[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件第一章古典概型與概率空間

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1,1. 確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.特點(diǎn)在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的.,引 言,2,2. 隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而試驗(yàn)或觀察前，不能預(yù)知確切的結(jié)果. —— 即在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行觀測或試驗(yàn)，它的結(jié)果未必是相同的.,3,隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)雖然在個

2、別試驗(yàn)中，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過長期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，這類現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性—— 這種在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.,4,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正是研究隨機(jī)現(xiàn)象的這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支. 下面我們就來開始這門課程的學(xué)習(xí).,5,,在考慮一個(未來)事件是否會發(fā)生的時候, 人們常關(guān)心該事件發(fā)生的可能性的大小.就像用尺子測量物體的長度、我們用概率測

3、量一個未來事件發(fā)生的可能性大小.將概率作用于被測事件就得到該事件發(fā)生的可能性大小的測量值.為了介紹概率，首先需要介紹試驗(yàn)和事件.,第一章 古典概型與概率空間,6,一、隨機(jī)試驗(yàn)我們把按照一定的想法去作的事情稱為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)的簡稱是 試驗(yàn) (experiment).實(shí)例1擲一個硬幣, 觀察是否正面朝上.實(shí)例2擲兩枚骰子, 觀察擲出的點(diǎn)數(shù)之和.實(shí)例3在一副撲克牌中隨機(jī)抽取兩張, 觀察是否得到數(shù)字相同的

4、一對.,§1.1 試驗(yàn)與事件,7,在概率論的語言中, 試驗(yàn)還是指對試驗(yàn)的一次觀測或試驗(yàn)結(jié)果的測量過程.,投擲一枚硬幣, 用 表示硬幣正面朝上, 用 表示硬幣反面朝上, 則試驗(yàn)有兩個可能的結(jié)果： 和 . 我們稱 和 是樣本點(diǎn),稱樣本點(diǎn)的集合 為試驗(yàn)的樣本空間.,二、 樣本空間,8,投擲一枚骰子, 用1表示擲出點(diǎn)數(shù)1,

5、 用2表示擲出點(diǎn)數(shù)2, …, 用6表示擲出點(diǎn)數(shù)6.試驗(yàn)的可能結(jié)果是1, 2, 3, 4, 5, 6.我們稱這6個數(shù)是試驗(yàn)的樣本點(diǎn).稱樣本點(diǎn)的集合 是試驗(yàn)的樣本空間.,9,為了敘述的方便和明確，下面把一個特定的實(shí)驗(yàn)稱為試驗(yàn)S. 稱試驗(yàn)S的一個可能結(jié)果為S的一個樣本點(diǎn)(samp

6、le point) ，用?表示．,稱試驗(yàn) S 的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合為S 的樣本空間(sample space) ，用　表示．,10,例1將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為,11,三、 隨機(jī)事件,1. 隨機(jī)事件,投擲一枚骰子的樣本空間是A={3} 表示擲出3點(diǎn), 則A是 的子集.我們稱A是事件.,擲出3點(diǎn), 就稱事件A發(fā)生, 否則稱事件A不發(fā)生.用集合B={2,4,6}表示擲出偶數(shù)點(diǎn), B是 的子

7、集, 我們也稱B是事件.,當(dāng)擲出偶數(shù)點(diǎn), 稱事件B發(fā)生, 否則稱事件B不發(fā)生. 事件B發(fā)生和擲出偶數(shù)點(diǎn)是等價的.,12,當(dāng)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)(試驗(yàn)結(jié)果) 落在 A 中, 稱事件 A 發(fā)生, 否則稱 A 不發(fā)生.,按照上述約定, 子集符號 表示A是事件. 通常用大寫字母 A, B, C, D 等表示事件.,設(shè) 是試驗(yàn)S的樣本空間.當(dāng) 中只有有限個樣本

8、點(diǎn)時,稱 的子集為事件.,13,用 表示集合A的余集.則事件A發(fā)生和樣本點(diǎn) 是等價的,事件A不發(fā)生和樣本點(diǎn) 是等價的.,14,例1(續(xù)). 將一枚硬幣拋擲兩次,則樣本空間為,事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記作,A: “兩次出現(xiàn)的面不同”,或,A={兩次出現(xiàn)的面不同},用樣本空間的子集可表達(dá)為,A={ (H

