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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：常**（實名認(rèn)證）

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IP屬地：河北 更新時間：2024-03-01 格式：doc 頁數(shù)：14 大?。?15.50KB 人氣指數(shù)：12 舉報 版權(quán)申訴

1、<p><b>　　數(shù)碼相機(jī)定位</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　通過多坐標(biāo)系的建立，基于對數(shù)碼相機(jī)成像原理及其定位，通過幾種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，列出投影矩陣，以確定原像在圖像中所在位置。又根據(jù)雙目定位原理，利用數(shù)碼相機(jī)在不同位置拍攝來確定對同一靶標(biāo)進(jìn)行測定。在傳統(tǒng)標(biāo)定方法中都需要把內(nèi)部參數(shù)和外部

2、參數(shù)當(dāng)成未知數(shù)，而本文通過對坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，可以忽略參數(shù)的依次求解過程的影響，直接求出各個坐標(biāo)系的對應(yīng)關(guān)系，最后通過雙目標(biāo)定法得出原像的世界坐標(biāo)。</p><p>　　首先，結(jié)合題目中所給的數(shù)據(jù)和圖像（靶標(biāo)和靶標(biāo)的像），建立起坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過對成像原理的分析，運用三維重構(gòu)分析模型得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得出了靶標(biāo)上圓的圓心在像平面的像坐標(biāo)。利用matlab軟件代入數(shù)值進(jìn)行仿真得出模擬的圖像與實際圖像較為接近，

3、且誤差在允許范圍之內(nèi)，其次，在已建立模型的基礎(chǔ)上，建立了雙目標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型和求解方法。</p><p>　　論文最后對模型的優(yōu)缺點進(jìn)行了分析和評價，并提出了模型的改進(jìn)方向。</p><p>　　關(guān)鍵字：數(shù)碼相機(jī) 定位 雙目標(biāo)定 靶標(biāo) 系統(tǒng)標(biāo)定 </p><p>　　一、問題的背景及重述</p><p><b>　　1.1問題的背

4、景</b></p><p>　　數(shù)字?jǐn)z影測量是基于攝影測量與多視幾何學(xué)，應(yīng)用計算機(jī)技術(shù)，從影像（包括硬拷貝，數(shù)字影像或數(shù)字化影像）提取所攝對像以數(shù)字方式表達(dá)的幾何與物理信息的攝影測量分支學(xué)科。應(yīng)用計算機(jī)技術(shù)、數(shù)字影像處理、影像匹配、模式識別等多學(xué)科的理論與方法。其中數(shù)碼相機(jī)的雙目定位在交通監(jiān)管等方面有著廣泛的應(yīng)用。</p><p><b>　　1.2 問題的重述<

5、;/b></p><p>　　所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。最常用的方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)的精確的相對位置，就可以用幾何方法得到該特征點在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。

6、</p><p><b>　　二、模型假設(shè)</b></p><p>　　2.1假設(shè)在測量過程中，數(shù)碼照相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)是固定不變的，不需要重復(fù)標(biāo)定。</p><p>　　2.2假設(shè)在整個測量過程中，忽略外部的噪聲（隨機(jī)誤差）對數(shù)據(jù)的干擾。</p><p>　　2.3在對圖像的分析與測量過程中，即使有像素點的微小偏差，也不會

7、影響最終計算的結(jié)果。</p><p>　　2.4假設(shè)在雙目定位過程中，兩部數(shù)碼照相機(jī)的位置是固定的。</p><p><b>　　三、符號說明</b></p><p>　　f ：相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）；</p><p>　　dx,dy :每一個像素在X軸和Y軸方向上的物理尺寸；</p>&l

8、t;p>　　R ：3×3正交單位矩陣；</p><p>　　t ：三位平移向量；</p><p>　　M ：3×4矩陣，即投影矩陣；</p><p>　?。菏澜缱鴺?biāo)系點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)；</p><p>　　：光心坐標(biāo)系中點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)；</p><p>　?。簣D像坐標(biāo)系

