剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算方法畢業(yè)論文

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　題目：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算方法</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1、引言1</b></p><p><b>　　2基本概念1</b><

2、/p><p>　　2.1描述剛體位置的獨(dú)立變量1</p><p>　　2.2 剛體運(yùn)動(dòng)的分類2</p><p>　　3 剛體力學(xué)中的質(zhì)量和慣性2</p><p>　　3.1 剛體力學(xué)中的慣性運(yùn)動(dòng)2</p><p>　　3.2 慣性運(yùn)動(dòng)在剛體力學(xué)中的應(yīng)用3</p><p>　　4 剛體的幾種

3、基本運(yùn)動(dòng)3</p><p>　　4.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3</p><p>　　4.2 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)3</p><p>　　4.3 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)4</p><p>　　4.4 一般運(yùn)動(dòng)4</p><p>　　5 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法4</p><p>　　5.1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的引入4<

4、/p><p>　　5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法6</p><p>　　5.2.1定義法6</p><p>　　5.2.2慣量橢球法7</p><p>　　5.2.3 慣量主軸法8</p><p>　　5.2.4 實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量9</p><p>　　5.2.5 陀螺運(yùn)動(dòng)的描述10</p

5、><p><b>　　6 結(jié)論13</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：14</b></p><p><b>　　致謝15</b></p><p>　　剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算方法</p><p>　　摘要：在剛體動(dòng)力學(xué)中，有大量的篇幅研究剛體的

6、轉(zhuǎn)動(dòng)問題，無論是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面平行運(yùn)動(dòng)，還是繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)方程中均含有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在剛體力學(xué)中有很重要的的地位，相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)在動(dòng)力學(xué)中的質(zhì)量地位相當(dāng)，應(yīng)用較為廣泛.本文對(duì)質(zhì)量各種分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行淺談，及對(duì)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問題進(jìn)行定量分析.</p><p>　　關(guān)鍵詞：剛體;運(yùn)動(dòng);轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).</p><p><b>　　1、引言</b></p&

7、gt;<p>　　隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量作為一個(gè)重要的工程參數(shù)，在越來越多的領(lǐng)域受到重視，如何更方便，快捷，準(zhǔn)確的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成為了一個(gè)迫切需要解決的問題。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體中每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積的和，而與質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)。與質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能比較而言，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量。物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表示物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的研究由來已久，現(xiàn)在所取得的成果就是前人一

8、點(diǎn)一滴積累來的。本文將在此基礎(chǔ)上，本著循序漸進(jìn)的原則，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及多種計(jì)算方法進(jìn)行探討。近年來伴隨著高新技術(shù)的日新月異，對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，尤其是對(duì)非均質(zhì)不規(guī)則物體早點(diǎn)過來的深入性研究，已經(jīng)對(duì)未來的航空、航天、軍事及精密儀器制造等高精尖行業(yè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。</p><p><b>　　2基本概念</b></p><p>　　2.1描述剛體位置的獨(dú)立變量</p>

9、;<p>　　在大多數(shù)問題中，是要確定物體在外力作用下，它的位置如何隨時(shí)間變化，赤即確定它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。我們知道：質(zhì)點(diǎn)是被抽象為沒有大小的幾何點(diǎn)（但有一定的質(zhì)量）。因此，要確定質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，需要三個(gè)獨(dú)立變量，例如或。</p><p>　　一個(gè)質(zhì)點(diǎn)既然要三個(gè)獨(dú)立變量來確定它的位置，那么有個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的剛體，似乎應(yīng)當(dāng)有個(gè)獨(dú)立變量才能去定它在空間中的位置。其實(shí)不然，剛雖然是有個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，但因?yàn)槿我鈨牲c(diǎn)間的

