有限元講義

1、1.4協調、非協調、廣義協調及分電檢驗協調、非協調、廣義協調及分電檢驗1、4、0引以有限元數值分析的技術實現為目的本門課程，不僅要求學生能夠進行實際以有限元數值分析的技術實現為目的本門課程，不僅要求學生能夠進行實際的工程運算；另一方面也需要對解的收斂及精確性有所了解，是能從細節(jié)計算的工程運算；另一方面也需要對解的收斂及精確性有所了解，是能從細節(jié)計算到理論性質都有所把握，這樣，才能做到全面深入有助于對解結果得理論分析，到理論性質都有所把握

2、，這樣，才能做到全面深入有助于對解結果得理論分析，此為基本之目的。此為基本之目的。1、4、1協調、非協調介紹協調、非協調介紹位移法有限元以位移法有限元以Ritz的結構最小有限元為基礎，該原理在數學上是一個泛的結構最小有限元為基礎，該原理在數學上是一個泛函極值（變分）問題，系統勢能可以表為以下數學形式：函極值（變分）問題，系統勢能可以表為以下數學形式：==12(1)???????dT?????dpuT??tTdpu＝0。??表述為：在所有

3、滿足內部連續(xù)性和運動學邊界條件的位移中滿足平衡方程的位表述為：在所有滿足內部連續(xù)性和運動學邊界條件的位移中滿足平衡方程的位移使系統勢能取駐值。如果駐值是極小點的，則平分行是穩(wěn)定階。移使系統勢能取駐值。如果駐值是極小點的，則平分行是穩(wěn)定階。又：對于精確于問題的位移函數，系統勢能的變分可求得關于問題應滿足的所又：對于精確于問題的位移函數，系統勢能的變分可求得關于問題應滿足的所有微分方程：平衡方程邊界條件（幾何關系及物理方程是自然滿足的）有微

4、分方程：平衡方程邊界條件（幾何關系及物理方程是自然滿足的）遺憾的是精確位移難得尋找，故一般采用泛函的極小化序列逼近方法。類似于遺憾的是精確位移難得尋找，故一般采用泛函的極小化序列逼近方法。類似于傅立葉級數逼近函數那樣，把無窮維空間用有限空間去逼近。在有限元當中，傅立葉級數逼近函數那樣，把無窮維空間用有限空間去逼近。在有限元當中，當元素尺寸趨近于當元素尺寸趨近于0時（即節(jié)點數目或節(jié)點自由度數趨于時（即節(jié)點數目或節(jié)點自由度數趨于時）時），最

5、后的解答，最后的解答?若能無限逼近準確解，那么這樣的位移函數（或形狀函數）就稱為收斂的，因若能無限逼近準確解，那么這樣的位移函數（或形狀函數）就稱為收斂的，因此從收斂性及算收斂速度方面提出幾點對形狀函數的要求：此從收斂性及算收斂速度方面提出幾點對形狀函數的要求：①、函數本身及其導數應在元素上連續(xù)，并含有常數部分；、函數本身及其導數應在元素上連續(xù)，并含有常數部分；②、元素之間的位移協調，不僅節(jié)點處的位移應當協調，沿整個內邊界上的位、元素之

6、間的位移協調，不僅節(jié)點處的位移應當協調，沿整個內邊界上的位移也應當協調（或稱相容移也應當協調（或稱相容）。③、多項式的項數越多越好，因用高次比低次多項式收斂快。、多項式的項數越多越好，因用高次比低次多項式收斂快。④、含有剛體位移（平動包含常數項，轉動包含線性項）、含有剛體位移（平動包含常數項，轉動包含線性項）。協調之：協調之：即滿足即滿足①、②條件的形狀函數的元素，當然能滿足條件的形狀函數的元素，當然能滿足3)4)條件協調條件協調元的收

7、斂率就更高。元的收斂率就更高。協調元的性質：協調元的性質：1)能夠以單調趨勢逼近于正確解。如曲線能夠以單調趨勢逼近于正確解。如曲線①.①.2)勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。3)近似剛度近似剛度k偏大，即元素偏偏大，即元素偏“硬”。4)近似的位移偏小，即求得位移的下界。近似的位移偏小，即求得位移的下界。能夠以單調趨勢逼近于正確解。如曲線能夠以單調趨勢逼近于正確解。如曲線②.勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得

