非齊次雙曲型守恒律組的粘性解與弱解的研究.pdf

1、隨著流體動(dòng)力學(xué)，特別是計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，守恒律方程成為五十年代新起的一個(gè)研究領(lǐng)域，此類(lèi)型方程所涵蓋的物理模型十分廣泛，幾乎所有連續(xù)力學(xué)的模型方程均屬于這種形式。關(guān)于非線(xiàn)性雙曲型守恒律理論的一個(gè)重要方面是方程組解的存在性問(wèn)題，它有助于我們分析對(duì)身邊的自然現(xiàn)象建立的數(shù)學(xué)模型是否正確。然而一般而言，即使是在初值很小且光滑的情況下，非線(xiàn)性雙曲型守恒律的Cauchy問(wèn)題的解在有限時(shí)間內(nèi)也會(huì)出現(xiàn)奇異性，為此，我們必須在不連續(xù)函數(shù)空間中尋找上述問(wèn)題

2、的解，因此對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的研究，我們也不可能直接利用在其它類(lèi)型的偏微分方程中占主導(dǎo)地位的解析方法來(lái)解決問(wèn)題，而是通過(guò)奇異擾動(dòng)法構(gòu)造近似解，由近似解的緊性得到原問(wèn)題解的存在性。 利用人工粘性消失法結(jié)合補(bǔ)償列緊理論，本文主要討論含有兩個(gè)方程的非齊次非線(xiàn)性雙曲型守恒律方程組Cauchy問(wèn)題的粘性解和整體弱解的存在性。主要研究?jī)?nèi)容包括以下幾個(gè)方面： 1、非齊次守恒律弱解的存在性框架 在對(duì)已有的齊次守恒律方程組解的存在性研究的

3、基礎(chǔ)上討論一般的非齊次非線(xiàn)性雙曲型守恒律組，利用粘性消失法結(jié)合補(bǔ)償列緊理論，首先在一定條件下得到相應(yīng)的粘性解的存在性和一致有界性，由此可得對(duì)此粘性解存在一個(gè)弱收斂的子列，一般而言，弱極限并不強(qiáng)收斂，為得到序列的強(qiáng)緊性，我們構(gòu)造適當(dāng)?shù)撵?熵流對(duì)，由緊性定理，只需證明由粘性解序列導(dǎo)出的Young測(cè)度是一點(diǎn)測(cè)度。 2、研究了一類(lèi)帶有源項(xiàng)的多方等熵氣體動(dòng)力學(xué)方程組的整體熵解的存在性 文中分線(xiàn)性源項(xiàng)和一般源項(xiàng)兩種情形進(jìn)行討論，利用

4、極值原理導(dǎo)出粘性解的一致有界性，通過(guò)強(qiáng)弱熵組合得到熵方程的H-1loc 緊性，最后結(jié)合Kinetic理論得到粘性解存在強(qiáng)收斂的子列，從而可得該極限函數(shù)即為原方程組的熵弱解。 3、研究了一類(lèi)非齊次彈性力學(xué)方程組整體熵解的存在性 文中利用不變區(qū)域理論給出此類(lèi)問(wèn)題相應(yīng)的粘性方程組在適當(dāng)條件下存在一不變區(qū)域，由此可得粘性解的一致有界性，通過(guò)不同熵對(duì)的使用，擴(kuò)展了原有的關(guān)于齊次問(wèn)題的結(jié)果。 4、研究了一類(lèi)來(lái)源于物理上的相變