test</p&

6、gt;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　式中為粘性阻尼常量。氣墊導(dǎo)軌上由滑塊和一對彈簧組成的振動系統(tǒng)，在彈性力和阻尼力作用下，滑塊的運(yùn)動方程為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　式中為滑塊質(zhì)量。令，其中常數(shù)稱為阻尼因數(shù)，為振動系統(tǒng)的固有頻率，則式（2-12）

7、可改寫為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　?。?）式即為阻尼振動的微分方程。</p><p>　　對于固定的氣墊導(dǎo)軌、滑塊和彈簧，則（3）式中的為定值，則公式（3）為二階常系數(shù)奇次線性微分方程，則它的特征方程為</p><p><b>　?。?）</b></p&g

8、t;<p>　　根據(jù)特征方程（4）的兩根的不同情況可按下列表格寫出微分方程（3）的通解：</p><p><b>　?。?）式的兩個根為</b></p><p>　　由以上推導(dǎo)可知有下列三種情況：</p><p>　?。?）當(dāng)，為大阻尼情形(過阻尼狀態(tài))；</p><p>　　（2）當(dāng)，為臨界阻尼情形（臨界

9、阻尼狀態(tài)）；</p><p>　?。?）當(dāng)，為小阻尼情形（欠阻尼狀態(tài)）。</p><p>　　在此只討論小阻尼情形：</p><p>　　當(dāng)時，特征方程（4）的根，是一對共軛復(fù)根，所以方程（3）的通解為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　在初始時刻設(shè)時位置代入（5）式

10、得</p><p><b>　　則（5）式變?yōu)?lt;/b></p><p><b>　　對上式求導(dǎo)得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　在初始時刻設(shè)時，有代入（6）式得</p><p><b>　　把代入（5）

11、式得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中令， ， （8）</p><p>　　根據(jù)積化和差公式，那么（8）式可寫成</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　?。?）式

12、為阻尼運(yùn)動微分方程的解。</p><p><b>　　其中，，</b></p><p>　　從（9）式可以看出，阻尼振動中滑塊運(yùn)動的周期為</p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　2 阻尼振動衰減特性及相關(guān)因素討論</p><p>　　2.1 阻尼振

13、動的衰減特性</p><p>　?。?）阻尼振動的振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，如下圖2所示，即。顯然，振幅衰減的快慢和阻尼因數(shù)的大小有關(guān)，而，因而和粘性阻尼常量及振子質(zhì)量有關(guān)。 圖2 阻尼振動曲線 </p><p>　　Fig.2 Dampedoscillatio

14、n curve </p><p>　　（2）阻尼振動周期要比無阻尼振動周期略長，阻尼越大，周期越長。</p><p>　　2.2 阻尼振動相關(guān)因素討論</p><p>　　為直觀地反映阻尼振動的衰減特性，常用對數(shù)減縮、弛豫時間及品質(zhì)因數(shù)來表征。在弱阻尼情況下，它們清楚地反映了振動系統(tǒng)的振幅及能量衰減的快慢，而且提供了粘性阻尼常量的動態(tài)測量方法。</p>

15、;<p>　　2.2.1 對數(shù)減縮率</p><p>　　對數(shù)減縮率是指任一時刻的振幅和過一個周期后的振幅之比的對數(shù)，即</p><p>　?。?1）由定義可知，對數(shù)減縮率越大，阻尼振動衰減得越快；對數(shù)減縮率越小，阻尼振動衰減得越慢。公式（11）變形得</p><p><b>　?。?2）</b></p><p

16、><b>　　將代入上式，得</b></p><p><b>　　（13）</b></p><p>　　即只要得出對數(shù)減縮率，就能求得阻尼因數(shù)或和阻尼常量的值。 </p><p>　　2.2.2 弛豫時間 </p><p>　　弛豫時間是振幅衰減至初值倍所經(jīng)歷的時間，即</p>

