推理2.5 縱向溝通 橫向拓寬 激活類比法

1、2.52.5縱向溝通縱向溝通橫向聯(lián)系橫向聯(lián)系激活激活類比法類比法勾股定理是古代文明的一個(gè)重要標(biāo)志，吸引了無(wú)數(shù)仁人志士的探索，因此是證明方法最多的定理，已發(fā)表的有近400種，如我國(guó)古代趙爽，希臘畢達(dá)哥拉斯，意大利達(dá)芬奇，美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德等，他們的證法各具特色.方法大體上是:相似、構(gòu)圖、面積法.那么這條平面幾何中著名的定理是否可以在立體幾何上找到一個(gè)類似的定理呢？首先我們想一想，在空間有什么幾何圖形是非常類似平面上的三角形？你說(shuō)這不是很容易

2、嗎？三角形是邊數(shù)最少的多邊形.多面體中面數(shù)最少是四面體.四面體就可以看成三角形的推廣，應(yīng)該將四面體與三角形類比.再想，四面體中什么與直角三角形類似呢？你看直角三角形頂點(diǎn)張出的角度是直角，我們是否可以考慮一個(gè)四面體，它的一個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)著其他三邊張出的角度都是直角？非常好！你這樣的想法對(duì)頭了.如果還沒(méi)有想到，你可以抬頭看看你前面的墻腳，你想像一個(gè)平面把墻腳的三個(gè)互相垂直的邊一截，就可以得到這個(gè)特殊的四面體了.或者，你可以拿一塊長(zhǎng)方體的橡皮泥，

3、就在它的一角斜切，就可以得到一個(gè)很形象的四面體，不妨叫做“直角四面體”（如圖）.直角三角形在空間類似的形體找到了，再回頭看直角三角形的性質(zhì)“勾股定理”是怎樣的性質(zhì)？是有關(guān)直角三角形邊緣的性質(zhì).如果能推廣這定理到“直角四面體”，這定理也將是關(guān)于它的邊緣的性質(zhì).直角三角形的邊緣是邊長(zhǎng)，而四面體的邊緣是三角形的面積.由勾股定理三條邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系：222cba??，可以猜想四面體的四個(gè)面的面積關(guān)系了.注意，直角三角形只有兩條直角邊，而“直角四面

4、體”有3個(gè)直角三角形的面.再進(jìn)一步想.是2OABS?2OBCS?2OCAS?=2ABCS?嗎？還是3OABS?3OBCS?3OCAS?=3ABCS?？可能吃不準(zhǔn)，不要緊，你可以找實(shí)際的特殊例子來(lái)驗(yàn)算，例如設(shè)OA=3，OB=4，OC=2.好，這下你找到答案了吧，應(yīng)該是2OABS?2OBCS?2OCAS?=2ABCS?.比方法即為降維類比.空間“勾股定理”就是降維類比猜想得到的。例如圖，過(guò)四面體VABC的底面內(nèi)任一點(diǎn)O分別作OA1∥VA，O

5、B1∥VB，OC1∥VC，A1B1C1分別是所作直線與側(cè)面交點(diǎn).求證：為定值.VAOA1VBOB1VCOC1證明:先考慮平面上的類似問(wèn)題：在△ABC中邊AB上任取一點(diǎn)O，作OA1∥AC，交BC于A1，作OB1∥BC，交AC于B1。求證為定值.ACOA1BCOB1事實(shí)上，==1.ACOA1BCOB1ABOBABOA再考慮空間的上述問(wèn)題.如圖，設(shè)平面OA1VABC=M平面OB1VBAC=N，平面??OC1VCAB=L，?則有△MOA1∽△M

6、AV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV，得=.VAOA1VBOB1VCOC1AMOMBNONCLOL在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點(diǎn)O，所以===1.AMOMBNONCLOLABCOBCSS??ABCOACSS??ABCOABSS??ABCABCSS??即證明了為定值1.VAOA1VBOB1VCOC1事實(shí)上，正如波利亞所說(shuō)，平面幾何與立體幾何、三角形與四面體、三角形與棱錐都可以類比：平面幾何立體幾何長(zhǎng)方形的每一邊

7、與另一邊平行，而與其余的邊垂直長(zhǎng)方體的每一面與另一面平行，而與其余的面垂直在平行四邊形中對(duì)角線互相平分在平行六面體中，對(duì)角線相交于同一點(diǎn)，且在這一點(diǎn)互相平分在平行四邊形中，各對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于各邊長(zhǎng)的平方和在平行六面體中，各對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于各棱長(zhǎng)的平方和等腰三角形的一條高通過(guò)底邊的中點(diǎn)正棱錐的高通過(guò)它的底面多邊形的外接圓圓心圓面積=圓周長(zhǎng)與半徑之積的21球體積=球面積與半徑積的31余弦定理：c2=a2b22abcosC異面直線上兩