9、中點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)；</p><p>　?。合袼刈鴺?biāo)系點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。</p><p><b>　　四、問題分析</b></p><p>　　問題要求：1參考相關(guān)數(shù)據(jù)資料，建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點取在該相機(jī)的焦點，x-y平面平行于像平面；2對給出的靶標(biāo)及其像，計算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面

10、上的像坐標(biāo)；3設(shè)計一種方法檢驗?zāi)銈兊哪Ｐ停Ψ椒ǖ木群头€(wěn)定性進(jìn)行討論；4建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。 </p><p>　　對于模型的建立，我們通過對實際情況做了充分的考慮之后，結(jié)合對靶標(biāo)和靶標(biāo)的像的分析結(jié)果，建立了各個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在通過對相片的物理分析，間接的得到像點的像素坐標(biāo)，在由坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換就可以得到原像的世界坐標(biāo)，還可將構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型在計算機(jī)軟件的輔助下，建立仿真模

11、型，進(jìn)一步的驗證模型的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。在確定模型準(zhǔn)確后，再采用雙目標(biāo)定的方法對此靶標(biāo)拍照，同樣運用坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，對實際給出的問題予以解答。</p><p>　　在實際的應(yīng)用中，以上的標(biāo)定均屬于系統(tǒng)標(biāo)定。同過對以上問題的分析與求解可以促進(jìn)數(shù)碼相機(jī)標(biāo)定。</p><p><b>　　五、模型建立與求解</b></p><p>　　5.1數(shù)碼相機(jī)的結(jié)

12、構(gòu)分析與模型建立</p><p>　　5.1.1由于數(shù)碼相機(jī)（Digital Camera）在拍攝照片時不需要膠卷，直接將圖像轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。因而有許多區(qū)別于膠片相機(jī)的特點：不需要沖印，即時成像，無污染；隨機(jī)有LCD顯示，可實現(xiàn)取景預(yù)覽、照片查閱和刪除等功能；可直接與計算機(jī)通訊，便于保存，同時也能實現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳輸；能給照片配音，可實現(xiàn)一段活動視頻；能實施對照片進(jìn)行各種編輯和整理:閱覽方便，取照容易等。數(shù)碼相機(jī)除有膠

13、卷相機(jī)的成像過程外，主要是有獨特的獲取圖像的載體、圖像的存儲器和對應(yīng)的控制系統(tǒng)。獲取圖像的載體能夠?qū)⒐庑盘栟D(zhuǎn)換成電信號，這樣的載體有兩種，CCD（Charge Coupling Device）電荷藕合器件和CMOS（ComplimentaryMetal-Oxide Semiconductor）互補金屬氧化物半導(dǎo)體，目前以CCD應(yīng)用較多。存儲介質(zhì)也有多種，有軟磁盤、SM(Smart Media)、CF(CompactFlash)小型閃光記

14、憶卡和小型的硬磁盤。典型的數(shù)碼相機(jī)通常由四大部分構(gòu)成：成像芯片、中央處理器CPU、存儲器、彩色LCD[5]。</p><p>　　5.1.2數(shù)碼相機(jī)的成像原理</p><p>　　數(shù)碼相機(jī)成像的每幅數(shù)字圖像是由M×N個點陣組成的，M行N列的圖像中的每一個元素稱為像素（pixel）即是圖像點的亮度（或稱為灰度）。數(shù)碼相機(jī)的成像也是以針孔模型為基礎(chǔ)的，它的成像實際上是將三維空間的景象

15、映射成二維像素矩陣中的灰度值，這個二維像素矩陣灰度值是對應(yīng)著CCD平面上M×N個離散元件上的電荷量。</p><p>　　5.1.3模型的建立</p><p>　　首先，為了更好的建立模型，先定義幾種不同類型的坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系、光心坐標(biāo)系（相機(jī)坐標(biāo)系）、圖像坐標(biāo)系、像素坐標(biāo)系。</p><p>　　①．世界坐標(biāo)系：Xw, Yw, Zw</p>

