應(yīng)變的計(jì)算方法

1、應(yīng)變的計(jì)算方法應(yīng)變的計(jì)算方法本章介紹了幾種網(wǎng)格應(yīng)變的計(jì)算方法，通過分析網(wǎng)格變形的特點(diǎn)及規(guī)律，將網(wǎng)格的變形分解為分別沿兩個(gè)主應(yīng)變的方向一次變形而得，從而通過歐拉法推導(dǎo)了有限應(yīng)變解析的方網(wǎng)格應(yīng)變計(jì)算方法，并把三維空間網(wǎng)格的每個(gè)網(wǎng)格作為線性孔斯曲面介紹了三維空間網(wǎng)格的應(yīng)變計(jì)算方法。此外還介紹了工程應(yīng)變、等效應(yīng)變和厚度的計(jì)算。4.2基于歐拉法和有限應(yīng)變理論解析的方網(wǎng)格計(jì)算方法根據(jù)有限應(yīng)變的理論，不同的應(yīng)力加載可以獲得相同的應(yīng)變結(jié)果。對(duì)于近似于平

2、面應(yīng)力狀態(tài)的板材成形來說，每個(gè)單元體的應(yīng)變主方向（除去因?yàn)槲灰圃斐傻霓D(zhuǎn)動(dòng)）在成形過程中保持不變。這樣就可以將應(yīng)變分成不同的加載階段，利用真實(shí)應(yīng)變的可疊加性，就可以推導(dǎo)出方網(wǎng)格變形的應(yīng)變計(jì)算方法。連續(xù)體的有限變形有兩種表述方法。一種方法的相對(duì)位移計(jì)算是以變形前后物體內(nèi)一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，即以變形前的坐標(biāo)作為自變量，這種方法稱為拉格朗日法。另一種方法的相對(duì)位移計(jì)算是以變形后物體內(nèi)一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，以及已變形后的坐標(biāo)作為自變量，這種方法稱為歐拉法[

3、48]。這里給出基于歐拉法和有限應(yīng)變理論解析的方網(wǎng)格計(jì)算原理。4.2.1方網(wǎng)格內(nèi)部的變形設(shè)任意方向正方形網(wǎng)格內(nèi)接于圓網(wǎng)格，將其變形過程分解為兩個(gè)階段，如圖45所示。第一個(gè)階段沿著X方向變形，Y方向保持不變；第二個(gè)階段沿著Y方向變形，X方向保持不變，即應(yīng)變主方向與坐標(biāo)軸相平行。變形的結(jié)果使圓網(wǎng)格變形為橢圓，正方形網(wǎng)格變形為平行四邊形（假設(shè)單元網(wǎng)格內(nèi)沿主應(yīng)變方向的變形是均勻的）(a)初始網(wǎng)格(b)橫向變形后的網(wǎng)格(c)縱向變形后的網(wǎng)格圖45

4、基于有限應(yīng)變的網(wǎng)格分解變形過程4.2.2應(yīng)變主方向和真實(shí)應(yīng)變的計(jì)算對(duì)于方網(wǎng)格中心的應(yīng)變，假設(shè)網(wǎng)格內(nèi)部變形是均勻的，所以變形前后四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)就是網(wǎng)格中心，對(duì)角線把方網(wǎng)格劃分成四個(gè)三角形。將變形后的網(wǎng)格中心和變形前的網(wǎng)格中心重合，建立直角坐標(biāo)系，如圖46所示。圖46以歐拉法建立的變形前后網(wǎng)格中心重合的坐標(biāo)系統(tǒng)根據(jù)歐拉方法，以變形之后的網(wǎng)格坐標(biāo)來分析，將主應(yīng)變方向定為坐標(biāo)方向，設(shè)X方向?yàn)橹鲬?yīng)變的方向，Y方向?yàn)橹鲬?yīng)變的方向，兩個(gè)方向分別有

5、拉形比：(420)4.3其它應(yīng)變4.3.1工程應(yīng)變工程應(yīng)變雖然不具有疊加性質(zhì)，但它比較直觀，在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛。如圖410所示，是材料的原始長度，是材料的伸長量。則工程應(yīng)變?yōu)樯扉L量相對(duì)于原始長度的比值：(427)圖410材料伸長變形真實(shí)應(yīng)變是伸長比（拉形比）的自然對(duì)數(shù)，可以表示為：(428)因此可以由真實(shí)應(yīng)變獲得工程應(yīng)變：(429)工程應(yīng)變值如果為正，可以解釋為伸長率，如果為負(fù)值，則為收縮率，而對(duì)于厚度工程應(yīng)變，則可以解釋為減薄率。對(duì)

6、于拉延成形，材料變薄情況是最需要關(guān)注的，用減薄率來反映材料的變形就非常直觀。相應(yīng)地，真實(shí)應(yīng)變也可以表示為：(430)4.3.2等效應(yīng)變等效應(yīng)變也可以由真實(shí)最大主應(yīng)變和最小主應(yīng)變獲得：(431)4.3.3厚向應(yīng)變由體積不變條件可以得到真實(shí)厚向應(yīng)變：(432)材料的真實(shí)厚度可由真實(shí)應(yīng)變獲得：(433)4.3.4增量應(yīng)變對(duì)于板材成形工序次數(shù)較多的零件，工序之間的應(yīng)變變化也是需要關(guān)注的。從上一次工序到下一道工序之間的變形的增量應(yīng)變的計(jì)算方法和平

7、面應(yīng)變的計(jì)算方法相似。但在這種情況下，網(wǎng)格已經(jīng)發(fā)生了變形，原先變形的網(wǎng)格和再次變形的網(wǎng)格如圖411所示。圖411增量變形前后三角形網(wǎng)格的形狀文獻(xiàn)[49]介紹一種通過坐標(biāo)變換，將變形前后的三角形的某個(gè)邊重合而獲得的增量應(yīng)變?nèi)切喂?jié)點(diǎn)計(jì)算方法：有四個(gè)張量[50][51]：：變形梯度張量：的轉(zhuǎn)置：柯西格林變形張量：拉格朗日應(yīng)變張量變形梯度張量F是從初始三角形的坐標(biāo)到再次變形的三角形的線性變換，有：(434)為了簡化，將初始三角形和變形后的三角