17、<p>　　所以                 (14)</p><p>　　由弛豫時間的定義可知，弛豫時間越短，阻尼振動衰減得越快；弛豫時間越長，阻尼振動衰減得越慢。</p><

18、;p>　　2.2.3 品質(zhì)因數(shù)</p><p>　　一個振動系統(tǒng)的品質(zhì)因素又稱值，是一個應(yīng)用極為廣泛的概念，它在交流電系統(tǒng)及無線電電子學(xué)中是一個很常見的術(shù)語。品質(zhì)因數(shù)是指振動系統(tǒng)的總能量與在一個周期中所損耗的能量之比的倍，用表示</p><p>　?。?5）由此可知，品質(zhì)因數(shù)越小，則越大，即一個周期中所損耗的能量越多，阻尼振動衰減得越快；品質(zhì)因數(shù)越大，阻尼振動衰減得越慢。</p

19、><p>　　阻尼振動中，能量的損耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小乘以運(yùn)動速率，即等于。在振動時，是一個變量，可用一個周期中的平均值作為這一周期中的平均效果。這樣，一個周期中的能量損耗等于一個周期中克服阻尼力作的功，所以</p><p>　　而對于振動系統(tǒng)而言，一個周期中的平均動能等于平均勢能，且均等于總能量的一半，即</p><p>　　因

20、而         (16)</p><p>　　綜合式（13）、（16）、（17），得出</p><p><b>　　(17)</b></p><p>　　從公式（12）、（13）、（17）可知，求出對數(shù)

21、減縮率是本文的關(guān)鍵所在。半衰期是指阻尼振動的振幅從初值減到時所經(jīng)歷的時間，記為，則</p><p><b>　　由此可得</b></p><p>　　把公式（11）式代入上式可得</p><p><b>　?。?8）</b></p><p>　　由公式（18）可知，只要測量阻尼振動的周期和半衰期就可

22、以計(jì)算出阻尼振動的對數(shù)減縮率。通過改變振子質(zhì)量和等效彈簧勁度系數(shù)得到不同的對數(shù)減縮率，由對數(shù)減縮率又可求出阻尼振動特性的其它量的值，比較不同的對數(shù)減縮率、弛豫時間和品質(zhì)因數(shù)的大小可得阻尼振動的衰減快慢。</p><p>　　2.2.4 等效彈簧勁度系數(shù)和振子質(zhì)量對三個常數(shù)的影響</p><p><b>　　由（10）式可得</b></p><p&

23、gt;<b>　?。?9）</b></p><p>　　等效彈簧勁度系數(shù)是等效彈簧的一種固有屬性，它不隨振子質(zhì)量、對數(shù)減縮率、阻尼振動周期的變化而變化，只要是一組彈簧不變，則等效彈簧勁度系數(shù)為固定值。而在氣墊導(dǎo)軌上，振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)、阻尼常量不變時，對數(shù)減縮率也不變。在已知振子質(zhì)量、求的對數(shù)減縮率時，通過公式（19）可以得出未知的等效彈簧勁度系數(shù)的值。</p><p

24、><b>　　由公式（19）可知</b></p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　振子質(zhì)量也是振子本身所固有的一種屬性，它不隨等效彈簧勁度系數(shù)、對數(shù)減縮率、阻尼振動周期的變化而變化。在不變時，只要知道，即可求得振子質(zhì)量。</p><p><b>　　由公式（11）可得</b&

25、gt;</p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　對數(shù)減縮率不是阻尼振動的一種固有屬性，它是表征阻尼振動衰減特性的物理量，由公式（21）可以看出，對數(shù)減縮率的大小與振子質(zhì)量、等效彈簧勁度系數(shù)和阻尼常量有關(guān)，而與阻尼振動的周期無關(guān)。</p><p>　?。?）當(dāng)振子質(zhì)量和等效彈簧勁度系數(shù)不變時，阻尼越大，對數(shù)減縮也越大，阻

