保險中帶約束的最優(yōu)分紅問題研究.pdf

1、古典風(fēng)險理論主要處理破產(chǎn)概率和其它一些相關(guān)的精算量。然而，由于安全負荷條件，當公司不破產(chǎn)時，從長期看來盈余過程將會趨于無窮大。這顯然是不符合實際的。因此，De Finetti[27]在1957年提出了公司目標為期望折現(xiàn)分紅最大這一更具有經(jīng)濟涵義的準則。這個準則與Gordon[42]模型是一致的。Gordon[42]用累加折現(xiàn)分紅來橫量公司的價值。由De Finetti的思想產(chǎn)生了最優(yōu)分紅這個問題。這個問題與數(shù)理金融中的投資消費問題（見M

2、erton[67]的開創(chuàng)性著作）有著緊密聯(lián)系。在多數(shù)情形下，最優(yōu)分紅風(fēng)險控制模型可以看作是線性效用下的消費投資模型（見Taksar[75]）。從Shreve et al.[73]文中看出，最優(yōu)分紅問題與儲存或存貨問題亦有關(guān)聯(lián)。存儲模型中的提取和儲蓄可以分別看作是風(fēng)險模型中的分紅和注資。
　　最優(yōu)分紅問題是最優(yōu)控制理論（由Pontryagin[70]帶領(lǐng)的研究小組建立）在保險中的一個極其重要和典型的應(yīng)用。這個問題只取得了很少的進展直

3、到最優(yōu)控制理論及其更高等的隨機最優(yōu)控制理論（見Fleming and Rishel[32]和Krylov[51]的專著）的出現(xiàn)。De Finetti[27]證明了在一個簡單的離散時間隨機游走模型中，最優(yōu)分紅策略是邊界策略。Gerber[34]把模型擴展到復(fù)合泊松情形，指出最優(yōu)分紅策略是帶狀的且對指數(shù)索賠這一特殊情形退化為邊界的。在二十世紀七十年代，只有很少文獻討論最大化期望折現(xiàn)分紅問題。然而，可以從這兩本專著Bühlmann[21]和G

4、erber[35]中找到有關(guān)古典風(fēng)險模型下的分紅話題。
　　自上世紀九十年代，就有很多文獻用動態(tài)規(guī)劃原理方法和Hamilton-Jacobi-Bellman方程來研究最優(yōu)分紅問題。其中大多數(shù)是建立在擴散模型和古典風(fēng)險模型基礎(chǔ)上。當保險公司的盈余過程服從帶漂移的布朗運動時，Jeanblanc-Picqué and Shiryaev[49]和Asmussenand Taksar[8]這兩篇經(jīng)典文獻研究了公司的最優(yōu)分紅問題。Gerber

5、 and Shiu[39]和Baiand Guo[16]找到了Cramér-Lundberg風(fēng)險模型的最優(yōu)分紅策略。此外，保險商可以采取諸如再保險和投資這些工具來控制風(fēng)險和獲利。H(φ)jgaard and Taksar[46]和Asmussenet al.[7]分別引入比例再保險和超額損失再保險來探究擴散模型中的最大折現(xiàn)分紅。Choulli et al.[24，25]考慮了在公司有債務(wù)責(zé)任和其風(fēng)險減少受到約束的情況下的最優(yōu)分紅。當保險

6、公司可以在Black-Scholes金融市場進行投資時，H(φ)jgaard and Taksar[48]和Azcue and Muler[14]研究了其相應(yīng)的最優(yōu)分紅問題。對保險公司盈余服從一般擴散模型情形，Paulsen[68]和Bai and Paulsen[18]刻畫了帶固定交易費用的最優(yōu)分紅策略。Avram et al.[12]和Loeffen[58，59]用譜負Lévy過程來描述保險公司的動態(tài)，并運用波動理論來處理最優(yōu)分紅問

7、題。更多關(guān)于風(fēng)險理論中最優(yōu)分紅問題的背景和文獻知識，推薦讀者參考這兩篇綜述Avanzi[9]和Albrecher and Thonhauser[5]。
　　在上面提到的大多數(shù)文章中，邊界策略或者帶狀策略經(jīng)常作為最優(yōu)策略。這樣的話，保險公司的破產(chǎn)概率通常為1。從現(xiàn)實的角度來講，這顯然不夠有趣。在實際操作中，也許是出于制度或者法治上的原因（比如公司是公共產(chǎn)業(yè)），保險公司是受到監(jiān)管的。監(jiān)管委員會可能會約束公司的分紅政策，或者為了保護被保

