高中數(shù)學(xué)競賽

1、高中數(shù)學(xué)競賽講義（一）高中數(shù)學(xué)競賽講義（一）──集合與簡易邏輯集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識一、基礎(chǔ)知識定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的

2、表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義2子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。

3、定義3交集，定義4并集，定義5補(bǔ)集，若稱為A在I中的補(bǔ)集。定義6差集，。定義7集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則（因?yàn)椋?利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。例2設(shè)A，B是兩個集合，又設(shè)集合M滿足，求集合M（用A，B表示）?！窘狻肯茸C，若，因?yàn)椋?，所?/p>

4、；再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，3分類討論思想的應(yīng)用。例3，若，求【解】依題設(shè)，，再由解得或，因?yàn)?，所以，所以，所以?，所以或3。因?yàn)椋裕?，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4計數(shù)原理的應(yīng)用。例4集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合對（A，B）的個數(shù)；（2）求I的非空真子集的個數(shù)。【解】（1）集合I可劃分為三個不相交的子集；AB，BA，中的每個元素恰屬于其中