脆性材料的損傷與破裂

1、損傷力學(xué)用于巖石斷裂的研究,損傷力學(xué)的基本概念損傷變量及其確定損傷力學(xué)的分類損傷力學(xué)的研究方法一維損傷理論三維各向同性損傷理論基于細觀力學(xué)的損傷理論損傷結(jié)構(gòu)的有限元分析方法,,,2.2 損傷類型及損傷變量,按照材料變形和狀態(tài)區(qū)分彈性損傷（ Elastic damage )：彈性材料中應(yīng)力作用而導(dǎo)致的損傷。材料發(fā)生損傷后沒有明顯的不可逆變形，又稱為彈脆性損傷；塑性損傷（Plastic damage)：塑性材料中由于應(yīng)力作

2、用而引起的損傷。要產(chǎn)生殘余變形。蠕變損傷（Creep damage)：材料在蠕變過程中產(chǎn)生的損傷，也稱為粘塑性損傷。這類損傷的大小是時間的函數(shù)。疲勞損傷（Fatigue damage）：由應(yīng)力重復(fù)作用而引起的，為其循環(huán)次數(shù)的函數(shù)，往往又與應(yīng)力水平有關(guān)；動態(tài)損傷（Dynamic damage）：在動態(tài)載荷如沖擊載荷作用下，材料內(nèi)部會有大量的微裂紋形成并擴展。這些微裂紋的數(shù)目非常多，但一般得不到很大的擴展（因為載荷時間非常斷，常常是幾

3、個微秒）。但當某一截面上布滿微裂紋時，斷裂就發(fā)生了。,損傷力學(xué)的基本概念和基本原理,根據(jù)不同的損傷變量，如果不考慮損傷的各項異性，損傷變量可以是一個標量；如果考慮到損傷的各項異性，損傷可以是矢量或者張量；損傷是一個能量耗散的不可逆過程，損傷變量是用宏觀變量代表內(nèi)部因損傷或其他因素而發(fā)生的變化，叫做內(nèi)部狀態(tài)變量，簡稱內(nèi)變量；目前，損傷變量的選擇還具有一定的隨意性，在選擇時要注意具有明確的物理意義，還要盡量簡單，便于分析計算和測量。,2

4、.2 損傷類型及損傷變量,損傷力學(xué)的基本概念和基本原理,,,2.2 損傷類型及損傷變量,按照研究方法區(qū)分能量損傷理論（energy damage)由勒梅特(J. Lemaitre)等創(chuàng)立，以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和熱力學(xué)為基礎(chǔ)，將損傷視為能量的轉(zhuǎn)換過程，是不可逆的；由自由能和耗散勢導(dǎo)出損傷的本構(gòu)關(guān)系和損傷演化方程；幾何損傷理論（ geometry damage )由村上澄男(Sumio Murakami)等創(chuàng)立，認為損傷是由于材料種的微

5、缺陷引起的；損傷的大小和演化與材料種微缺陷的尺寸，形狀、密度及其分布有關(guān)；,損傷力學(xué)的基本概念和基本原理,,,2.2 損傷類型及損傷變量,根據(jù)不同的損傷機制，應(yīng)選擇不同的損傷變量。如果不考慮損傷的各向異性，得到變量是一個標量，即在各個方向的損傷變量的數(shù)值都相同，沒有方向性。如果考慮到損傷的各向異性，損傷變量可以是一個矢量或二階張量，甚至在有的研究中用過四階張量的損傷變量。具體的損傷變量的形式要根據(jù)所研究問題的類型及其相應(yīng)的損傷機制去

6、決定?？偠灾?，由于各種物理或化學(xué)的變化，如受載、承受高溫、受到輻射或腐蝕、氧化而造成的各種物理的或化學(xué)變化，如結(jié)構(gòu)改變、相變化、成分變化都屬于損傷的內(nèi)容。只不過在宏觀的角度，人們更多注意的是材料結(jié)構(gòu)的改變（微裂紋、微孔洞等）在宏觀上的表現(xiàn)以及由此造成的材料的力學(xué)性能劣化。,損傷力學(xué)的基本概念和基本原理,,,2.2 損傷類型及損傷變量,盡管在各種材料、各種情況下，損傷的表現(xiàn)形式很多、很復(fù)雜，但它們有一個共同的特點：都是需要耗散能量的不