10、距離保持不變，所以只要確定了剛體內(nèi)不在一條直線上的三點(diǎn)的位置，剛體的位置就能確定。這是因?yàn)槿绻_定了剛體中兩點(diǎn)的位置，剛體還可繞著這兩點(diǎn)的直線轉(zhuǎn)動(dòng)；如果再在剛體中把不知這條直線共線的另一點(diǎn)的位置固定，那么剛體就不能做任何運(yùn)動(dòng)了。</p><p>　　每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)既然要三個(gè)獨(dú)立變量來確定它的位置，而確定剛體的位置需要確定剛體內(nèi)不共線的三點(diǎn)（圖 2-1）的位置，因此，確定剛體位置需要九個(gè)變量。但因三點(diǎn)間三個(gè)距離和是數(shù)，

11、所以實(shí)際上只要用六個(gè)獨(dú)立變量就可以定剛體位的置。不共線的三點(diǎn)確定剛體位置是，剛體內(nèi)任選取一點(diǎn)，然后通過點(diǎn)選取任一個(gè)直線作為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，那么要確定點(diǎn)的位置需三個(gè)獨(dú)立變量，要確定軸線在空間中的位置取向需三個(gè)獨(dú)立變量（即這軸線的方向余弦），而要確定剛體繞這軸線轉(zhuǎn)了多少角度，又要一個(gè)變量。在這七個(gè)變量中，三個(gè)方向余弦是不互相獨(dú)立的（它們的平方和為1）。這就是到現(xiàn)在最優(yōu)的方法，但也不是很理想。</p><p>　　2.2 剛體

12、運(yùn)動(dòng)的分類</p><p>　　上面已經(jīng)提到：剛體用六個(gè)獨(dú)立變量就可以定剛體位的置，所以其最一般的運(yùn)動(dòng)，是具有六個(gè)獨(dú)立變量的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的組合。但在某些條件的約束下，剛體可以作少于六個(gè)獨(dú)立變量的運(yùn)動(dòng)。如：剛體作運(yùn)動(dòng)時(shí)的獨(dú)立變量是三個(gè)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的獨(dú)立變量是一個(gè)、作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的獨(dú)立變量是三個(gè)、作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)也只有三個(gè)獨(dú)立變量，作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體不受任何約束，可以在空間任意運(yùn)動(dòng)，但可分解為質(zhì)心的平動(dòng)（三個(gè)獨(dú)立變量）與繞通過

13、質(zhì)心的某某直線的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（三個(gè)獨(dú)立變量）.因此剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)有六個(gè)獨(dú)立變量。</p><p>　　3 剛體力學(xué)中的質(zhì)量和慣性</p><p>　　3.1 剛體力學(xué)中的慣性運(yùn)動(dòng)</p><p>　　從動(dòng)力學(xué)的角度講，慣性運(yùn)動(dòng)僅適用于質(zhì)點(diǎn)或僅適用于平動(dòng)。慣性和慣性運(yùn)動(dòng)是有區(qū)別的，慣性包括平動(dòng)慣性和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性；平動(dòng)慣性與其質(zhì)量“M”有關(guān)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性與其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量“I”有關(guān)。當(dāng)

14、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)作曲線運(yùn)送，用單一的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征不能完全反映出剛體復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，也不能完全反映出慣性運(yùn)動(dòng)的本意。所以，該進(jìn)一步研究動(dòng)力學(xué)的特征，即：剛體的動(dòng)量，動(dòng)量矩動(dòng)能等。從剛體的慣性和慣性運(yùn)動(dòng)的含義及動(dòng)力學(xué)的定律出發(fā)，可定義為剛體的動(dòng)量和動(dòng)量矩均守恒的運(yùn)動(dòng)成為剛體的慣性運(yùn)動(dòng)，即 </p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　為了更確

15、切地定義剛體的慣性運(yùn)動(dòng)還得滿足作用于剛體上的合作用力為零與合作用力矩為零，即</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　由(3-1)(3-2)式得出的這一剛體的慣性運(yùn)動(dòng)也是 質(zhì)點(diǎn)慣性運(yùn)動(dòng)的推廣。根據(jù)(3-1)(3-2)式其中的一個(gè)就能判斷一個(gè)剛體是否作慣性運(yùn)動(dòng)。</p><p>　　3.2 慣性運(yùn)動(dòng)在剛體力學(xué)中的應(yīng)用&

