高中數(shù)學(xué)完整講義——二項(xiàng)式定理2.二項(xiàng)展開(kāi)式2求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)

1、高中數(shù)學(xué)講義1思維的發(fā)掘能力的飛躍知識(shí)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理⑴二項(xiàng)式定理????011222...nnnnnnnnnnabCaCabCabCbn??????????N這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理⑵二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的通項(xiàng)叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)叫做011222...nnnnnnnnnCaCabCabCb????????nab???012...rnCrn?二項(xiàng)式系數(shù)，式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：rnrrnC

2、ab?1rT?1r?1rnrrrnTCab???⑶二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)冪指數(shù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，各項(xiàng)的冪指數(shù)狀況是??nab?1n?①各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n②字母的按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零，字母按升冪排列，從第一項(xiàng)anb起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n⑷幾點(diǎn)注意①通項(xiàng)是的展開(kāi)式的第項(xiàng)，這里1rnrrrnTCab?????nab?1r?012...rn?②二項(xiàng)式的項(xiàng)和的展開(kāi)式的第項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，

3、??nab?1r???nba?1r?rnrrnCba?其中的和是不能隨便交換的ab③注意二項(xiàng)式系數(shù)（）與展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有rnC時(shí)可為負(fù)④通項(xiàng)公式是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是??nab???nab?（只須把看成代入二項(xiàng)式定理）這與是不同的，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)??11rrnrrrnTCab????b?b1rnrrrnTCab???的二項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是，一個(gè)

4、是，可看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的rnC??1rrnC?rnC求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)高中數(shù)學(xué)講義3思維的發(fā)掘能力的飛躍，，????312123nnnnC?????，，，????????112...2123....1knnnnnkCk?????????????????????12...21123...1knnnnnknkCkk???????????1nnC?其中，后一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子是前一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子乘以逐次減小1的數(shù)（如12...nnn?

5、?），分母是乘以逐次增大的數(shù)（如1，2，3，…）因?yàn)?，一個(gè)自然數(shù)乘以一個(gè)大于1的數(shù)則變大，而乘以一個(gè)小于1的數(shù)則變小，從而當(dāng)依次取1，2，3，…等值時(shí)，的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減krnC了又因?yàn)榕c首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的式系數(shù)相等，所以二項(xiàng)式系數(shù)增大到某一項(xiàng)時(shí)就逐漸減小，且二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，展開(kāi)式共有項(xiàng)，所以展開(kāi)式有中間一項(xiàng)，并且這一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)n1n?1n?最大，最大為2nnC當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，展開(kāi)式共有

6、項(xiàng)，所以有中間兩項(xiàng)n1n?1n?這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，最大為1122nnnnCC???③二項(xiàng)式系數(shù)的和為，即2n012......2rnnnnnnnCCCCC???????④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即0241351......2nnnnnnnCCCCCC?????????常見(jiàn)題型有：求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)，二項(xiàng)式定理的逆用，賦值用，簡(jiǎn)單的組合數(shù)式問(wèn)題典例分析二項(xiàng)展開(kāi)式2求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（常