7、可逆過程。因此，可以利用宏觀不可逆過程熱力學(xué)處理它們。采用宏觀變量代表內(nèi)部因損傷或其他因素而發(fā)生的變化，叫內(nèi)部狀態(tài)變量，簡稱內(nèi)變量。這種內(nèi)變量的選擇具有相當?shù)娜我庑?。在選擇時應(yīng)注意到要使之確實能代表物質(zhì)的內(nèi)部變化，具有明確的力學(xué)意義，還要盡量簡單，便于分析計算、間接測量與試驗。,損傷力學(xué)的基本概念和基本原理,,,2.3 損傷唯象理論的基本方程,這里所介紹的損傷理論主要是應(yīng)用唯象學(xué)方法研究的結(jié)果。作為含損傷（連續(xù)的缺陷場）的連續(xù)介質(zhì)，

8、首先應(yīng)當滿足連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程；同時作為不可逆的耗散的熱力學(xué)過程，又應(yīng)當滿足連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本原理。因此，本節(jié)介紹的損傷力學(xué)基本方程主要是指基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和不可逆熱力學(xué)，含損傷的連續(xù)體應(yīng)該滿足的基本方程。,損傷力學(xué)的研究方法,損傷力學(xué)研究的對象是含有連續(xù)分布缺陷的變形固體，其研究的主要目的是確定損傷連續(xù)場變量的演化規(guī)律。因此，這個決定了損傷力學(xué)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)下的手段和方法；但是由于損傷場的形成實質(zhì)上是材料微細觀結(jié)構(gòu)的變異，要了解

9、損傷的成因及其微結(jié)構(gòu)特征和形態(tài)，又必須用細觀的和材料學(xué)的方法；因此，損傷力學(xué)的研究方法分三類：細觀的方法、宏觀的方法和宏細觀相互結(jié)合的方法；,損傷力學(xué)的研究方法,細觀方法：從細觀或者微觀的角度研究材料的微結(jié)構(gòu)（微裂紋和微孔洞的形態(tài)的變化及其對于宏觀力學(xué)性質(zhì)的影響。研究損傷演化的物理機制對于建立宏觀唯象的力學(xué)模型是十分必要的；掃描電鏡等近代實驗力學(xué)方法的發(fā)展使人們可以從細觀尺度去觀察損傷的物理現(xiàn)象，從而對宏觀損傷進行解釋；目前微細觀結(jié)

10、構(gòu)的變異與宏觀力學(xué)性能之間的相互關(guān)系和解釋仍然是一個難題。但此僅僅使用微觀方法很難解釋宏觀的現(xiàn)象并用于宏觀現(xiàn)象的計算和分析。,損傷力學(xué)的研究方法,宏觀方法：就是從宏觀的現(xiàn)象出發(fā)并模擬宏觀的力學(xué)行為。宏觀唯象學(xué)研究的目的是在材料的本構(gòu)關(guān)系中摻入損傷變量，使得含有損傷變量的本構(gòu)關(guān)系能真實描述受損材料的宏觀力學(xué)性能；唯象學(xué)的方法是從宏觀的現(xiàn)象出發(fā)并模擬宏觀力學(xué)行為來確定參數(shù)，所以得到的方程往往是半理論半經(jīng)驗性的，其研究結(jié)果也較細觀方法更易于

11、對問題的分析，但難以深入探討該損傷的本質(zhì)。目前較為成熟的模型主要是運用宏觀唯象方法研究的結(jié)果；,損傷力學(xué)的研究方法,宏細微觀結(jié)合的方法：損傷的形態(tài)及其演化的過程是發(fā)生在細觀層次上的物理現(xiàn)象，必須用細觀觀測的手段和細觀力學(xué)方法加以研究；而損傷對于材料力學(xué)性能上的影響是細觀的成因在宏觀上的結(jié)果和表現(xiàn)。因此要想從根本上解決問題，就必須運用宏、細觀相結(jié)合的方法研究損傷力學(xué)問題；為了建立損傷材料的宏細微觀結(jié)合的本構(gòu)理論，首先要開展宏、細、微觀

12、并重的實驗研究并在實驗研究中實現(xiàn)宏細觀觀測相互同步。這方面研究的主要特點是: (1) 追蹤固體從變形、損傷、斷裂至破壞的全過程；（2）探討宏細微觀各個層次之間的關(guān)聯(lián)。,第二章 一維損傷力學(xué)理論,在外部因素（包括力、溫度、輻射等）的作用下，材料內(nèi)部將形成大量的微觀缺陷（如微裂紋和微孔洞），這些微缺陷的形成、擴展（或脹大）、匯合將造成材料的逐漸劣化直至破壞。從本質(zhì)上講，這些微缺陷是離散的，但作為一種簡單的近似，在連續(xù)損傷力學(xué)中，所有的微缺