16、lt;/p><p>　　①. 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性運(yùn)動(dòng) 剛體繞固定軸作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)有兩種情況。一是固定，二是固定軸通不過質(zhì)心。對(duì)剛體繞軸通過質(zhì)心的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況看，滿足式 (3-1)的可以看成是慣性運(yùn)動(dòng)，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性運(yùn)動(dòng)也是由 來確定，可按慣性運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來處理這類問題。如固定軸通不過質(zhì)心則不能用簡單的慣性運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來處理這類問題，在這種情況下，雖然某一方面保持了物體原來的狀態(tài)，而且總動(dòng)量矩為零，但總動(dòng)量

17、不一定為零，所以這種情況不能看作是慣性運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)就是研究質(zhì)點(diǎn)與剛體時(shí)利用動(dòng)力學(xué)規(guī)律處理慣性問題的不同之處。②.剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心與定點(diǎn)重合，外力矩 此時(shí)，剛體可能的運(yùn)動(dòng)有三種情況，第一種是繞中心的慣量線軸作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)；第二種是對(duì)固定于慣性空間和這一特別選定的坐標(biāo)做規(guī)則運(yùn)動(dòng)；更一般的運(yùn)動(dòng)。這三種運(yùn)動(dòng)中，因?yàn)橐再|(zhì)心為定點(diǎn)，所以，按著第（3-1）式，這三種情況都是定點(diǎn)慣性運(yùn)動(dòng)。</p><p>&l

18、t;b>　　4 </b></p><p><b>　　塞曼效應(yīng)的實(shí)際用途</b></p><p><b>　　剛體的幾種基本運(yùn)動(dòng)</b></p><p>　　4.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) </p><p>　　如果剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中有兩個(gè)點(diǎn)始終不動(dòng)，那么因?yàn)閮牲c(diǎn)可以決定一條直線，所以這條直線上

19、的質(zhì)點(diǎn)都固定不動(dòng)，整個(gè)剛體就繞著這條線轉(zhuǎn)動(dòng)，這條折現(xiàn)叫做轉(zhuǎn)動(dòng)軸，而這種運(yùn)動(dòng)叫做繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)簡或稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。我們要知道剛體繞這條直線轉(zhuǎn)了多少角度，就能確定剛體的位置。因此，剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只有一個(gè)獨(dú)立變量。如 圖 4-1</p><p>　　4.2 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng) </p><p>　　在剛體運(yùn)動(dòng)過程中，若體內(nèi)任一點(diǎn)到某固定平面的距離始終保持不變，則稱該剛體的運(yùn)動(dòng)為平面平行運(yùn)動(dòng)，簡稱平

20、面運(yùn)動(dòng)。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡化為平面圖形在自身固定平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。今后說到平面圖形的運(yùn)動(dòng)，就是指剛體的平面運(yùn)動(dòng)。這是運(yùn)動(dòng)可分解為某一平面內(nèi)任一點(diǎn)的平動(dòng)（兩個(gè)獨(dú)立變量）及繞通過此點(diǎn)且垂直與固定平面的固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)（一個(gè)獨(dú)立變量），所以剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)有三個(gè)獨(dú)立變量。如 圖4-2所示：</p><p>　　4.3 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) </p><p>　　剛體在運(yùn)動(dòng)過程中有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動(dòng)。整個(gè)剛體就

21、繞著通過這一點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸并不固定于空間（因只通過一個(gè)點(diǎn)）與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的情形不同，我們要用兩個(gè)獨(dú)立變量才能確定瞬時(shí)軸運(yùn)動(dòng)的取向，再用一個(gè)變量確定剛體繞這條軸線轉(zhuǎn)了多少角度，所以剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)也只有三個(gè)獨(dú)立變量。如拖累的運(yùn)動(dòng) (圖 4-3 ) </p><p><b>　　4.4一般運(yùn)動(dòng) </b></p>