16、<p>　　由于數(shù)碼相機(jī)可安放在環(huán)境中的任何位置，所以在環(huán)境中選擇了一個基準(zhǔn)坐標(biāo)系來描述數(shù)碼相機(jī)的位置，并用它描述環(huán)境中其他任何物體的位置，該坐標(biāo)系稱為世界坐標(biāo)系，坐標(biāo)由（Xw, Yw ,Zw）來表示。</p><p>　　②．光心坐標(biāo)系：X,Y, Z</p><p>　　為了分析數(shù)碼相機(jī)成像的幾何關(guān)系，所以定義了一個新的坐標(biāo)系，其原點O在相機(jī)的光心上，X軸和Y軸分別為平行于

17、CCD圖像平面的兩條垂直邊，Z軸與相機(jī)的光軸重合由（X, Y, Z）來表示。</p><p>　?、郏畧D像坐標(biāo)系：X ,Y</p><p>　　在X ,Y坐標(biāo)系中，原點O1定義在相機(jī)光軸與CCD圖像平面的交點，該點一般位于圖像平面中心處，X軸和Y軸分別為平行于CCD圖像平面的兩條垂直邊，坐標(biāo)由（x ,y）來表示。</p><p>　?、埽袼刈鴺?biāo)系：U ,V<

18、/p><p>　　在U ,V坐標(biāo)系中，原點定義在CCD圖像平面的左上角，U軸和V軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的X軸和Y軸，坐標(biāo)由（u ,v）來表示，（u ,v）是以象素為單位的坐標(biāo)，每一象素的坐標(biāo)（u ,v）分別是該象素在數(shù)組中的列數(shù)與行數(shù)。</p><p>　　數(shù)碼相機(jī)的成像過程（如圖1所示）可以通過上述四個坐標(biāo)系的三次轉(zhuǎn)換過程來表達(dá)：</p><p>　?。?）將世界坐標(biāo)

19、系中的信息轉(zhuǎn)換到光心坐標(biāo)系；</p><p>　?。?）光心坐標(biāo)系中的信息按照針孔模型規(guī)律轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系中；</p><p>　?。?）最后由圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成像素坐標(biāo)系.</p><p>　　圖1數(shù)碼相機(jī)成像模型</p><p>　　針孔模型是目前最常見的相機(jī)模型，它簡單實用而又不失準(zhǔn)確性。如圖1，空間任何一點P在圖像上的成像位置可以用針孔

20、模型近似表示，即任何點P在圖像上的投影位置p為光心O與P點的連線OP與圖像平面的交點，這種關(guān)系也稱為中心投影或透視投影。由比例關(guān)系有如下關(guān)系式：</p><p><b>　　x=</b></p><p>　　y= (1)</p><p>　　其中，（x, y）是p點的圖像坐標(biāo)，（Xc,

21、Yc ,Zc）為空間點P的光心坐標(biāo)，f為相機(jī)的焦距，可以用齊次坐標(biāo)與矩陣表示上述透視投影關(guān)系</p><p>　　= (2)</p><p>　　圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點是光軸與圖像坐標(biāo)平面的交O，坐標(biāo)值是以某一長度單位（例如毫米）來表示的，是一個連續(xù)變化的量。像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是以象素為單位來表達(dá)的，原點在像平面的左上角，圖像坐標(biāo)系得原點在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

22、（u0，v0）如：</p><p>　　圖2 圖像坐標(biāo)系與像素坐標(biāo)系</p><p>　　每一個象素在X軸和Y軸方向上的物理尺寸為dx ,dy，則圖像中任意一個象素在圖像坐標(biāo)系和像素坐標(biāo)系這兩個坐標(biāo)系下的坐標(biāo)有如下關(guān)系：</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　用齊次坐標(biāo)與矩陣形式將上式表示為：&

