1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用1

1、1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用 三角函數(shù)的應(yīng)用1．通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題體會(huì)銳角三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用；(重點(diǎn))2．能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入為倡導(dǎo)“低碳生活” ，人們常選擇自行車(chē)作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車(chē)的實(shí)物圖．圖②是這輛自行車(chē)的部分幾何示意圖，其中車(chē)架檔 AC 與 CD 的長(zhǎng)分別為 45cm 和 60cm，且它們互相垂直，座桿CE 的長(zhǎng)為 20cm.點(diǎn) A、C、E 在同一條直線上，且

2、∠CAB＝75°.你能求出車(chē)架檔 AD 的長(zhǎng)嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用【類(lèi)型一】 利用方向角解決問(wèn)題某船以每小時(shí) 36 海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn) A 測(cè)得某島 C 在北偏東 60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn) B，測(cè)得該島在北偏東 30°方向上，已知該島周?chē)?16 海里內(nèi)有暗礁．(1)試說(shuō)明點(diǎn) B 是否在暗礁區(qū)域外；(2)若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)求點(diǎn) B 是否在暗

3、礁區(qū)域內(nèi)，其實(shí)就是求 CB 的距離是否大于 16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內(nèi)，反之則在．可通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求 CB 的長(zhǎng)，作CD⊥AB 于 D 點(diǎn)，CD 是 Rt△ACD 和 Rt△CBD 的公共直角邊，可先求出 CD 的長(zhǎng)，再求出 CB 的長(zhǎng)；(2)本題實(shí)際上是問(wèn) C 到AB 的距離即 CD 是否大于 16，如果大于則無(wú)觸礁危險(xiǎn)，反之則有，CD 的值在第(1)問(wèn)已經(jīng)求出，只要進(jìn)行比較即可．解：(1)作 CD⊥AB 于 D 點(diǎn)，設(shè) B

4、C＝x，在 Rt△BCD 中，∠CBD＝60°，∴BD＝ x，CD＝ x.在 Rt△ACD 中，∠CAD＝123230°，tan∠CAD＝ ＝ ，∴ ＝ .CDAD3332 x18＋12x33∴x＝18.∵18>16，∴點(diǎn) B 是在暗礁區(qū)域外；(2)∵CD＝ x＝9 ，9 ＜16，∴若32 3 3繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險(xiǎn)．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，

5、再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中解決．變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 4 題變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 5 題【類(lèi)型四】 仰角、俯角和坡度的綜合應(yīng)用如圖，小麗假期在娛樂(lè)場(chǎng)游玩時(shí)，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量某個(gè)娛樂(lè)場(chǎng)地所在山坡 AE 的長(zhǎng)度．她先在山腳下點(diǎn) E 處測(cè)得山頂 A 的仰角是 30°，然后，她沿著坡度是 i＝1∶1(即 tan∠CED＝1)的斜坡步行 15 分鐘抵達(dá)

6、C 處，此時(shí)，測(cè)得A 點(diǎn)的俯角是 15°.已知小麗的步行速度是18 米/分，圖中點(diǎn) A、B、E、D、C 在同一平面內(nèi)，且點(diǎn) D、E、B 在同一水平直線上．求出娛樂(lè)場(chǎng)地所在山坡 AE 的長(zhǎng)度(參考數(shù)據(jù)： ≈1.41，結(jié)果精確到 0.1 米)． 2解析：作輔助線 EF⊥AC 于點(diǎn) F，根據(jù)速度乘以時(shí)間得出 CE 的長(zhǎng)度，通過(guò)坡度得到∠ECF＝30°，通過(guò)平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°，即可求出 AE 的

7、長(zhǎng)度．解：作 EF⊥AC 于點(diǎn) F，根據(jù)題意，得 CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝ CE＝135 米．∵∠CEF＝60°，∠12AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝

8、 EF＝135 ≈ 2 2190.4(米)．所以，娛樂(lè)場(chǎng)地所在山坡 AE 的長(zhǎng)度約為 190.4 米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是能借助仰角、俯角和坡度構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．三、板書(shū)設(shè)計(jì)三角函數(shù)的應(yīng)用1．方向角的概念2．三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問(wèn)題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，上課前多揣摩．讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過(guò)程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，把課堂讓給學(xué)