26、尼振動的振幅衰減得更快；在氣墊導(dǎo)軌上滑塊質(zhì)量、彈簧不變時，阻尼常量為一固定值，要想增大阻尼常量，一是加磁阻尼的方法；二是加圓板阻尼的方法。因儀器設(shè)備的限制，在此就不做研究了。</p><p>　　（2）讓滑塊質(zhì)量不變和效彈簧勁度系數(shù)不變兩種情況來研究阻尼振動的衰減特性。因阻尼常量隨著滑塊質(zhì)量和效彈簧勁度系數(shù)的變化而變化，所以通過實(shí)驗(yàn)來探究阻尼振動各參數(shù)隨著等效彈簧勁度系數(shù)和振子質(zhì)量的變化而變化的關(guān)系。</p

27、><p><b>　　3 實(shí)驗(yàn)測量實(shí)例</b></p><p>　　3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?</p><p>　　本實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖峭ㄟ^改變振子質(zhì)量及彈簧的勁度系數(shù)，測量阻尼振動的周期和半衰期，從而求得阻尼振動的對數(shù)減縮率、弛豫時間和品質(zhì)因數(shù)，通過比較不同的對數(shù)減縮率、弛豫時間和品質(zhì)因數(shù)的大小來研究阻尼振動的衰減規(guī)律。</p><p&g

28、t;<b>　　3.2 儀器用具</b></p><p>　　圖3 實(shí)驗(yàn)儀器裝置</p><p>　　Fig.3 Experimentalapparatus equipment</p><p>　　本實(shí)驗(yàn)采用的實(shí)驗(yàn)儀器有氣墊導(dǎo)軌、光電門、數(shù)字毫秒計(jì)、滑塊、不同勁度系數(shù)的彈簧和附加物，實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示。 </p>

29、<p>　　3.3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與數(shù)據(jù)</p><p>　　（1）讓滑塊質(zhì)量為,采用一組等效勁度系數(shù)為的彈簧，振幅為,測量滑塊運(yùn)動的周期和半衰期，測量數(shù)據(jù)見表1。</p><p>　　表1 滑塊運(yùn)動周期為,半衰期為對應(yīng)的數(shù)據(jù)</p><p>　　Tab.1 slider movement cycle, half-lifeof the correspondi

30、ng data</p><p>　　（2）保持這組等效彈簧勁度系數(shù)不變，加附加質(zhì)量為，振幅為,測量滑塊運(yùn)動的周期和半衰期，測量數(shù)據(jù)見表2。</p><p>　　表2 滑塊運(yùn)動周期為,半衰期為對應(yīng)的數(shù)據(jù)</p><p>　　Tab.2 slider movement cycle, half-life of the corresponding data</p

31、><p>　　4 數(shù)據(jù)處理結(jié)果及分析</p><p>　　在前面分析可以知道，在振動系統(tǒng)的和相同的情況下，當(dāng)阻尼振幅一定時，阻尼越大，對數(shù)減縮率越大，品質(zhì)因數(shù)越小，振動系統(tǒng)消耗的能量越多，阻尼振動的振幅和能量衰減得越快。而對于保持振子不變、改變等效彈簧勁度系數(shù)以及保持等效彈簧勁度系數(shù)不變、改變振子質(zhì)量兩種實(shí)驗(yàn)處理結(jié)果如下。</p><p>　　采用半衰期法對以上三個表的

32、數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得對數(shù)減縮率，根據(jù)對數(shù)減縮率與其它量之間的關(guān)系得如下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：</p><p>　?。?）保持振子質(zhì)量不變，改變等效彈簧勁度系數(shù)的值，計(jì)算，其結(jié)果如表4所示。</p><p>　　表4 一定，改變，計(jì)算值，</p><p>　　Tab.4 Certain, change, predicted value， </p><p&