13、陷被連續(xù)化，它們對材料的影響用一個或幾個連續(xù)的內(nèi)部場變量來表示，這種變量稱為損傷變量。1958年，Kachanov提出用連續(xù)度的概念來描述材料的逐漸衰變。從而，材料中復(fù)雜的、離散的衰壞耗散過程得以用一個簡單的連續(xù)變量來模擬。這樣處理，雖然一定程度上犧牲了材料行為模擬的準確性，但卻換來了計算的簡便，更為重要的是，Kachanov損傷理論推動了損傷力學(xué)的建立和發(fā)展，此后眾多的損傷模型的形成都不同程度上借鑒了Kachanov損傷模型的思想。

14、,2.1 一維損傷狀態(tài)的描述,考慮一均勻受拉的直桿（圖2.1），認為材料劣化的主要機制是由于微缺陷導(dǎo)致的有效承載面積的減小。設(shè)其無損狀態(tài)時的橫截面面積為A，損傷后的有效承載面積減小為 ，則連續(xù)度的物理意義為有效承載面積與無損狀態(tài)的橫截面面積之比，即,圖2.1,,（2.1.1）,顯然，連續(xù)度y是一個無量綱的標量場變量， y=1對應(yīng)于完全沒有缺陷的理想材料狀態(tài)，y=0對應(yīng)于完全破壞的沒有任何承載能力的材料狀態(tài)。,將外加荷載F與有效承

15、載面積 之比定義為有效應(yīng)力 ，即,,2.1 一維損傷狀態(tài)的描述,連續(xù)度是單調(diào)減小的，假設(shè)當y達到某一臨界值yc時，材料發(fā)生斷裂，于是材料的破壞條件表示為,,（2.1.3）,Kachonov取 ，但試驗表明對于大部分金屬材料 。,描述損傷。對于完全無損狀態(tài)，w=0；對于完全喪失承載能力的狀態(tài)，w=1 ，由式（2.1.1）和（2.1.4），可得,1963年，著

16、名力學(xué)家Rabotnov同樣在研究金屬的蠕變本構(gòu)方程問題時建議用損傷因子 ，,,（2.1.4）,,（2.1.5）,于是，有效應(yīng)力與損傷因子的關(guān)系為，,,2.1 一維損傷狀態(tài)的描述,應(yīng)變等效假設(shè),損傷材料（D≠0）在有效應(yīng)力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變與同種材料在無損傷（D=0）時發(fā)生的應(yīng)變等效，即損傷材料的任何應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系都可以從無損材料的本構(gòu)關(guān)系導(dǎo)出。只是其中的應(yīng)力用有效應(yīng)力代替。,無損傷材料D = 0e = F(s, …),損傷材料0&l

17、t;D <1e = F(s/(1-D), …),,,Broberg將損傷變量定義為,（2.1.9）,當 與 A 比較接近時，由式（2.1.9）得到的損傷變量與式（2.1.5）近似相等。Broberg定義的優(yōu)點在于加載過程中的損傷是可以疊加的。例如，假設(shè)面積是分兩步減縮的，首先有效承載面積從減縮到 ，然后再減縮為 ，在這兩步中的損傷分別為,于是，總的損傷為，,,,,利用式（2.1.2）和（2.1.9），得，,,

18、（2.1.12）,（2.1.5）,2.1 一維損傷狀態(tài)的描述,對于不可壓縮材料，直桿的拉伸應(yīng)變?yōu)?（2.1.13）,A0和L0為加載前的橫截面面積和長度，A和L為變形后的橫截面面積和長度。于是名義應(yīng)力為,由式（2.1.12）和（2.1.14），得,,,（2.1.12）,（2.1.14）,,2.1 一維損傷狀態(tài)的描述,,,Kachanov損傷模型最初是在分析金屬材料受單向拉伸的蠕變脆性斷裂問題時提出的，這一模型很快得到人們的重視，并得以發(fā)