23、lt;/p><p>　　= (4)</p><p><b>　　逆關(guān)系可以寫成：</b></p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　一般人們認(rèn)識和辨別周圍場景都以現(xiàn)場的參考物為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系，這就是我們設(shè)定的世界坐標(biāo)系，相機(jī)成像的透視投影

24、規(guī)律是建立在相機(jī)光心坐標(biāo)系的條件下的，所以相機(jī)成像模型建立的第一步是將世界坐標(biāo)系的信息轉(zhuǎn)換到光心坐標(biāo)系。光心坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以用旋轉(zhuǎn)矩陣R與平移向量t來描述。因此，空間點P在世界坐標(biāo)系和光心坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)分別是和于是存在如下關(guān)系：</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　其中，R為3×3的正交單位矩陣，t為三維平移向

25、量，0=(0,0,0)T為0向量。</p><p>　　將式和式F代入式B可以得到世界坐標(biāo)系表示的P點坐標(biāo)（Xw, Yw, Zw）與其投影點p的像素坐標(biāo)（u ,v）之間的關(guān)系式：</p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　可得像素坐標(biāo)與世界坐標(biāo)的變換關(guān)系為：</p><p><b>　　(

26、8)</b></p><p>　　其中，a=f/ dx，=f/ dy；M為3×4矩陣，稱為投影矩陣；N只與相機(jī)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)，稱為相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)；H由相機(jī)相對于世界坐標(biāo)系的方位決定，稱為相機(jī)的外部參數(shù)。</p><p>　　5.1.4數(shù)學(xué)模型的求解</p><p>　　以靶標(biāo)中心為坐標(biāo)原點，靶標(biāo)所在平面為面，垂直靶標(biāo)平面的方向為軸方向，建立空間

27、直角坐標(biāo)系(如圖3)，可得點的坐標(biāo)為：</p><p><b>　　，，，，</b></p><p><b>　　圖3.靶標(biāo)示意圖</b></p><p>　　由已知相機(jī)的分辨率為1024*768，將靶標(biāo)像平面分割為1024*768個像素單位，以靶標(biāo)的像所在平面的左上角為像坐標(biāo)平面的坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，可得點的像的像

28、素坐標(biāo)為：</p><p><b>　　，，，，</b></p><p><b>　　圖4.靶標(biāo)的像</b></p><p>　　設(shè) </p><p>　　其中為待定系數(shù)，式（8）可得</p><p>　　將，，，及，，，四對點帶入上式

29、，并用matlab求解可得：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由于靶標(biāo)上的點都在坐標(biāo)平面上，可知恒等于零，則式（9）化為</p><p>&l

30、t;b>　?。?0）</b></p><p>　　則上式給出了靶標(biāo)上的點和像素坐標(biāo)點之間的對應(yīng)關(guān)系模型。</p><p>　　5.1.5模型的驗證</p><p>　　為了驗證模型的有效性，將點帶入（10）式，得到理論上點對應(yīng)的像點的像素坐標(biāo)為，與已知靶標(biāo)的像中所得的像比較。通過計算可得，用改方法所產(chǎn)生的誤差為：2.34%~5.82%，可看出偏差較

31、小，可以滿足實際的需要。</p><p>　　為了清晰的看出所建立模型與實際的誤差情況，才用matlab軟件，進(jìn)行模擬，結(jié)果如下：</p><p>　　圖5.模擬的靶標(biāo)的像</p><p>　　通過與靶標(biāo)的像（圖4）的比較，可以看到，從數(shù)值模擬上有很好的效果，基本上與相機(jī)給出的靶標(biāo)的像一致。</p><p>　　為了更好的檢驗所得模型的有效性