22、<p>　　剛體不受任何約束，可以在空間任意運(yùn)動(dòng)但可分解為質(zhì)心的平動(dòng)（三個(gè)獨(dú)立變量）與繞通過質(zhì)心的某某直線的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（三個(gè)獨(dú)立變量）.因此剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)有六個(gè)獨(dú)立變量。</p><p>　　5 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法</p><p>　　5.1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的引入</p><p>　　為引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，剛體可看成是由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，剛體可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，于是剛體

23、上每質(zhì)點(diǎn)都繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)。在剛體上取質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，繞軸作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)受兩個(gè)力作用，一個(gè)是外力，另一個(gè)是剛體中其它質(zhì)點(diǎn)作用的內(nèi)力，并設(shè)外力和內(nèi)力均在與軸相垂直的同一平面內(nèi)。由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為</p><p><b>　　（5-1） </b></p><p>　　表為質(zhì)點(diǎn)的切向加速度。如以和分別表示外力和內(nèi)力在切向的分力，那么質(zhì)點(diǎn)的切向運(yùn)動(dòng)

24、方程為</p><p><b>　?。?-2） </b></p><p>　?。?-2）式中是角加速度。切向加速度與角加速度之間的關(guān)系。 </p><p>　　（5-2）式兩邊各乘以得</p><p><b>　?。?-3）</b></p>&l

25、t;p>　　式中和分別是外力和內(nèi)力切向分力的力矩?？紤]到外力和內(nèi)力在法向的分力和均通過轉(zhuǎn)軸，所以其力矩為零。故上式左邊也可理解為作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力矩與內(nèi)力矩之和。若遍及所有質(zhì)點(diǎn)，可得</p><p>　?。?-4） </p><p>　　由于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零，故上

26、式為</p><p><b>　?。?-5) </b></p><p><b>　　則有 </b></p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　式中的 與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體本身的性

27、質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，叫轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，它為一恒量，以表示，即 </p><p><b>　?。?-7)</b></p><p>　　（5-7)代入（5-6）就有</p><p><b>　?。?-8） </b></p><p>　　（5-8）式表示剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的與牛頓第二

28、定律等效的動(dòng)力學(xué)方程。可見，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這個(gè)關(guān)系叫做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，簡稱轉(zhuǎn)動(dòng)定律。</p><p>　　把式（5-8）與描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式相對(duì)比可以看出，它們的形式很相似：外力矩和外力相對(duì)應(yīng)，角加速度與加速度相對(duì)應(yīng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量相對(duì)應(yīng)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義也可以這樣理解：當(dāng)以相同的力矩分別作用于兩個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的不同剛體時(shí)，它們所獲得

29、的角加速度一般是不一樣的。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的剛體所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性大；反之，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的剛體所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性小。因此我們說，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物理量。故下面進(jìn)行討論計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾種方法。</p><p>　　5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法</p><p><b>　　5

30、.2.1 定義法</b></p><p>　　由可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。如果剛體上的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以用積分進(jìn)行計(jì)算，即</p><p><b>　　（5-9）</b></p><p>　　在國際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是。</p><p>

31、　　下面計(jì)算兩種簡單形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。</p><p>　?。劾?一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)</p><p>　　長棒，如圖5-2所示，求通過棒中心并</p><p>　　與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。</p><p>　　［解］ 設(shè)細(xì)棒的線密度為。如圖所示，</p><p>　　取一距離轉(zhuǎn)軸為處的質(zhì)量元， </p&

32、gt;<p><b>　　由式（5-9）可得</b></p><p>　　由于轉(zhuǎn)軸通過棒的中心，有</p><p>　　如以通過棒的端點(diǎn)且平行于的軸為轉(zhuǎn)軸，用同樣的方法?？捎?jì)算出棒對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為?？梢娝玫慕Y(jié)果相比，它比轉(zhuǎn)軸為時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要大。</p><p>　　我們?cè)谄胀ㄎ锢硌芯恐幸褜W(xué)過計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的最簡單的方法平行軸定