8、險人的利益要求臨近破產(chǎn)的公司注資?；谏鲜鲈?，博士論文主要致力于解決在這些約束條件下的最優(yōu)分紅問題。
　　在第2章中，研究可以通過購買再保險來控制風(fēng)險和通過注資以避免破產(chǎn)的保險公司的最優(yōu)分紅問題。假設(shè)這些行為都會產(chǎn)生交易成本:再保險公司會對從保險公司轉(zhuǎn)出的風(fēng)險收取更多的保費;紅利將被征稅;注資由于咨詢和商議的原因會產(chǎn)生固定成本。于是問題轉(zhuǎn)化為隨機控制中的一個混合正則-奇異-脈沖問題。目標是找出值函數(shù)和使得分紅和注資的累加折現(xiàn)差達

9、到最大的最優(yōu)策略。
　　通過注資來救助一個瀕臨破產(chǎn)的保險公司這個想法可以追溯到Borch[20，Chap.20]和Harrison and Taylor[44]。最近有關(guān)注資的文獻包括基于譜負Lévy風(fēng)險模型的Avramet al.[12];基于擴散模型的L(φ)kka and Zervos[64]，He and Liang[45]和Meng and Siu[66];基于對偶模型的Yao et al.[79];基于帶干擾的對偶模型

10、的Dai et al.[26]和Avanziet al.[10];以及基于Cramér-Lundberg模型的Kulenko and Schmidli[52]和Scheer andSchmidli[72]。讀者可以在Eisenberg[30]一文中找到有關(guān)最小化期望折現(xiàn)注資這個話題的詳細討論。下面首先與文獻比較該模型和結(jié)論，然后給出解決問題的思路。Meng and Siu[66]研究了超額損失再保險下的最優(yōu)混合脈沖分紅-注資控制問題，而

11、在該型中固定成本由注資產(chǎn)生。因此由Taksar[74]給出的方法(Meng and Siu[66]正是運用此法)，并不適用于該模型。He and Liang[45]研究了固定和比例交易費用下的最優(yōu)融資和分紅控制問題。該模型采用的是非便宜再保險，這使得求解相應(yīng)的HJB方程更難了。處理的過程如下。首先在2.3節(jié)得到一個結(jié)論，它表明最優(yōu)注資時間是等到盈余過程擊中零邊界的時候。這幫助降低了問題的難度。接著在2.5節(jié)考慮沒有再保險這一特殊情形，它

12、將為一般問題的解決提供些啟示。最后通過解對應(yīng)的HJB方程，得到了值函數(shù)和包含風(fēng)險控制和分紅方案的最優(yōu)策略。
　　第3章由兩節(jié)構(gòu)成，分別研究了在約束分紅政策和考慮破產(chǎn)的時間價值條件下有利率收入的保險公司的最優(yōu)風(fēng)險控制問題。
　　3.1節(jié)論述了是否有再保險合約供保險商選擇這兩種不同情形下的最優(yōu)（有界）分紅問題。有關(guān)有界分紅率的結(jié)果可見基于擴散模型的H(φ)jgaard and Taksar[46]和Asmussenet al.[

13、7]。對于古典風(fēng)險模型，見Gerber and Shiu[39]，Lin and Pavlova[57]和Azcueand Muler[15]。不同于這些文獻，在該模型中保險公司有常利率收入。目標是找到一個包含分紅和再保險（如果有再保險合約）的策略使得期望折現(xiàn)分紅最大化。Albrecherand Thonhauser[4]和Cai et al.[23]分別在古典模型和擴散模型下考慮了常利率的最優(yōu)分紅問題，但是其分紅率是無界的且沒有包含再

14、保險。公司的利率收入可看作是金融市場中的無風(fēng)險資產(chǎn)收益，這使得該模型類似于H(φ)jgaard and Taksar[47]。然而，當對分紅率加上限制時，甚至可以計算在折現(xiàn)因子小于利率情形下的值函數(shù)（在此情形下有關(guān)無界分紅率的值函數(shù)是無窮的）。得到的最優(yōu)分紅策略是門檻策略，即只有當盈余過程超過某一水平時，才以最大可允許的分紅率進行分紅。當模型中加入了再保險時，風(fēng)險的最優(yōu)自留比例不再是風(fēng)險余額的單增函數(shù)。它先隨著風(fēng)險余額單調(diào)增加到某個可能

15、的最大值，如果這個最大值等于1，就在1這個水平停留一段時間，然后下降至零。還有一點使得研究區(qū)別于現(xiàn)有的文獻，直接分析值函數(shù)所滿足的方程，并非像文獻中常見的采用合流超幾何函數(shù)來處理帶利率的問題（例如，見Paulsen and Gjessing[69]，Cai et al.[23]和Fang and Wu[31]）。
　　3.2節(jié)研究在考慮破產(chǎn)的時間價值條件下，有利率收入的保險公司的最優(yōu)控制問題。不同于3.1節(jié)，本節(jié)考慮的是無界分紅率