9、,T), (T,H)},15,例2投擲一枚骰子, 觀察擲出的點(diǎn)數(shù).,B =“擲出奇數(shù)點(diǎn)”,= {1,3,5}.,Ai =“擲出i點(diǎn)” = {i}，i =1, 2,…, 6．,基本事件,16,特殊的事件：,,： 在每次試驗(yàn)中必出現(xiàn) 中一個樣本點(diǎn)，即在每次試驗(yàn)中 必發(fā)生, 因此稱 為必然事件;,?：在每次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的樣本點(diǎn)都不在中，即在每次試驗(yàn)中? 都不發(fā)生，因此稱? 為不可能發(fā)生的事件。,

10、17,注: 樣本空間 是由試驗(yàn)S的可能結(jié)果構(gòu)成的集合. 樣本點(diǎn) 是 的元素，事件A 就是 的子集.,18,2. 事件與集合,19,3. 事件的關(guān)系與運(yùn)算,(1)若A?B，則稱事件B包含事件A，事件A包含于事件B.事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生.,(2)若A?B, B?A, 即A=B，則稱事件A與事件B相等.,20,(3) 事件 稱為事件A與事件B的并（或和）事件.,“A與B至少有一

11、個發(fā)生”, “A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件發(fā)生” 等價.,當(dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個發(fā)生時, 事件 發(fā)生.,21,類似地，稱 為n個事件A1, …, An的和事件.,稱 為可列個事件A1, …, An,…的和事件.,22,(4) 事件稱為事件A與事件B的交（或積）事件，也記作AB.,當(dāng)且僅當(dāng)A、B同時發(fā)生時，事件AB發(fā)生.,“事件A和B同時發(fā)生”， “A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”

12、 等價.,23,稱 為可列個事件A1, …, An, …的積事件.,稱 為n個事件A1, …, An的積事件.,24,(5) 事件A?B稱為事件A與事件B的差事件.,當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生, B不發(fā)生時，事件 A?B發(fā)生.,25,類似地,若n個事件A1,…,An中兩兩互不相容，則稱這n個事件互不相容. 若事件A1,…,An,…中任意兩個事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個事件互不相容.,26,（7）若

13、A?B= , A?B=?，稱事件A與事件B為對立事件或逆事件。,—— 在每次試驗(yàn)中，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。,（8）事件,稱為事件A的補(bǔ)事件。,—— 當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生時，事件,發(fā)生。,27,事件的運(yùn)算公式就是集合的運(yùn)算公式,如：,(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律(4)對偶公式……,28,對于一個具體事件，要學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表示；反之，對于用數(shù)學(xué)符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.下面我們

14、來做練習(xí).,29,A = “兩件產(chǎn)品都是合格品”,,例3從一批產(chǎn)品中任取兩件, 觀察合格品的情況. 記,= “兩件產(chǎn)品不都是合格品”.,或,=“兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品”,={兩件產(chǎn)品中恰有一個是不合格品} {兩件產(chǎn)品中都是不合格品}.,記 Bi =“取出的第 i 件是合格品”, i=1,2, 則A=B1B2,,30,(1) A發(fā)生, B與C不發(fā)生,設(shè)A、B、C為三個事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件.,或,

15、(2) A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生,或,31,一、 古典概型假定隨機(jī)試驗(yàn)S有有限個可能的結(jié)果, 并且假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會比另一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會大或小，我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會.,§1.2 古典概率模型,32,實(shí)例一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為1－10 . 把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.,,,,2,3

16、,4,7,9,10,8,6,1,5,33,因?yàn)槌槿r這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得 . 也就是說，10個球中的任一個被取出的機(jī)會是相等的，均為1/10.,,,,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,34,用 i 表示取到 i 號球， i =1,2,…,10. 則該試驗(yàn)的樣本空間為{1,2,…,10} .每個樣本點(diǎn)(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同 .,35,古典概率模型,設(shè)