19、展和應(yīng)用。對于高溫下的金屬，在載荷較大和較小的情況下，其斷裂行為是不同的。當載荷較大時，試件伸長，橫截面面積減小，從而引起應(yīng)力單調(diào)增長，直至材料發(fā)生延性斷裂，對應(yīng)的細觀機制為金屬晶粒中微孔洞長大引起的穿晶斷裂。當載荷較小時，試件的伸長很小，橫截面面積基本上保持常數(shù)，但材料內(nèi)部的晶界上仍然產(chǎn)生微裂紋和微孔洞，其尺寸隨時間長大，最終匯合成宏觀裂紋，導(dǎo)致材料的晶間脆性斷裂。設(shè)試件在加載之前的初始橫截面面積為 ，加載后外觀橫截面面積減小

20、為 ，有效的承載面積為 ，則名義應(yīng)力 ，Cauchy應(yīng)力 、有效應(yīng)力 分別定義為,,,（2.3.1）,,,,,,,,（2.3.2）,（2.3.3）,2.2 一維蠕變損傷理論,,忽略彈性變形，在考慮損傷情況下蠕變律假設(shè)為 式中 為總應(yīng)變， 和 為

21、材料常數(shù)。在無損情況下， ，式（2.3.4）常稱為Norton律。在研究蠕變損傷時，還必須建立損傷的演化方程，即建立損傷演化律 與哪些力學(xué)量相關(guān)聯(lián)的關(guān)系。對于一些簡單的情形，可以假設(shè)演化率方程也具有指數(shù)函數(shù)的形式，,,,,,,（2.3.4）,,,,,（2.3.5）,,,,,式中 和 為材料常數(shù)。設(shè)名義應(yīng)力 保持不變，則由材料的體積不可壓縮條件 ，有效應(yīng)力表示為,(2.

22、3.6),2.2 一維蠕變損傷理論,,無損延性斷裂,不考慮損傷(即 )的情況下，式(2.3.6)簡化為 （2.3.7）代入式(2.3.4)，得,,（2.3.8）,,,,,下面分三種情況討論金屬材料的蠕變斷

23、裂。,,對此式積分，并利用初始條件 ，得延性蠕變斷裂的條件為 ，于是得到延性蠕變斷裂的時間為這個表達式最初是由Hoff于1953年導(dǎo)出的。,（2.3.9）,（2.3.10）,,2.2 一維蠕變損傷理論,代入式(2.3.5)中的損傷演化方程，,,（2.3.12）,,,（2.3.13）,（2.3.14）,對此式積分，并利用初始條件 ，得,設(shè)損傷脆性斷裂的條件為

24、 ，于是得脆性斷裂的時間為,這個表達式是Kachanov于1958年導(dǎo)出的。,,,有損傷無變形的脆性斷裂,不考慮變形(即 )的情況下， ，式(2.3.6)中的有效應(yīng)力簡化為,（2.3.11）,2.2 一維蠕變損傷理論,類似于對數(shù)應(yīng)變的定義,同時考慮損傷和變形,,,（2.3.15）,采用如下形式的損傷定義,式中 為假想的有效承載面積，其定義為,于是式(2.3.

25、6)中的有效應(yīng)力改寫為,,（2.3.16）,,,（2.3.17）,,（2.3.18）,2.2 一維蠕變損傷理論,由式(2.3.4)，(2.3.5)和(2.3.18)，得到如下關(guān)于有效應(yīng)力 的控制方程,由此得到,,（2.3.19）,任意給定加載歷史 ，即可由上式得到有效應(yīng)力的變化過程 。例如，對于如圖2.4所示的Heaviside型加載歷史，在0-1段，有,,,,（2.3.20）,圖2.4 He

26、aviside型加載歷史 及有效應(yīng)力,,,,2.2 一維蠕變損傷理論,此式表明在瞬態(tài)加載的過程中，既沒有蠕變變形，也沒有損傷發(fā)展。在1-2段，式(2.3.1 9)簡化為,,（2.3.21）,對此式積分，并利用初始條件式(2.3.21)，得,,（2.3.22）,,（2.3.23）,由上式及 的條件，得到同時考慮損傷演化和蠕變變形的斷裂時間為,,,（2.2.24）,令 ,即得不考慮

27、損傷的斷裂時間，與式(2.3.1 0)中 的相同。令 ，得到不考慮蠕變變形的斷裂時間,,,,,（2.2.25）,2.2 一維蠕變損傷理論,由于所采用的損傷定義不同，式(2.3.25)與(2.3.14)中的 略有差別。當B>0，C>0時，可以得到斷裂時間的數(shù)值積分結(jié)果，如圖2.5所示。由此圖可以看出，應(yīng)力較大時，可以采用忽略損傷的式（2.3.10）；應(yīng)力較小時，可以采用忽略蠕變變形的