33、律和垂直軸定律，它們的表達(dá)式分別為 (平行軸定律)和(垂直軸定律),但用這種方法來計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，對(duì)一些復(fù)雜的問題不能進(jìn)行充分的解析，而這些方法只限制于只計(jì)算對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以我們采用其他的方法如將要介紹的慣量橢球法。</p><p>　　5.2.2慣量橢球法</p><p>　　由理論力學(xué)知識(shí)知道物體在一般情況下的慣量張量為</p><p>　?。?-10）

34、 </p><p>　　并且把它叫做對(duì)O點(diǎn)而言的慣量張量，而這一慣量矩陣的每一個(gè)元素（軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積）則叫做慣量張量，也叫慣量系數(shù)。</p><p><b>　　其中 </b></p><p><b>　　(5-11)</b></p><p><b>　　及<

35、/b></p><p><b>　　(5-12)</b></p><p>　　對(duì)質(zhì)量均勻分布，且形狀規(guī)則的剛體，我們可把上兩式改寫成積分形式，即</p><p><b>　　(5-13)</b></p><p><b>　　及 </b></p><p&

36、gt;<b>　?。?-14）</b></p><p>　　據(jù)（5-9）式 ，，就叫做剛體對(duì)x軸，y軸，z軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，至于，，則因含有兩個(gè)坐標(biāo)的相乘項(xiàng)，所以叫做慣量積。若令轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向余弦各位并利用（5-10）式容易得到一般剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,由慣量張量計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式</p><p><b>　　（5-15）</b></p>

37、<p>　　式中為任一轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸相對(duì)于坐標(biāo)軸的方向余弦，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和六個(gè)慣量積（由于對(duì)稱關(guān)系，實(shí)際上也只有三個(gè)是相互獨(dú)立的）作為統(tǒng)一的一個(gè)物理量，來代表剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度。由于慣量系數(shù)都是點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，所以，如果利用靜止坐標(biāo)系，那么剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣量系數(shù)亦將隨之而變，這顯然是很不方便的。因此，通常都選取固連在剛體上，隨著剛體一同轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系，這樣慣量系數(shù)都將是常數(shù)。</p><p>　　動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)

38、和坐標(biāo)軸只需固定在剛體上即可，坐標(biāo)軸的取向則完全可以任意選取。因此，我們可以利用這一性質(zhì)，同時(shí)消去轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中慣量積，以使問題更為簡化。</p><p>　　為了消去慣量積，一般是采用下面介紹的方法。如果我們?cè)谵D(zhuǎn)動(dòng)軸，載取一線段，并且使為剛體繞該軸時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為</p><p>　　因?yàn)橥ㄟ^有很多轉(zhuǎn)軸，按照上面所講的方法，就應(yīng)有很多的點(diǎn)，些點(diǎn)的軌跡方程為［利用及式（5-15）&l

39、t;/p><p><b>　　（5-15）</b></p><p>　　這是中心在點(diǎn)的二次曲面方程，一般來講，它是閉合曲面，因?yàn)椴坏扔诹悖ㄊ荝趨于無限大），古（5-15）式代表一個(gè)中心在點(diǎn)的橢球，這就是我們推導(dǎo)的慣量橢球方程。如果為剛體的中心（或重心）則所作出的橢球叫做中心慣量橢球按（5-19）式畫出橢球后，據(jù)的關(guān)系，由某軸上矢徑R的長，計(jì)算出剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，雖

40、然用慣量橢球可以計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，但我們的主要目的并不在此，我們的主要目的是如何用它來消去慣量積，所以下面再次討論消去慣量積的方法。</p><p>　　5.2.3 慣量主軸法</p><p>　　因?yàn)槊總€(gè)橢球都有相互垂直的三條主軸，如果是這些主軸為坐標(biāo)軸，則橢球方程中含有異坐標(biāo)項(xiàng)城的項(xiàng)統(tǒng)統(tǒng)消失，慣量橢球的主軸叫慣量主軸，而對(duì)慣量主軸的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量叫主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并以表之，因?yàn)閼T量積已都等于零，無

