基于小波和變分PDE的圖像建模理論、算法及應(yīng)用.pdf

1、小波分析和變分PDE理論是目前圖像處理和低層視覺分析領(lǐng)域的兩大基本數(shù)學(xué)工具。本論文主要圍繞二者在圖像處理中的建模和應(yīng)用來進(jìn)行研究。主要做了以下幾個(gè)方面的工作： 1.以圖像恢復(fù)為應(yīng)用背景，探討了BV正則化空間中G模型(帶有自適應(yīng)逼近項(xiàng)的廣義TV方法)和OSV模型(帶有H-1范數(shù)的TV變分模型)分別與“純粹的”各向異性擴(kuò)散方程和小波分析的有機(jī)結(jié)合。首先，針對PDE去噪方法中非線性擴(kuò)散方程與變分法的聯(lián)系，對G模型作了改進(jìn)，提出一個(gè)基于

2、TV和各向異性擴(kuò)散方程的圖像恢復(fù)模型。通過引進(jìn)“純粹的”各向異性擴(kuò)散方程的擴(kuò)散項(xiàng)，該方法不但能夠有效地去除噪聲、保持邊緣的位置，而且能夠更好地保持圖像中的紋理特征和不能用邊緣刻畫的大尺度細(xì)小特征，使處理過的圖像清晰度和對比度大大增加。其次，根據(jù)小波系數(shù)范數(shù)和H-1范數(shù)的等價(jià)性，在OSV模型基礎(chǔ)上提出一個(gè)新的Tv去噪模型。該方法實(shí)現(xiàn)了圖像幾何信息(曲率)與小波分解的結(jié)合，從而避免了在時(shí)域中求解復(fù)雜的非線性PDE。最后，通過分析OSV模型的

3、性質(zhì)(v在L2(Ω)中均值為零)，給出其在小波域中類似Galerkin方法的求解算法。實(shí)驗(yàn)表明該算法具有可行性。 2.主要致力于研究變分模型在圖像分解中的應(yīng)用。針對Meyer提出的TV極小化框架下的振蕩函數(shù)建模理論，給出其理論模型(BV，G)和(BV，E)在Besov空間中的推廣。然后，根據(jù)Besov半范數(shù)與小波系數(shù)范數(shù)的等價(jià)性，建立了推廣模型在小波域中的快速求解方法，從而避免了求解傳統(tǒng)意義上的非線性PDE。具體地講，主要有三方

4、面的內(nèi)容：第一，提出一類基于Besov空間與負(fù)Hilbert-Sobolev空間的變分模型。通過小波系數(shù)范數(shù)的等價(jià)刻畫，該模型的解都可以解釋為作用于單個(gè)小波系數(shù)的不同閾值函數(shù)。第二，在上述變分模型的基礎(chǔ)上，修正Besov光滑項(xiàng)，從而提出基于小波投影的求解算法。算例表明該模型的解都可以表示為不同的小波全局閾值函數(shù)。第三，提出一類基于Besov空間與齊次Besov空間的變分模型，并給出其基于不同小波閥值的逐次迭代算法和相應(yīng)的收斂性分析。

5、 3.給出三種迭代正則化算法：一是基于VO變分模型的迭代正則化。通過采用廣義Bregman距離，對VO變分模型定義了新的迭代正則化序列，并由此推導(dǎo)出相應(yīng)的算法。實(shí)驗(yàn)表明該算法可以進(jìn)一步改善VO變分模型在紋理圖像恢復(fù)中的不足。二是給出一類基于Besov空間Bn(Ω)(a>O)的迭代正則化。通過引進(jìn)平移不變的小波變換，新迭代正則化的解都可以解釋為依賴于小波尺度、Besov光滑階、尺度參數(shù)以及迭代次數(shù)的小波閾值函數(shù)。然后，借鑒全變差(TV

6、)圖像恢復(fù)的思想將上述迭代正則化方法推廣到一類基于平移不變小波變換的加權(quán)逆尺度空間。最后，研究了一種基于(BV，H-1等級分解的圖像多尺度表示方法。通過引進(jìn)單調(diào)的尺度參數(shù)，該方法為圖像在中間空間(BV，H-1)。(θ∈[o，l])的特征刻畫提供了一種分級的自適應(yīng)表達(dá)式。實(shí)驗(yàn)表明新算法是有意義的。 4.在AAFC圖像分解變分模型的基礎(chǔ)上，通過引入半二次規(guī)整化思想，導(dǎo)出一個(gè)耦合邊緣提取的圖像分解變分模型，從而實(shí)現(xiàn)了圖像結(jié)構(gòu)、振蕩成分

7、(紋理或噪聲)與邊緣三種特征的同時(shí)提取。同時(shí)，探討了新模型基于投影與耦合PDE系統(tǒng)的逐次迭代算法與相應(yīng)的數(shù)值離散。實(shí)驗(yàn)表明，對目標(biāo)圖像與邊緣均引入各向異性擴(kuò)散機(jī)制的耦合PDE系統(tǒng)和投影算法能夠取得較好的圖像分解和邊緣檢測效果。 5.提出一種新的圖像放大算法。首先，用Besov范數(shù)刻畫圖像的正則性構(gòu)造一個(gè)變分泛函，然后極小化該變分泛函就得到放大圖像。其次，利用Besov范數(shù)與小波系數(shù)范數(shù)之間的等價(jià)描述，新的變分問題就完全轉(zhuǎn)化為基于