傳染病的數(shù)學模型

1、傳染病模型詳解傳染病模型詳解2.2.2經(jīng)典模型經(jīng)典模型SISISSIR經(jīng)典的傳播模型大致將人群分為傳播態(tài)，易感染態(tài)和免疫態(tài)。態(tài)表示該個體SIRS帶有病毒或謠言的傳播能力，一旦接觸到易感染個體就會以一定概率導致對方成為傳播態(tài)。表示該個體沒有接觸過病毒或謠言，容易被傳播態(tài)個體感染。R表示當經(jīng)過一個或多個I感染周期后，該個體永遠不再被感染。模型考慮了最簡單的情況，即一個個體被感染，就永遠成為感染態(tài)，向周圍鄰居不斷SI傳播病毒或謠言等。假設個體

2、接觸感染的概率為，總?cè)藬?shù)為N，在各狀態(tài)均勻混合網(wǎng)絡中?建立傳播模型如下：dSSIdtNISIdtN????????????從而得到(1)diiidt???對此方程進行求解可得：?0000()01ttieitiiiie??????（）?可見，起初絕大部分的個體為態(tài)，任何一個態(tài)個體都會遇到態(tài)個體并且傳染給對ISI方，網(wǎng)絡中的態(tài)個數(shù)隨時間成指數(shù)增長。與此同時，隨著態(tài)個體的減少，網(wǎng)絡中態(tài)SIS個數(shù)達到飽和，逐漸網(wǎng)絡中個體全部成為態(tài)。S然而在現(xiàn)實

3、世界中，個體不可能一直都處于傳播態(tài)。有些節(jié)點會因為傳播的能力和意愿的下降，從而自動轉(zhuǎn)變?yōu)橛啦粋鞑サ膽B(tài)。而有些節(jié)點可能會從態(tài)轉(zhuǎn)變態(tài)，因此簡單RSI的模型就不能滿足節(jié)點具有自愈能力的現(xiàn)實需求，因而出現(xiàn)模型和模型。SISISSIR是研究復雜網(wǎng)絡謠言傳播的經(jīng)典的模型。采用與病毒傳播相似的過程中的，，SIRSI態(tài)R代表傳播過程中的三種狀態(tài)。Zaee，Meno先后研究了小世界傳播過程中的謠言傳播。Meno等人將人群分為（傳播謠言）、（沒有聽到謠言）

4、，（對謠言不再相信也不SIR傳播）。不再擴散。在這之后，許多學者在這些經(jīng)典模型的基礎上提出了改進的模型。如周苗苗等人在經(jīng)謠模型的基礎上研究了社會網(wǎng)絡上的謠言傳播并構(gòu)建了數(shù)學模型，得出了最終集合SIRAs的期望值的相關(guān)結(jié)論。孫慶山等人在經(jīng)典和模型的基礎上，研究了社會網(wǎng)絡的SISSI謠言傳播，首次將信息的吸引力作為傳播因素引入傳播模型中。Vespignani提出了網(wǎng)絡動力學傳播模型，詳盡分析了單種群中的動力學過程[31]。這些模型有的已經(jīng)擺

5、脫了平均場方程的表達傳播過程方法，采用元胞自動機以及隨機過程的方法表達，但是思想仍是采用SIR這樣的傳播狀態(tài)和規(guī)則。國內(nèi)外關(guān)于建立網(wǎng)絡謠言傳播模型方面和網(wǎng)絡免疫策略方面的研究已取得了一些有益進展。ZateDH率先在小世界網(wǎng)絡上建立謠言傳播模型。MenoY等人在無標度網(wǎng)絡上建立了謠言傳播模型，通過隨機分析方法以及計算機仿真得出結(jié)論。文獻利用構(gòu)建改進的Potts自旋系統(tǒng)來量化謠言傳播因素并建立起基于Potts謠言傳播模型。元胞自動機作為研究

6、傳播的方法之一也取得了較多成果。宣慧玉和張發(fā)利用元胞自動機研究了謠言在個體之間流傳的的局部交互的過程。劉常昱等人利用元胞自動機和Agent設計個體的局部相互作用規(guī)則來研究了基于小世界模型構(gòu)建的人際關(guān)系網(wǎng)絡中的輿論傳播。除此以外，人們發(fā)現(xiàn)謠言傳播與網(wǎng)絡的拓撲性質(zhì)也有著密切的聯(lián)系，汪小帆團隊發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡的聚類系數(shù)對傳播的影響并給出了相應抑制謠言的策略。針對各種謠言傳播模型的免疫干擾研究也是相對比較成熟。免疫策略可分為隨機免疫，熟人免疫和目標免疫

7、。隨機免疫方法就是完全隨機的選取網(wǎng)絡中的節(jié)點進行免疫。但在無標度網(wǎng)絡中使用隨機免疫策略的話，幾乎要對網(wǎng)絡中所有的節(jié)點進行免疫才可能使謠言不得擴散出去。相對隨機免疫的缺陷，目標免疫通過去除網(wǎng)絡中少量度大的節(jié)點的連邊，切斷傳播的途徑來降低謠言的散步范圍就更有實際意義，。雖然目標免疫的效果比較明顯，但是要是想目標免疫能夠發(fā)揮威力就必須知道網(wǎng)絡的全局信息從而選擇目標節(jié)點，而在龐大且復雜的社會網(wǎng)絡中獲取全局信息是難以做到的。熟人免疫策略巧妙的回避

8、了這一點，它從N個節(jié)點中隨機選取一部分節(jié)點，在從每個一個被選出來的節(jié)點中隨機選取一個鄰居節(jié)點進行免疫。但是熟人免疫也存在著局限性，比如隨機選取的節(jié)點可能會擁有部分共同好友，就會導致免疫的重復和浪費，因此，免疫策略的進一步研究離不開對網(wǎng)絡深層次拓撲特征的探索。近年來網(wǎng)絡中重要節(jié)點排序和衡量取得很大的突破，如基于Pagerank的重要節(jié)點算法以及K核算法的提出為網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)的進一步研究打下了堅實的基礎。雖然SIR傳播模型在許多網(wǎng)絡中得到了擴

9、展和研究，也是當前研究的熱點，然而卻不能準確的表達當前在線社交網(wǎng)絡的傳播現(xiàn)實，如謠言傳播過程中的從眾性、傳播意愿的累積性等，因此根據(jù)傳播關(guān)鍵因素建立合理的傳播模型是當前研究的重點。第四章基于SIR改進的SHKR謠言傳播模型4.1問題描述與建模4.1.1問題描述在SNS中，當一個好友發(fā)布了某消息，好友往往就會以一定的概率將此消息傳播出去。若該好友對其內(nèi)容不具有傳播意愿則成為知道謠言但不會傳播的人；若該好友對這則內(nèi)容相信或感興趣則會分享，那