41、需再用兩個(gè)下角標(biāo)，如果取點(diǎn)上的慣量主軸為坐標(biāo)軸，則慣量橢球的方程將簡化為</p><p><b>　　（5-16）</b></p><p>　　此時(shí)系數(shù)就是點(diǎn)上的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而慣量積則統(tǒng)統(tǒng)等于零。所以選取慣量主軸為坐標(biāo)軸，問題就能得到簡化。以上討論中顯然消去6個(gè)慣量積，在定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)如陀螺運(yùn)動(dòng)中,由于轉(zhuǎn)動(dòng)軸在空間的取向隨時(shí)變化,這種情況在轉(zhuǎn)動(dòng)定律中出現(xiàn)多余的力

42、矩，也就是說角動(dòng)量和角速度矢量不一致的原因，下面進(jìn)一步討論這個(gè)問題。</p><p>　　5.2.4 實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量</p><p>　　對(duì)于形狀不規(guī)則的剛體我們可以通過實(shí)驗(yàn)方法直接測(cè)量。其基本方法和裝著圖樣如下：</p><p><b>　　圖5-7</b></p><p>　　測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)裝著圖 5-7 所示，

43、質(zhì)量為m 的剛體放在承物臺(tái)上，然后用細(xì)線連接砝碼的一端。（測(cè)出砝碼所降的距離h ，時(shí)間為 t，記錄下來）滑輪的質(zhì)量和滑動(dòng)摩擦力都可以忽略。</p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)裝原理的解釋：</b></p><p>　　裝著中有兩種運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)，另一個(gè)是勻變速機(jī)械運(yùn)動(dòng)，我們靈活應(yīng)用這兩種運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，可以計(jì)算形狀不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。</p><p&

44、gt;　　若用來表示形狀不規(guī)則剛提的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： </p><p>　　則總得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表為：</p><p><b>　　①</b></p><p>　　而轉(zhuǎn)動(dòng)部分的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　其中表示圓盤的角

45、加速度，F(xiàn)的大小等于砝碼所受的重力大小，它和圓盤切向加速度的關(guān)系</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　測(cè)出砝碼所降的距離 h ，時(shí)間 t以后，砝碼的運(yùn)動(dòng)方程為</p><p><b>　　④</b></p><p>　　因h是確定，而時(shí)間可以用時(shí)間表來記錄。從而可以計(jì)算線加速

46、度。</p><p>　　從式④③②可以計(jì)算，它的值為：</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　代入數(shù)據(jù)可以算出，且</p><p>　?、?由 ⑥⑤ 代入式①，無規(guī)則的剛提的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： </p><p><

47、;b>　　⑦</b></p><p>　　5.2.5 陀螺運(yùn)動(dòng)的描述</p><p>　　定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)如陀螺運(yùn)動(dòng)中,由于轉(zhuǎn)動(dòng)軸在空間的取向隨時(shí)變化,是三維空間問題,需要用兩個(gè)坐標(biāo)系、三個(gè)獨(dú)立變量來描述。以固定點(diǎn)O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，,為空間固定坐標(biāo)系，為固定在轉(zhuǎn)動(dòng)體上隨轉(zhuǎn)動(dòng)體一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系.陀螺某時(shí)刻的位形如 圖5-7 所示：</p><p>　　歐拉

48、角的變化范圍為：</p><p>　　在這范圍內(nèi)的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：</p><p><b>　　（5-17）</b></p><p>　　和如下的歐勒動(dòng)力學(xué)方程為：</p><p><b>　?。?-18）</b></p><p>　　式（5-18）中表示對(duì)每個(gè)轉(zhuǎn)軸的力矩.