32、，在靶標(biāo)上任取一些圓，利用模型（10），通過matlab軟件給出靶標(biāo)像的模擬圖：</p><p><b>　　圖6.靶標(biāo)的像圖</b></p><p>　　通過模擬結(jié)果可以看出，在已建模型基礎(chǔ)上，對靶標(biāo)上的任何一點，都可以找到在像平面上的像。</p><p>　　5.2建立雙目定位模型</p><p>　　通過對單個數(shù)碼

33、照相機(jī)標(biāo)定的模型的建立求解，發(fā)現(xiàn)對同一靶標(biāo)的測量并不十分準(zhǔn)確，于是本文根據(jù)計算機(jī)視覺中雙目視覺理論，利用數(shù)碼相機(jī)在不同位置拍攝的包含需要測量點的兩幅攝影照片對同一靶標(biāo)進(jìn)行了雙目標(biāo)定。</p><p>　　5.2.1雙目視覺原理</p><p>　　如圖7所示，假設(shè)空間任意點p在不同位置和拍攝的兩幅圖像上的圖像的點和已經(jīng)從兩幅圖像中分別找出[4]，即已知p和為空間同一點p的對應(yīng)點。并且假設(shè)拍

34、攝兩副照片時照相機(jī)已經(jīng)標(biāo)定，他們的攝影變換矩陣分別為和。則根據(jù)照相機(jī)成像的線性理論得</p><p>　　圖7用兩幅攝影圖像重建空間點</p><p>　　5.2.2對應(yīng)點配準(zhǔn)</p><p>　　以上分析中，假設(shè)空間點p的對應(yīng)點已經(jīng)檢出。但在實驗應(yīng)用中，需要對兩幅攝影圖上的對應(yīng)點進(jìn)行匹配。對應(yīng)點的配準(zhǔn)（也稱對應(yīng)點的匹配）就是對空間p點在第一張照片中的圖像點p，在第

35、二張照片中找出與p點對應(yīng)的p在第二張照片中的圖像點p。</p><p>　　5.2.3建立數(shù)學(xué)模型</p><p>　　設(shè)：在圖7中p1點的坐標(biāo)為（，），p2點的坐標(biāo)為（，）</p><p><b>　　由式（10）可得</b></p><p><b>　　=</b></p><

36、p><b>　　=</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　消去，可得：</b></p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　= , 0</b></p>

37、<p><b>　　X=, y=</b></p><p><b>　　其中=，=</b></p><p>　　通過以上的計算可以得到原像的坐標(biāo)（），其中的值為,的值為。這樣便可以通過獲得兩張不同位置的照片上的像點的像素坐標(biāo)得到實際點的世界坐標(biāo)，同時也可以通過幾何關(guān)系的出兩個相機(jī)的相對位置。在實際的應(yīng)用中，由于數(shù)據(jù)總是有噪聲（隨機(jī)誤差

38、）的影響，所以，可以用最小二程乘法求出。</p><p>　　六、模型的評價與改進(jìn)</p><p>　　本文以數(shù)碼相機(jī)的成像結(jié)構(gòu)體系，結(jié)合多視幾何原理和攝影測量技術(shù)，利用機(jī)理分析法，建立起照相機(jī)成像原理的模型，給出了靶標(biāo)上的點和其像點之間的對應(yīng)關(guān)系。通過所建立的模型，給出了靶標(biāo)上圓的圓心在像平面的像素坐標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上建立了雙目標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型和求解方法，為精確地確定兩部相機(jī)的相對位置完成系

39、統(tǒng)標(biāo)定提供了依據(jù)。</p><p>　　在整個建模過程中不能確保數(shù)碼相機(jī)內(nèi)部參數(shù)的不變,還有無法避免外部噪聲對數(shù)據(jù)的干擾,并且在雙目定位數(shù)碼相機(jī)沒有采取隨意位置。在計算中會存在誤差，所以結(jié)果精度還有待進(jìn)一步提高。</p><p><b>　　七、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 江世宏，MATLAB語言與數(shù)學(xué)實驗，北京：科學(xué)出版社;

