曲柄搖桿機構存在的判定定理及其應用(第十六屆全國機械設計年會征文)

1、1第十六屆全國機械設計年會征文曲柄搖桿機構存在的判定定理及其應用曲柄搖桿機構存在的判定定理及其應用——Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構有解判據的全面表述與證明李易珍1薛立新2，李強3（1.內蒙北方重工集團培訓中心，包頭014030；2，內蒙一機集團培訓中心，包頭014030；3，內蒙古科技大學機械工程學院，包頭014010）摘要：本文針對具有急回運動特性的Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構，定義了幾何特征點的概念，在充分考慮Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構結構特征的前

2、提下，對其內在的固有幾何關系進行分析，通過研究、探討A鉸可行域的存在條件，提出并證明了Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構存在的判定定理，通過實例對其具體應用進行了說明。關鍵詞：曲柄搖桿機構；A鉸可行域；判定定理中圖分類號：TH1121問題的提出問題的提出曲柄搖桿機構因其具有急回運動特性而得到了廣泛應用，也一直是人們所關注的焦點，但大多偏重于圖解法、解析法等綜合方法的研究[13]。對于具有急回運動特性的Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構，當給定行程速比系數（或極

3、位夾角）和搖桿擺角并結合其他輔助條件時，也大多在有解的前提下研究、探討其綜合方法，而作為已知條件的行程速比系數（或極位夾角）和搖桿擺角，其值的可取范圍和相互關系尚不明晰，從而影響了機構的設計和應用[4]，有鑒于此，文獻[4]對其進行了極有價值的研究。文獻[5]對曲柄搖桿機構的圖解綜合法進行了新探，結合圖解綜合法研究曲柄搖桿機構是否有解的判據，但其“當行程速比系數K≥3，（即＜90o）時，Ⅰ??2180max???2???型曲柄搖桿機構無

4、解，Ⅱ型曲柄搖桿機構有解”結論是不正確的。因討論θ≥90o（K≥3）時曲柄搖桿機構極位夾角定義所附的簡圖，曲柄、搖桿的兩固定鉸A、D均位于搖桿活動鉸極限位C1、C2兩點所在直線的同側，符合Ⅰ型曲柄搖桿機構的結構特征，說明K≥3的Ⅰ型曲柄搖桿機構客觀存在，但其存在條件需要探討。是否存在K≥3的Ⅰ型曲柄搖桿機構還是Ⅱ型曲柄搖桿機構，其本質是如何簡明而準確地判定曲柄固定鉸接點A(簡稱為A鉸)之可行域的存在與否（尤其是K≥3時）。本文針對具有急

5、回運動特性的Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構，定義了幾何特征點的概念，在充分考慮Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構結構特征的前提下，對其內在的固有幾何關系進行分析，通過研究、探討A鉸可行域的存在條件，提出并證明了Ⅰ型、Ⅱ型曲柄搖桿機構存在的判定定理。2A鉸可行域鉸可行域2.1幾個定義幾個定義（參見圖1—4）（1）極位夾角與行程速比系數K（同文獻[5]）?：當機構處在兩極限位置時，對應曲柄的第2位置AB2與第1位置AB1的反向所夾的角度θ稱為極位夾角。K與θ的

6、關系為：，????11180?????KK?其中：1≤K＜∞，0o≤θ＜180o。（2）A解圓：是求解曲柄固定鉸鏈中心A點位置的圓。在A解圓中，圓心為O；弦C1C2被稱之為極位弦，其中垂線與A解圓的交點記作O1、O2，其中弧C1C2所對圓周角為θ的交點記作O1，而其所對圓周角為180o—θ的交點記作O2；搖桿的兩極限位置DC1、DC2或DC2、DC1其反向延長線與A解圓的交點記作E、F。3位弦C1C2靠近D點的一側，則E、F與D應位于極

