15927.具有分布勢(shì)函數(shù)的sturmliouville問(wèn)題的譜性質(zhì)

1、具具具有有有分分分布布布勢(shì)勢(shì)勢(shì)函函函數(shù)數(shù)數(shù)的的的SturmLiouville問(wèn)問(wèn)問(wèn)題題題的的的譜譜譜性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì)SpectralPropertiesofSturmLiouvilleProblemswithDistributionalPotentials一級(jí)學(xué)科：數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)研究生：閆軍指導(dǎo)教師：史國(guó)良教授天津大學(xué)理學(xué)院二〇一五年五月二十七日摘摘摘要要要作為常微分算子理論的起源SturmLiouville問(wèn)題已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)界和

2、物理學(xué)界的一個(gè)非常重要的研究領(lǐng)域.眾所周知經(jīng)典的SturmLiouville理論是量子力學(xué)中描述微觀粒子狀態(tài)的主要數(shù)學(xué)工具在量子力學(xué)中為了描述微觀粒子之間的相互作用Schrodinger方程中的勢(shì)函數(shù)可以為廣義函數(shù)(例如Diracδ函數(shù))而此類問(wèn)題超出了經(jīng)典的SturmLiouville理論的研究范圍.因此研究具有分布勢(shì)函數(shù)(勢(shì)函數(shù)為廣義函數(shù))的SturmLiouville問(wèn)題就顯得尤為必要.本文主要研究具有分布勢(shì)函數(shù)的SturmLio

3、uville問(wèn)題的譜性質(zhì)全文分為五個(gè)部分內(nèi)容如下:第一章為緒論部分?jǐn)⑹隽藛?wèn)題的研究背景研究現(xiàn)狀以及本文的主要工作.第二章介紹了本文所涉及的基本概念以及相關(guān)性質(zhì).第三章討論了有限區(qū)間上具有分布勢(shì)函數(shù)的SturmLiouville問(wèn)題的譜性質(zhì)主要圍繞自伴邊界條件下的第n個(gè)特征值關(guān)于算子的依賴性問(wèn)題以及特征函數(shù)的振蕩性質(zhì)展開(kāi)討論.首先研究第n個(gè)特征值關(guān)于邊界條件的連續(xù)性以及第n個(gè)特征值關(guān)于算子系數(shù)的連續(xù)性和可微性.其次討論不同自伴邊界條件下特

4、征值之間的不等式關(guān)系并由此分析特征函數(shù)的振蕩性質(zhì).本章將構(gòu)造一個(gè)經(jīng)典SturmLiouville算子序列使其在預(yù)解算子逼近的意義下收斂到具有分布勢(shì)函數(shù)的SturmLiouville算子從而得到該算子序列的特征值與具有分布勢(shì)函數(shù)的算子特征值之間的關(guān)系.本文利用這一新的思路展開(kāi)研究推廣了經(jīng)典SturmLiouville算子的相關(guān)結(jié)果.此外本章最后一節(jié)還將利用所得結(jié)果研究一類具有轉(zhuǎn)移條件的SturmLiouville問(wèn)題的譜性質(zhì).第四章主要研

5、究具有分布勢(shì)函數(shù)的SturmLiouville問(wèn)題的有限譜理論.首先本章在減弱的算子系數(shù)條件下對(duì)分離型邊界條件下特征值的存在性以及特征函數(shù)的振蕩性質(zhì)進(jìn)行研究.其次對(duì)區(qū)間進(jìn)行分割并且使得系數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上滿足一定的條件從而構(gòu)造具有有限多個(gè)特征值的SturmLiouville問(wèn)題并且分析不同邊界條件下特征值之間的不等式關(guān)系.最后探討具有有限譜的SturmLiouville問(wèn)題與矩陣特征值問(wèn)題之間的關(guān)系.第五章主要考慮無(wú)窮區(qū)間上具有δ作用(δ