49、</p><p>　　利用上面六個(gè)方程原則上可求解剛體的所有定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題,但由于上述六個(gè)方程都是互相耦合的非線性常微分方程,其求解是相當(dāng)繁難的,有時(shí)甚至是不可能的,因此到目前為止,只有三種情況可求出其精確的解析解,這三種情況是:歐勒-潘索情況、拉格朗日-泊松情況、柯娃列夫斯卡婭情況,現(xiàn)在只討論第一種相對(duì)簡單的情況.</p><p>　　對(duì)于對(duì)稱重剛體,歐勒動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)椋?lt;/p>

50、;<p><b>　?。?-19）</b></p><p>　　一般理論力學(xué)教材的解法是:對(duì)5-19的第三方程取積分得(常量),然后將之代入5-19-(1)，(2)兩式得和,，再求解上述兩個(gè)二階微分方程等等。這種求解方法比較繁難,為此,本文給出一種較為簡單的方法.</p><p>　　由于,由動(dòng)量矩定理知, 為常矢量（表示角動(dòng)量）,為此,取的方向沿靜止坐

51、標(biāo)系的軸方向,則在動(dòng)系OZ軸上的投影為：</p><p><b>　　（5-20）</b></p><p><b>　　又因?yàn)?</b></p><p>　　(常量) （5-21）</p><p>　　由（5-20）、（5-21）兩式知為常量,令,則此時(shí)歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)

52、方程變?yōu)椋?</p><p><b>　?。?-22）</b></p><p>　　由（5-22)中第一，第二兩式得：</p><p><b>　?。?-23）</b></p><p>　　又因 </p><p><b>　　（5-

53、24）</b></p><p>　　由(5-20)、(5-21)兩式,得：</p><p><b>　?。?-25）</b></p><p>　　比較(5-24)、(5-40)兩式,得：</p><p><b>　?。?-26）</b></p><p>　　由(5

54、-23)、(5-26)兩式得：</p><p><b>　?。?-27） </b></p><p><b>　　積分上式得：</b></p><p><b>　?。?-28）</b></p><p>　　將(5-28)式代入5-22-（3）式得：</p><

55、p><b>　　(5-29)</b></p><p><b>　　積分上式,得：</b></p><p><b>　　(5-30)</b></p><p>　　綜上所述,對(duì)稱重剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的歐勒-潘情況的解為：</p><p><b>　　(5-31)</

56、b></p><p><b>　　(5-32)</b></p><p>　　由上述求解結(jié)果可看出:</p><p>　　1) ,說明剛體的對(duì)稱軸與軸的夾角不變,沒有變動(dòng).</p><p>　　2) 為常量,說明剛體的進(jìn)動(dòng)是勻速的.</p><p>　　3) 為常量,說明剛體的自轉(zhuǎn)也是勻速的.

57、</p><p>　　所以,對(duì)稱重剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為規(guī)則進(jìn)動(dòng),也就是我們通常所說的慣性運(yùn)動(dòng).</p><p><b>　　6 結(jié)論</b></p><p>　　在剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量的定義中出現(xiàn)一個(gè)新的物理量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為。它取決于剛體對(duì)軸的質(zhì)量分布。對(duì)通常質(zhì)量密度均勻的剛體，它取決于剛體的質(zhì)量、形狀和轉(zhuǎn)軸位置三個(gè)因素。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義表

58、明，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是，而剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是剛體中的所有質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。這也意味著一個(gè)剛體整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)等于其各部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]馬文蔚.物理學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2006.</p><p>　　[2]陳穎聰,田楊萌.新世紀(jì)大學(xué)物理[M].上

59、海:華東師范大學(xué)出版社，2005.</p><p>　　[3]郭茂政.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[M].北京:中國科學(xué)文化出版社，2003.</p><p>　　[4]陳世民，理論力學(xué)簡明教程，北京，高等教育出版社.2001</p><p>　　[5]張建樹，孫秀泉，張正軍，北京，科學(xué)出版社.2004</p><p>　　[6] 漆安慎，杜嬋英. 力學(xué)[M].

60、北京：高等教育出版社,2005：</p><p>　　[7] 周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社,1986：</p><p>　　[8] 黃新民，張晉魯. 普通物理學(xué)[M].南京：南京大學(xué)出版社,2005：</p><p>　　[9] 朱炳麒. 理論力學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2001：</p><p>　　[9] 朱炳麒