33、gt;　　分析表4的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)滑塊質(zhì)量一定時，阻尼振動的對數(shù)減縮率隨著等效彈簧勁度系數(shù)的減小而增大，弛豫時間和品質(zhì)因數(shù)卻隨著等效彈簧勁度系數(shù)的減小而減小，說明阻尼振動的振幅和能量隨著等效彈簧勁度系數(shù)的減小衰減得越快。同時還可以得出阻尼因數(shù)和阻尼常量隨著等效彈簧勁度系數(shù)的減小而增大。</p><p>　?。?）保持等效彈簧勁度系數(shù)不變，改變振子質(zhì)量的值，計(jì)算，其結(jié)果如表5所示。</p><p&

34、gt;　　分析表5的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)?shù)刃椈蓜哦认禂?shù)不變時，對數(shù)減縮率隨著滑塊上附加物的質(zhì)量增加而增大，弛豫時間和品質(zhì)因數(shù)卻隨著滑塊上附加物的質(zhì)量增加反而減小，此現(xiàn)象表明阻尼振動的振幅和能量隨著振子質(zhì)量的增大衰減得越快。阻尼因數(shù)和阻尼常量隨著振子質(zhì)量的增大而增大。</p><p>　　表5 一定，改變，計(jì)算值，</p><p>　　Tab.5 Certain, change, predi

35、cted value， </p><p>　　2.243933 2.078495 </p><p><b>　　5 結(jié)束語</b></p><p>　　本文對阻尼振動方程進(jìn)行了詳細(xì)的求解，在此基礎(chǔ)上得出阻尼振動的周期公式；由推導(dǎo)出的對數(shù)減縮率公式可知，固定振子質(zhì)量和等效彈簧勁度系數(shù)時，增大阻

36、尼常量，則對數(shù)減縮率隨著增大。對于保持振子質(zhì)量不變而改變等效彈簧勁度系數(shù)及保持等效彈簧勁度系數(shù)不變而改變振子質(zhì)量兩種情況理論還沒有得出結(jié)論，對于此問題本文是通過實(shí)驗(yàn)探究得出結(jié)果，因此，對于這方面還可繼續(xù)進(jìn)行理論研究。</p><p><b>　　參 考 文 獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 楊述武、趙立竹、沈國土主編.普通物理實(shí)驗(yàn)1，力學(xué)及熱學(xué)部分（第四版）[

37、M].北京：高等教育出版社，2007，12：112-116</p><p>　　[2] 劉子臣編著.大學(xué)基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M].天津：南開大學(xué)出版社，2001.4</p><p>　　[3] 黃志敬主編.普通物理實(shí)驗(yàn)[M] .陜西師范大學(xué)出版社，1991.5</p><p>　　[4] 劉果紅、盛宋奇.阻尼振動的傅里葉分析[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），20

38、05，13（2）：7-9</p><p>　　[5] 張才國.振子臨界阻尼的分析[J].五邑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，18（1）：37-40</p><p>　　[6] 周曉東、朱殿明.阻尼振動特性及振動函數(shù)圖形[J].青島教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，13（2）：29-33</p><p>　　[7] 王眾臣、姜雪潔.阻尼振動的研究[J].青島建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)，

39、 2000，21（2）：90-94</p><p>　　[8] 艾琳.阻尼振動方程的另一種解法[J] .Expreriment Science&Technology， 2002，24（3）：86-87</p><p>　　[9] 茅立新.關(guān)于阻尼振動兩種情況的討論[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，22（4）：13-14</p><p>　　[10] Zhang

40、 Cai-Guo. Oscillator analysis of critical damping [J]. Wuyi University (Natural Science), 2004,18 (1) :37-40</p><p>　　Vibration damping of research in the air track</p><p>　　Abstract: This artic

41、le has carried on the detailed solution to the damped oscillation equation, obtains the damped oscillation the cyclical formula; And inquired into through the empirical datumed the oscillator quality and spring's sti

42、ffness coefficient influence of damped oscillation . The result indicated: When slide mass conservation, the logarithmic decrement reduces along with the spring stiffness coefficient instead increases, the relaxation ti