40、2007年8月。</p><p>　　[2] 胡良劍 孫曉君，MATLAB數(shù)學(xué)實驗，北京，高等教育出版社2007年5月。</p><p>　　[3] 孫敏，多視幾何與傳統(tǒng)攝影測量理論，北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）第4期，第43卷：453—-456頁，2007年7月。</p><p>　　[4] 魯光泉 許洪國 劉宏飛 王利芳，用雙目視覺方法重建交通事故現(xiàn)場空間點，公路

41、交通科技，第1期：84-86頁，2002年4月。</p><p>　　[5] 范利勤 金施群 廖素引，三維重構(gòu)視覺系統(tǒng)的標(biāo)定，工業(yè)計量，第17期：5-7頁，2007年。</p><p>　　[6] http://www.mmimm.com/SRD1504748</p><p>　　[7] 趙靜 但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗，高等教育出版社，施普林格出版社，2007年7月

42、。</p><p><b>　　八、附錄</b></p><p>　　用matlab計算方程的解的程序：[1]</p><p>　　function []=Gaussianelimination()</p><p>　　%格式：function []=Gaussianelimination(),以下A為待求解的方程組系數(shù)

43、矩陣，b為右端列向量， </p><p>　　%用途：高斯列主元消去法求解方程組AX=b,精度eps=10^-5</p><p>　　disp('原數(shù)矩陣是')</p><p>　　A=[-50 50 1 0 0 0 0 0 -325;</p><p>　　0 0 0 -50 50 1 0 0 -215;</p>

44、;<p>　　0 0 0 0 0 0 -50 50 -1;</p><p>　　50 50 1 0 0 0 0 0 -643;</p><p>　　0 0 0 50 50 1 0 0 -220;</p><p>　　0 0 0 0 0 0 50 50 -1;</p><p>　　50 -50 1 0 0 0 0 0 -

45、593;</p><p>　　0 0 0 50 -50 1 0 0 -517;</p><p>　　0 0 0 0 0 0 50 -50 -1]</p><p>　　disp('A的行列式det(A)是')</p><p><b>　　det(A)</b></p><p>　　

46、b=[ 0,0,1,0,0,1,0,0,1 ]';</p><p>　　n=length(b);</p><p>　　eps=10^-5;</p><p>　　for k=1:n-1</p><p>　　%找到列主元mainelement</p><p>　　[mainelement,index]=max(ab

47、s(A(k:n,k)));index=index+k-1;</p><p>　　if abs(mainelement)<eps,</p><p>　　disp('error');break;</p><p>　　elseif index>k,</p><p>　　temp=A(k,:);A(k,:)=A(index

48、,:);A(index,:)=temp;</p><p>　　temp=b(k);b(k)=b(index);b(index)=temp;</p><p><b>　　end</b></p><p>　　%消元_elimination</p><p>　　for i=k+1:n</p><p>　

49、　m(i,k)=A(i,k)/A(k,k);</p><p>　　A(i,k)=m(i,k);</p><p>　　b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);</p><p>　　A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m(i,k)*A(k,k+1:n);</p><p><b>　　end</b></p&g

50、t;<p><b>　　end</b></p><p>　　disp('消元后所得到的上三角陣是')</p><p><b>　　triu(A)</b></p><p>　　%回代_backsub</p><p>　　b(n)=b(n)/A(n,n);</p>

51、;<p>　　for i=n-1:-1:1</p><p><b>　　M=0;</b></p><p>　　for j=i+1:n</p><p>　　M=M+A(i,j)*b(j);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　b(i)=

52、(b(i)-M)/A(i,i);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　clear x;</b></p><p><b>　　x=b;</b></p><p>　　disp('AX=b的解x是')</p><