7、位弦C1C2的同側，即幾何特征點D、E、F、A總位于極位弦C1C2的同側。由圖1、圖2可知，在1＜K＜3（0o＜θ＜90o）范圍內，弧C1O1C2是劣弧，O、D位于極位弦C1C2的同側；當K=3，θ=90o時，O點是極位弦C1C2的中點，極位弦C1C2成為A解圓的一條直徑。在這兩種情況下，不論D點落在A解圓內部還是外部，搖桿的兩極限位置線總能與A解圓相交，使得A解圓上的兩圓弧C1E、C2F其弧長總大于零，并使A、D位于極位弦C1C2的同

8、側，即總存在A鉸可行域，與角相互之??間無關聯性。由圖3可知，當K＞3（θ＞90o）時，弧C1O1C2是優(yōu)弧，故O、D應位于極位弦C1C2的異側。設計時為保證A解圓上的兩圓弧C1E、C2F其弧長大于零，且?guī)缀翁卣鼽cE、F總和A、D位于極位弦C1C2的同側，應有∠OC1D＜90o，則在△OC1D中，＞90o，由此推218011?????????DOCDOC之：θ＜90o（一定，當搖桿的兩極限位置線2??與A解圓相切時θ=90o）或＞2（θ

9、2????180?一定，當搖桿的兩極限位置線與A解圓相切時=2?）。所以當K＞3（θ＞90o）時，滿足??180?＜90o條件，才存在A鉸可行域。2???綜上，對Ⅰ型曲柄搖桿機構，隨K或θ的遞增，O、A相對位置的變化規(guī)律：K＜3，O、D位于極位弦C1C2的同側；K＞3，O、D位于極位弦C1C2的異側；K=3時，因極位弦C1C2變?yōu)锳解圓的直徑而成為其變化的臨界點。（2）Ⅱ型曲柄搖桿機構Ⅱ型曲柄搖桿機構其結構特征是A、D位于極位弦C1C2

10、的異側。參見圖4，對Ⅱ型曲柄搖桿機構，為確保A、D位于極位弦C1C2的異側，A鉸可行域必位于極位弦C1C2遠離D點一側，則E、F、A位于極位弦C1C2的同側而與D位于極位弦C1C2的異側。參見圖1、圖4，設計Ⅱ型曲柄搖桿機構時，D點不能落在A解圓內部，極位弦C1C2必位于A解圓上與C1C2平行的直徑、D點中間的某一位置，否則均使得A鉸可行域與D位于極位弦C1C2的同側，從而得不到Ⅱ型曲柄搖桿機構。設計時為保證A解圓上的兩圓弧C1E、C2

11、F其弧長大于零，并確保A、D位于極位弦C1C2的異側，滿足幾何特征點相對位置關系，則＜90o，由2111?????????DOCODCEOC此推之：θ＜90o＜90o（一定，當搖桿的兩極2???限位置線與A解圓相切時θ=90o）或＜22???（θ一定，當搖桿的兩極限位置線與A解圓??180?相切時=2）。所以不存在K≥3，θ≥90o的???180?Ⅱ型曲柄搖桿機構；只存在1＜K＜3，且＜90o的Ⅱ型曲柄搖桿機構。2???（3）因只存在K

12、＞3，且＜90o的Ⅰ型曲2???柄搖桿機構，且不存在K≥3，θ≥90o的Ⅱ型曲柄搖桿機構，故不存在K≥3，且≥90o的曲柄搖桿2???機構。至此，判定定理得證。由此可見，文獻[5]的“當行程速比系數K≥3，時，Ⅰ型曲柄??2180max???搖桿機構無解，Ⅱ型曲柄搖桿機構有解”的結論是不正確的。4應用應用判定定理其具體應用如下：（1）可準確判斷曲柄搖桿機構的存在與否。由判定定理可知，總能設計出1＜K≤3（0o＜θ≤90o）的Ⅰ型曲柄搖桿