16、這一情形。對于一般擴散模型和Cramér-Lundberg模型及其擴散逼近，Shreve et al.[73]和Thonhauser and Albrecher[78]分別考慮了在破產(chǎn)時有終端支付的最優(yōu)分紅問題。Liang and Young[56]在擴散模型的基礎(chǔ)上添加了再保險。Meng[65]考慮一個同Thonhauser and Albrecher[78]相同的目標函數(shù)，但增加了常利率收入。在這里需要再次提及這篇文章Taksar[

17、74]，作者指出，非零終端值的解可以通過平移零終端值的解得到。然而由于有利率收入，獨立變量出現(xiàn)在相應(yīng)的HJB方程中。因此Taksar[74]給出的方法不再適用于該模型。運用同3.1節(jié)類似的方法以及微分方程解對初值的連續(xù)依賴性，找到了值函數(shù)和最優(yōu)策略。
　　在第4章中，計算了Omega模型下譜負Lévy過程的一些常見精算量。Omega模型首次由Albrecher et al.[3]提出，這個模型假設(shè)保險公司即使在負盈余的情況下，也可

18、以繼續(xù)經(jīng)營直到破產(chǎn)發(fā)生。此時破產(chǎn)由破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)量化，其中x表示負盈余的大小。特殊地，當ω(x)等于某個常數(shù)時，在4.3節(jié)指出破產(chǎn)還有兩個等價定義。其一是在Albrecher et al.[1，2]研究的指數(shù)分布觀測區(qū)間的框架下的破產(chǎn)，其破產(chǎn)發(fā)生在當盈余在某個觀測時刻為負值時。另一個是Landriault et al.[54]所考慮的指數(shù)分布延遲下破產(chǎn)（Parisian意義下破產(chǎn)的一種特殊情形）。
　　在第4章的第一部分，在O

19、mega模型下盈余過程為譜負Lévy過程時，對于固定罰金和依賴盈余的罰金兩種情形，分別計算了破產(chǎn)時的期望折現(xiàn)罰金。還找到了盈余過程負持續(xù)時間的概率分布，并且計算了負盈余的積分的數(shù)學(xué)期望。使用譜負Lévy過程的一些波動性質(zhì)，用尺度函數(shù)和Laplace指數(shù)來表示結(jié)果。本章的第二部分描述了Omega模型中的一個分紅問題。在邊界分紅策略下，給出了直到破產(chǎn)的累加期望折現(xiàn)分紅與破產(chǎn)時折現(xiàn)罰金兩者差的顯示表達。
　　本文主要致力于解決帶約束的最

20、優(yōu)分紅問題。此外，還計算了Omega模型中有關(guān)譜負Lévy過程的折現(xiàn)罰金和期望折現(xiàn)分紅。本文的主要貢獻如下。
　　在注2.2.2中解釋了為什么研究強制要求保險公司注資的問題，而不是研究保險公司可以選擇清償資產(chǎn)并退出市場的問題。這個解釋亦適用于文獻中帶注資的最優(yōu)分紅問題。
　　在第3章中，用微分方程理論來處理常利率風(fēng)險模型下最優(yōu)控制問題，而不是像文獻中通常引入合流超幾何函數(shù)的方法。
　　在3.1.4小節(jié)中，表明在分紅率有

21、界和沒有再保險的情況下，最優(yōu)分紅策略是門檻策略。其所對應(yīng)的分紅邊界關(guān)于分紅率界是非降的，而且當分紅率界大于某個正數(shù)時是非零的。
　　3.1.5小節(jié)給出的最優(yōu)再保險策略也有點不同于文獻。在分紅率有界的條件下，風(fēng)險的最優(yōu)自留比例不再是風(fēng)險余額的單增函數(shù)。它先隨著風(fēng)險余額單調(diào)增加到某個最大值，如果這個最大值等于1就在1這個水平停留一段時間，最后下降至零。
　　在3.2節(jié)中，引入一種新方法來研究在考慮破產(chǎn)的時間價值條件下的最優(yōu)分紅問

22、題。這種方法用到了微分方程解對初值的連續(xù)依賴性。證明的過程和有關(guān)值函數(shù)的結(jié)果都增加了技術(shù)上的難度。
　　在Omega模型中，當破產(chǎn)率為常值時，在4.3節(jié)表明這種情形下的破產(chǎn)可與隨機觀測下的破產(chǎn)以及Parisian意義下的破產(chǎn)相聯(lián)系?；谶@些聯(lián)系，對于固定罰金和依賴盈余的罰金兩種情形，分別計算了破產(chǎn)時的期望折現(xiàn)罰金。
　　在4.3.1小節(jié)中，首次給出了譜負Lévy過程負持續(xù)時間的概率分布，用尺度函數(shù)和盈余過程的分布來表示。