17、是試驗(yàn)S的樣本空間. 對于 的事件A, 我們用P(A)表示A發(fā)生的可能性的大小,稱P(A)是事件A發(fā)生的概率, 簡稱為A的概率.,按照以上原則, 如果事件A, B發(fā)生的可能性相同, 則有 P(A)=P(B).,如果事件A發(fā)生的可能性是B發(fā)生的可能性的2倍, 則有 P(A)=2P(B).,概率是介于0和1之間的數(shù), 描述事件發(fā)生的可能性的大小.,用 , 分別表示事件A和樣本空間 中樣本點(diǎn)的個數(shù).,36,設(shè)試驗(yàn)S的樣本

18、空間 是有限集合,,如果 的每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同, 則稱,為試驗(yàn)S下A發(fā)生的概率, 簡稱為事件A的概率.,能夠用上述描述的模型稱為古典概率模型，簡稱為古典概型.,2. 定義,37,3. 古典概率的基本性質(zhì),排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具 .,推論,38,加法原理乘法原理,基本計(jì)數(shù)原理,39,1. 加法原理,設(shè)完成一件事有m種方式，,第一種方式有n1種方法，,第二種方式有n2種方法,,…；,第m種方式有nm種

19、方法,,無論通過哪種方法都可以完成這件事，,則完成這件事總共有n1 + n2 + … + nm 種方法 .,40,2. 乘法原理,設(shè)完成一件事有m個步驟，,第一個步驟有n1種方法，,第二個步驟有n2種方法,,必須通過每一步驟,才算完成這件事，,41,從n個不同元素取 k個（允許重復(fù)）（1 k n)的不同排列總數(shù)為：,例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張,,共有4.4.4=43種可能取法,42,n個不同元素分為k組，

20、各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為,,n個元素,因?yàn)?43,例1 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼 1,2,…,10. 從中任取一個球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率.解：令A(yù)=“球的號碼為偶數(shù)”.,44,例2 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,10. 每次任取一個球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下一個. 這種取法叫做“有放回抽取”. 今有放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率.解

21、：令A(yù)=“3個球的號碼均為偶數(shù)”.,注意: 此處為有放回抽取.,45,例3 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,10. 每次任取一個球，記錄其號碼后不放回袋中，再任取下一個. 這種取法叫做“不放回抽取”. 今不放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率.解：令A(yù)=“3個球的號碼均為偶數(shù)”.,注意: 此處為無放回抽取.,46,例4 在一袋中有10 個相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,10. 今任取兩個球，

22、求取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)的概率.解：設(shè)A=“取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)”.,注意：第一個球是奇數(shù)，且第二個球是偶數(shù)，有順序要求，故要用排列去做.,47,例5 設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有 N 件，其中次品有 M 件. 今從中任取n（假定n?N-M）件，求次品恰有k件的概率(0? k ? min(M,n)) .,這是一種無放回抽樣.,解：令B=“恰有k件次品”.,,,,,,,,,,,,,,,

23、,,,,,,,,,,,,,,,,,,次品,正品,……,M件次品,N-M件正品,48,例 6設(shè)有n個球，每個球都以同樣的概率1/N落入到N個格子(N?n)的每一個格子，試求(1)A = “某指定的n個格子中各有一球” 的概率.(2)B = “任何n個格子中各有一球”的概率.,解：,49,生日問題有n 個人，設(shè)每個人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求至少有兩人生日相同的概率（n≤365 ）.,關(guān)于生日問題有如下計(jì)算數(shù)據(jù):

24、,50,20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,求一

25、個50人的班級中，至少有兩個人生日相同的概率.,人數(shù) 至少有兩人同 生日的概率,,,51,二、幾何概型,在概率論發(fā)展早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個樣本點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮試驗(yàn)結(jié)果是無窮多個的情形，這中間最簡單的一類是試驗(yàn)結(jié)果是無窮多個，而又有某種“等可能”的情形.,52,如,53,,1.定義向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投的點(diǎn)落在G中任意可度量區(qū)域g內(nèi)的可能性與g的度量成正比