8、上界。勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。近似剛度近似剛度k偏大，即元素偏偏大，即元素偏“硬”。近似的位移偏小，即求得位移的下界近似的位移偏小，即求得位移的下界非協調元：在彈性力學中，如板彎曲，相鄰元素不僅要求位移本身連續(xù)，而且非協調元：在彈性力學中，如板彎曲，相鄰元素不僅要求位移本身連續(xù)，而且要求位移的導數連續(xù)（板彎邊界上的相容性）要求位移的導數連續(xù)（板彎邊界上的相容性）。而在工程上能夠保證導數相容的。而在工程上能夠保證導數相容的形變往

9、往難以找到，以致工程上只能采用違反相容原則的一些形狀函數，由違形變往往難以找到，以致工程上只能采用違反相容原則的一些形狀函數，由違min?內力勢能體力勢能面力勢能給點數?①②①②③④邊上，其變化規(guī)律位一條二次拋物線，需要三個點上法向導數的相等條件才能邊上，其變化規(guī)律位一條二次拋物線，需要三個點上法向導數的相等條件才能維一確定，故相鄰兩條曲線一般不全重合。維一確定，故相鄰兩條曲線一般不全重合。故所舉三角板彎元為非協調元。故所舉三角板彎元為

10、非協調元。例②書P的矩形元，由于坐標的交叉雙乘積（不完備）的矩形元，由于坐標的交叉雙乘積（不完備），可發(fā)現不該是，可發(fā)現不該是w或53其導數其導數，都是連續(xù)的，這樣只要節(jié)點的這些參數相同，邊界上的這些是都是連續(xù)的，這樣只要節(jié)點的這些參數相同，邊界上的這些是yx??yw??沒有問題的，但展開沒有問題的，但展開N的項，可以發(fā)現的項，可以發(fā)現xy項，或者說缺少了代表熱率變形項，或者說缺少了代表熱率變形22的一項，因此，作為形狀函數，是不能保證

11、向正確的解答收斂，因而是非協調的一項，因此，作為形狀函數，是不能保證向正確的解答收斂，因而是非協調元。改進方案之一，是在節(jié)點處增加節(jié)點參數元。改進方案之一，是在節(jié)點處增加節(jié)點參數，并采用完全的埃爾米特三，并采用完全的埃爾米特三yxw???2次多項式。次多項式。1、4、2非協調元的排先檢檢驗非協調元的排先檢檢驗協調元雖可以保證總位能從上往下地正確結果單調收斂，但往往過于復雜，使協調元雖可以保證總位能從上往下地正確結果單調收斂，但往往過于復

12、雜，使用麻煩。用麻煩。在工程上往往使用形式簡單的非協調元，自然，最小位能原理對此不再適用，在工程上往往使用形式簡單的非協調元，自然，最小位能原理對此不再適用，那么在什么條件下，這類元素才能導致向正確解收斂呢？那么在什么條件下，這類元素才能導致向正確解收斂呢？Irons提出了一個稱提出了一個稱作“拼片實驗拼片實驗”（patchtest）的檢驗方法。實踐表明，這種檢驗方法是有效的，的檢驗方法。實踐表明，這種檢驗方法是有效的，但“拼片實驗拼片

13、實驗”的理論證明尚不清楚。拼片試驗內容為的理論證明尚不清楚。拼片試驗內容為“假設由若干元素拼成假設由若干元素拼成的一個任意拼片處于等應力狀態(tài)，這時，其位移函數的一個任意拼片處于等應力狀態(tài)，這時，其位移函數w(xy)一般可用一一般可用一m階完全多項式函數完全多項式函數P(xy)表示，表示，（入在薄板問題中，（入在薄板問題中，m=2），而且，在這，而且，在這m一拼片的邊界上，也設置了符合等應變狀態(tài)的位移邊界條件。然后，將需要檢一拼片的邊界上

14、，也設置了符合等應變狀態(tài)的位移邊界條件。然后，將需要檢驗的某種元素按此條件進行計算。如果最后得到的有限元法解答能和驗的某種元素按此條件進行計算。如果最后得到的有限元法解答能和P(xy)m一致，那么，稱這種元素能夠通過拼片試驗，而通過拼片試驗的元素將給出收一致，那么，稱這種元素能夠通過拼片試驗，而通過拼片試驗的元素將給出收斂的結果。注：斂的結果。注：P(xy)至少應能代表各種等應變狀態(tài)。至少應能代表各種等應變狀態(tài)。m如：如：拼片：拼片：9