擬共形和擬正則映射中的一些問(wèn)題.pdf

1、上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文擬共形和擬正則映射中的一些問(wèn)題摘要f擬共形和擬正則映射分別自二十世紀(jì)二十年代和六十年代創(chuàng)立以來(lái)在復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)、Teichmfiller空間和Sobolev空間、偏微分方程、幾何與拓?fù)?、物理和工程技術(shù)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用，一直是復(fù)分析中最活躍的分支之一。無(wú)論是平面，還是高維，乃至Poe1、1aDp_流形上的擬共形和擬正則映射理論，都一直在蓬勃發(fā)展，并不斷取得新的重要進(jìn)展。例如，1998年，Heinonen和Koske

2、la在研究擬共形映射得以建塞的空間條件時(shí)，引進(jìn)了Loewner空間的概念，并建立了其上的擬共形艘對(duì)理論。7我們知道，Loewller空間和弱Poincar∈不等式得以成立的空間近似等“，它不但包含R”、Heisenberg群和Carnot群、CarnotCarath40dory空間，而且還包括緊致Pdemann流形以及單純復(fù)形。本文主要在這類空間上研究各種映射的性質(zhì)。在第一章中，我們研究了Loewuer空間中雙一Lipschitz映射的

3、“幾何”、“分析”和“距離”三種定義。筒先，我們證明同胚為雙一Lipschitz映射的充要條件是它適合環(huán)模不等式，即同胚對(duì)世環(huán)?！北３钟薪缙?。該結(jié)果既推廣、又改進(jìn)了R01。d。1997年的工作。他在l：t“上的自同胚有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的假設(shè)之下，證明了雙Lipschitz映射的這三種定義等價(jià)。我們知道Loewner空間是一類比Rn更廣泛的空間，Rn上的自同胚也不一定有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。在這里我們克服了一些困難。因?yàn)镽n中的“球環(huán)”拓廣到Loewn

4、er空間時(shí)未必是“環(huán)”，而且“環(huán)模”的定義也無(wú)法照搬過(guò)來(lái)。我們利用Loewner空間的深刻性質(zhì)一線性局部連通性一來(lái)構(gòu)造新的“環(huán)”，并在這種抽象的空間上重新定義了“環(huán)?！钡鹊?。其次，我們還證明了同胚為雙Lipsclzitz映射當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)幾乎所有曲線關(guān)于Q模絕對(duì)連續(xù)，并且它的極大和極小導(dǎo)數(shù)雙向有界。由于Loewner空間通常是非線性的，它不具有類似于n維Euclid空間的微分結(jié)構(gòu)，因此我們用“極大、極小和體積導(dǎo)數(shù)”以及“對(duì)幾乎所有曲線關(guān)于

5、Q模絕對(duì)連續(xù)”gr弋了n維Euclid空間中的普通“導(dǎo)數(shù)”和“ACL性質(zhì)”。)、在第二章中，我們首先在Loewner空間中證明同胚為擬對(duì)稱映射當(dāng)且僅當(dāng)它保持有界集，并對(duì)“環(huán)?！北３?jǐn)M不變性。在彤中，這是一個(gè)熟知的結(jié)論。摸次，我們通過(guò)體積導(dǎo)數(shù)，引進(jìn)了擬對(duì)稱映射的正則集和內(nèi)伸張系數(shù)的概念，還荊用極大導(dǎo)數(shù)和極小導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，在比0正則Loewner空間更廣泛的Ahlfors，David正則空間中建立了擬對(duì)稱映射作用下的Vjis／ili不

6、等式和Gr69zsch。Teichmfiller型模不等式。它們?cè)谘芯繑M共形映射和擬正則映射的局部共形性時(shí)起著重要的作用，尤其值得一提的是：Bishop等人運(yùn)用這些不等式和其它技巧，證明了高維空間擬正則映射的Teichmi[1er—Wittich定理。f』上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文SOMEPROBLEMSOFQUASICONFORMALANDQUASIREGULARMAPPINGSABSTRACTQuasi—conformal(abbre

7、viatedqc)andquasi—regular(qr)mappingshavemanyimportantapplicationsincomplexanalyticdynamics，TeichmiillerspacesandSobo[evspacespartialdifferentialequationsgeometryandtopologyphysicsandengineeringtechnologysinceitwasfounde

8、dinthe1920’sand1960’SrespectivelytheyhavebeenoneofthemostflourishbranchofcomplexanalysisThetheoriesofqcandqrmappingsnotonlyinplanebutalsoinhigherdimensioneveninPdemanniaamauifoldsaredevelopingquickly，Agreatdealofadvances

9、havebeenobtainedForexamplein1998，HeinonenandKoskelaintroducedtheconceptofLoewnerspaceandestablishedthetheoryofqcmappingsinitwhentheystudiedtheconditionsOilspaceswherethetheoryofqcmappingscanbefoundedWeknowthatLoewnerspac

10、esareapproximatelyequivalenttospaceswhichadmitaweakPoincar6inequalitytheyincludenotonlyR“HeisenbergandCarnotgroupsCarnotCarath60doryspacesbutcompactPdemannianmanifoldsandsimplicialcomplexesInthisthesis、wemainlysfudylhepr

11、opertiesofvariousmappingsOUthesespacesInChapter1westudythe‘geometric““analytic”and“metric”definitionsofbi—LipschitzmapsinLoewnerspacesFirst，weprovethatahomeomorptfismisbi，Lipschitzifandonlyifitsatisfiesamodulusinequality

12、ofringsieitpreservesboundeddistortionformodulusofringsThisresultnotonlygeneralizesbutim—provesHohde‘Sworkobtainedin1997Heprovedthatthesethreedefinitionsofbi—Lipschitzmapsareequivalentundertheassumptionthattheselfhomeomor

13、phisms。fⅣflxtwopointsHoweverweknowthatLoewnerspaceismoregeneralthanR“andaseKhomeomorphismofR“mayhaven’ttwofixedpointsHereweresolvesomeproblemsBecausethe”sphericalrings’’inR“maynotberingsanylongerwhentheyaregeneralizedtoL