插板法專(zhuān)題講義

1、“插板法”專(zhuān)題“插板法”專(zhuān)題第1頁(yè)對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)：基礎(chǔ)知識(shí)：1.人類(lèi)最早使用的計(jì)數(shù)方法，不是枚舉，不是排列組合，也不是遞推，而是對(duì)應(yīng)。2.對(duì)應(yīng)的目的：化繁為簡(jiǎn)，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題解決復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題。3.對(duì)應(yīng)的常用思路：從整體觀察問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的本質(zhì)，不拘泥于其中細(xì)微的步驟。4.常見(jiàn)對(duì)應(yīng)方法：插板對(duì)應(yīng)、方向?qū)?yīng)、幾何對(duì)應(yīng)。5.插板法：把m個(gè)相同的球放入n個(gè)不同的籃子里不得為空：：每個(gè)間隔至多插一個(gè)板子；板子不得相鄰，不得插

2、在兩端。允許為空：：n個(gè)籃子就要補(bǔ)n個(gè)球，然后轉(zhuǎn)變?yōu)槊總€(gè)籃子不得為空。例1.小高媽媽每天讓小高吃1個(gè)雞蛋或者1個(gè)鴨蛋，那么小高吃完家里的4個(gè)雞蛋和4個(gè)鴨蛋共有多少種吃法？思考：具體的考慮每天的選擇，發(fā)現(xiàn)后面的種數(shù)會(huì)受到前面的影響，那么從整體考慮呢？具體的吃法和什么是對(duì)應(yīng)的？其實(shí)，只要小高媽媽列出一個(gè)吃蛋的安排，事情就變得很簡(jiǎn)單了。[答疑編號(hào)5721120101]【答案】70【解答】列出這8天的安排，4個(gè)“雞”和4個(gè)“鴨”排成一列，這樣的

3、排法就對(duì)應(yīng)著這8天的吃法。所以，共有（種）例2.5枚相同樣式的華杯賽獎(jiǎng)?wù)骂C發(fā)給3名學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一枚，則有多少種頒獎(jiǎng)方式？思考：在低年級(jí)，這類(lèi)問(wèn)題枚舉就可以解決。但是如果數(shù)字更大，枚舉就很麻煩了。所以，我們可以從本題中尋找更一般的方法。想象這樣一種場(chǎng)景，老師把這5枚獎(jiǎng)?wù)屡懦梢涣?，然后在間隔中劃上兩道豎線分割成三部分，于是獎(jiǎng)?wù)戮头趾昧恕答疑編號(hào)5721120102]【答案】6【解答】實(shí)際上，根據(jù)前面的思考，我們發(fā)現(xiàn)，把5枚獎(jiǎng)?wù)屡懦梢?/p>

4、列后，從它們的4個(gè)間隔中選2個(gè)，插入兩塊板，獎(jiǎng)?wù)戮捅环譃榱?個(gè)部分，我們可以規(guī)定最左邊的就給學(xué)生A，中間的給學(xué)生B，最右邊的給學(xué)生C，于是這兩塊板的插法就對(duì)應(yīng)著獎(jiǎng)?wù)碌姆址ǎ海ǚN）什么是插板法什么是插板法把m個(gè)相同的球放入n個(gè)不同的籃子里不得為空：：每個(gè)間隔至多插一個(gè)板子；板子不得相鄰，不得插在兩端?！安灏宸ā睂?zhuān)題“插板法”專(zhuān)題第3頁(yè)【答案】（2）220【解答】（2）本題和上題的區(qū)別在于，盒子可以為空，補(bǔ)上4個(gè)球變?yōu)椋?），利用插板法，共

5、（種）例5.（1）數(shù)字和為9，且不含數(shù)字0的四位數(shù)共有多少個(gè)？（2）數(shù)字和為9，且小于10000的數(shù)有多少個(gè)？（3）數(shù)字和為9的四位數(shù)有多少個(gè)？[答疑編號(hào)5721120107]【答案】165【解答】（3）本題和（2）的區(qū)別在于，第一個(gè)盒子不能為空，所以只需要補(bǔ)上3個(gè)球變?yōu)椋?），共有（種）例6.海淀大街上一共有18盞路燈，區(qū)政府為了節(jié)約用電，打算熄滅其中的7盞，但為了行路安全，任意相鄰的兩盞燈不能同時(shí)被熄滅，請(qǐng)問(wèn)：一共有多少種熄燈方案？

6、思考：看到不能相鄰，你想到了什么方法？很好，看上去插空法是可以和本題對(duì)應(yīng)起來(lái)的，但是要注意，我們排的是什么，插的又是什么，如果排的是路燈，那么這些路燈一樣嗎？看上去是個(gè)麻煩的事情。[答疑編號(hào)5721120108]【答案】792【解答】實(shí)際上，路燈早就在那站著了，我們并沒(méi)有排路燈，也不用考慮路燈到底一不一樣，我們實(shí)際上安排的是“亮”和“熄”這兩種狀態(tài)，所以本題相當(dāng)于把11個(gè)“亮”和7個(gè)“熄”排成一列，每一種排法對(duì)應(yīng)著一種方案，利用插空法，

7、有（種）例7.（1）有10個(gè)小朋友排成一列，要從中選出3個(gè)互不相鄰的小朋友，有多少種不同的選法？（2）有10個(gè)小朋友排成一個(gè)圈，要從中選出3個(gè)互不相鄰的小朋友，有多少種不同的選法？思考：（1）和上題類(lèi)似，對(duì)于（2），和（1）有什么區(qū)別？我們發(fā)現(xiàn)，排成一個(gè)圈，會(huì)有很多旋轉(zhuǎn)重合的情況出現(xiàn)，在對(duì)應(yīng)時(shí)就會(huì)出問(wèn)題，怎么處理這個(gè)問(wèn)題呢？[答疑編號(hào)5721120109]【答案】（1）56；（2）50；【解答】（1）插空法即可，7個(gè)“不選”排成一列，從