排隊論模型

1、細(xì)心整理排隊論模型 排隊論模型排隊論也稱隨機效勞系統(tǒng)理論。它涉及的是建立一些數(shù)學(xué)模型，藉以對隨機發(fā)生的需求供應(yīng)效勞的系統(tǒng)預(yù)料其行為?，F(xiàn)實世界中排隊的現(xiàn)象比比皆是，如到商店購貨、輪船進港、病人就診、機器等待修理等等。排隊的內(nèi)容雖然不 同，但有如下共同特征： ? 有請求效勞的人或物，如候診的病人、請求著陸的飛機等，我們將此稱為“顧客” 。? 有為顧客供應(yīng)效勞的人或物，如醫(yī)生、飛機跑道等，我們稱此為“效勞員” 。由顧客和效勞員就組成效勞系統(tǒng)。

2、? 顧客隨機地一個一個〔或者一批一批〕來到效勞系統(tǒng)，每位顧客須要效勞的時間不必需是確定的，效勞過程的這種隨機性造成某個階段顧客排長隊，而某些時候效勞員又空閑無事。 排隊論主要是對效勞系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，探究諸如單位時間內(nèi)效勞系統(tǒng)能 排隊論主要是對效勞系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，探究諸如單位時間內(nèi)效勞系統(tǒng)能夠效勞的顧客的平均數(shù)、顧客平均的排隊時間、排隊顧客的平均數(shù)等數(shù)量規(guī) 夠效勞的顧客的平均數(shù)、顧客平均的排隊時間、排隊顧客的平均數(shù)等數(shù)量規(guī)律。 律。一

3、、 一、 排隊論的一些根本概念 排隊論的一些根本概念為了表達(dá)一個給定的排隊系統(tǒng)，必需規(guī)定系統(tǒng)的以下組成局部：? 輸入過程 即顧客來到效勞臺的概率分布。排隊問題首先要依據(jù)原始資料，由顧客到達(dá)的規(guī)律、作出經(jīng)驗分布，然后遵照統(tǒng)計學(xué)的方法〔如卡方檢驗法〕確定聽從哪種理論分布，并估計它的參數(shù)值。我們主要探討顧客來到效勞臺的概率分布聽從泊松分布，且顧客的到達(dá)是相互獨立的、平穩(wěn)的輸入過程。所謂“平穩(wěn)”是指分布的期望值和方差參數(shù)都不受時間的影響。?

4、 排隊規(guī)那么 即顧客排隊和等待的規(guī)那么，排隊規(guī)那么一般有即時制和等待制兩種。所 謂即時制就是效勞臺被占用時顧客便隨即離去；等待制就是效勞臺被占用時，顧客便排隊等候效勞。等待制效勞的次序規(guī)那么有先到先效勞、隨機效勞、有 優(yōu)先權(quán)的先效勞等，我們主要探討先到先效勞的系統(tǒng)。? 效勞機構(gòu) 效勞機構(gòu)可以是沒有效勞員的，也可以是一個或多個效勞員的；可以對單 獨顧客進展效勞，也可以對成批顧客進展效勞。和輸入過程一樣，多數(shù)的效勞時間都是隨機的，且

5、我們總是假定效勞時間的分布是平穩(wěn)的。假設(shè)以ξn 表示效 勞員為第 n 個顧客供應(yīng)效勞所需的時間，那么效勞時間所構(gòu)成的序列{ξn}，n=1，2，…所聽從的概率分布表達(dá)了排隊系統(tǒng)的效勞機制，一般假定，相繼的 效勞時間ξ1，ξ2，……是獨立同分布的，并且隨意兩個顧客到來的時間間隔 序列{Tn}也是獨立的。假如按效勞系統(tǒng)的以上三個特征的各種可能情形來對效勞系統(tǒng)進展分類，那么分類就太多了。因此，此時此刻已被廣泛接受的是按顧客相繼到達(dá)時間間 隔的分

6、布、效勞時間的分布和效勞臺的個數(shù)進展分類。探究排隊問題的目的，是探究排隊系統(tǒng)的運行效率，估計效勞質(zhì)量，確定細(xì)心整理3、多于一個顧客到達(dá)或效勞完的概率為 o(△t)，均可忽視。 注 1：因為單位時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù) X～P〔λ〕 ，所以Δt 時間間隔內(nèi)顧客到 達(dá)數(shù) Y～ P〔λΔt〕 ，因而在Δt 時間間隔內(nèi)有一個顧客到達(dá)的概率為：P{ Y=1 } =λΔt·e-λΔt=λΔt + o(Δt)，沒有顧客到達(dá)的概率為 P{Y=0}

7、= e-λΔt=1-λΔt + o(Δt)。注 2：由于效勞時間 T～E〔μ〕 ，故在有顧客承受效勞時，一個顧客被效勞完的概率為 P{T≤Δt }=1 - e-μΔt=μΔt + o(Δt)，沒有被效勞完的概率為 1 -μΔt + o(Δt)。在 t+△t 時刻，系統(tǒng)中有 n 個顧客的狀態(tài)由 t 時刻的以下狀態(tài)轉(zhuǎn)化而來：①t 時刻系統(tǒng)中有 n 個顧客，沒有顧客到達(dá)且沒有顧客效勞完畢，其概率為：[1-λ△t+o(△t)][ 1-μ△t+o

8、(△t)]= (1-λ△t-μ△t)+o(△t)；②t 時刻系 統(tǒng)中有 n+1 個顧客，沒有顧客到達(dá)且有一個顧客效勞完畢，其概率為：[1-λ△t+o(△t)][μ△t+o(△t)]= μ△t+o(△t)；③t 時刻系統(tǒng)中有 n-1 個顧客，有一個顧客到達(dá)且沒有顧客效勞完畢，其概率為：[λ△t+o(△t)][1-μ△t+o(△t)]= λ△t+o(△t)；④其他狀態(tài)的概率為 o(△t)。因此，在 t+△t 時刻，系統(tǒng)中有 n 個顧客的概率

9、 Pn(t+△t)滿足：Pn(t+△t)= Pn(t)(1-λ△t-μ△t)+ Pn+1(t)μ△t + Pn-1(t)λ△t+o(△t)[Pn(t+△t)- Pn(t)]/△t=λPn-1(t)+μPn+1(t)-(λ+μ)Pn(t)+o(△t)/△t令△t→0，得到? 2 , 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1 ? ? ? ? ? ? ? n t P t P t P dtt dPn n nn ? ? ? ?n=0 時，

10、因為P0(t+△t)= P0(t)(1-λ△t)+ P1(t)(1-λ△t) μ△t+o(△t)所以，有) ( ) ( ) (1 00 t P t P dtt dP ? ? ? ? ?對于穩(wěn)態(tài)情形，及 t 無關(guān)，其導(dǎo)數(shù)為零。因此，得到差分方程? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?01 , 0 ) (1 01 1P Pn P P P n n n? ?? ? ? ?求解此差分方程Pn=(λ/μ)nP0由概率的性質(zhì)知 ，將上式代入λ/