28、式（2.3.25）；在中等應(yīng)力水平時，應(yīng)同時考慮損傷和蠕變變形。此外，Broberg和Hult還對式（2.3.19）進行了修正，考慮了瞬態(tài)加載時引起的應(yīng)變和損傷的瞬間增加。,,圖2.5 三種情況下的蠕變斷裂時間,2.2 一維蠕變損傷理論,蠕變斷裂的兩個階段,在蠕變損傷情況下，如果結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力場是均勻的，損傷也均勻發(fā)展，當損傷達到臨界值時，結(jié)構(gòu)發(fā)生瞬態(tài)斷裂。如果應(yīng)力場不均勻，則結(jié)構(gòu)的斷裂經(jīng)歷兩個階段。第一階段稱為斷裂孕育階段，所經(jīng)歷

29、的時間為 ，結(jié)構(gòu)內(nèi)諸點的損傷因子均小于其斷裂臨界值。在 時刻，結(jié)構(gòu)中某一點(或某一區(qū)域)的損傷達到臨界值而發(fā)生局部斷裂。第二階段稱為斷裂擴展階段， ，彌散的微裂紋匯合成宏觀裂紋，宏觀裂紋在結(jié)構(gòu)中擴展直至結(jié)構(gòu)的完全破壞。 在斷裂擴展階段，結(jié)構(gòu)中存在兩種區(qū)域(圖2．6)，其一是損傷尚未達到臨界值的區(qū)域 ，其二是損傷已經(jīng)達到臨界值的區(qū)域 。前者仍然承受載荷，而后者已完全喪失承

30、載能力。兩個區(qū)域的交界面稱為斷裂前緣 。斷裂前緣 是可動的， 即是 所掃過的區(qū)域。在 上，恒有 ，此處取 ，因此在 上有,,,,,,,,,,,,,,,2.3 一維蠕變損傷結(jié)構(gòu)的承載能力分析,式中 為斷裂前緣沿擴展方向的距離。,,（2.4.1）,,圖2.6 蠕變損傷結(jié)構(gòu)的斷裂,采用式(2.3.5)中的損傷演化方程。對于任意一點 ，其應(yīng)力為 ，將式(2.3.5)

31、改寫為,,,,（2.4.2）,2.4一維蠕變損傷結(jié)構(gòu)的承載能力分析,積分此式并利用初始條件 ，得到,,（2.4.3）,令 ，即得到在時刻，損傷前緣應(yīng)滿足如下的方程,,,（2.4.4）,將式(2.4.3)代入方程(2.4.1)，得到損傷前緣 的運動方程為,（2.4.5）,式中下標 表示在斷裂前緣上取值。,在應(yīng)力均勻的情況下，式(2.4.5)的右端為無窮大．因此，一旦某一點處達到了損傷臨界值，結(jié)構(gòu)將發(fā)生瞬

32、態(tài)斷裂。,2.4一維蠕變損傷結(jié)構(gòu)的承載能力分析,2.5 一維脆塑性損傷模型,脆塑性損傷模型適用于諸如巖石、混凝土、陶瓷、石膏、某些脆性或準脆性金屬材料。這類材料的損傷和變形響應(yīng)相當復(fù)雜，與延性金屬和合金、聚合物等有明顯的差別，表現(xiàn)在脆性材料的明顯的尺寸效應(yīng)、拉壓性質(zhì)的不同、應(yīng)力突然跌落和應(yīng)變軟化、非彈性體積變形和剪脹效應(yīng)、變形的非正交性等多方面。針對這一類材料，Dragon和Mróz早在1979年就提出了一種考慮損傷的三維本

33、構(gòu)模型。此后，脆性材料的損傷問題得到了相當廣泛的研究。,Mazars損傷模型,脆性和準脆性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一般可以分為線彈性、非線性強化、應(yīng)力跌落和應(yīng)變軟化等階段。但不同脆性材料的行為也差別很大，實驗中得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線還與實驗機的剛度、加載方式相關(guān)。將脆性材料的拉伸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系分兩段描述，設(shè)ec 是損傷開始時的應(yīng)變，也是峰值應(yīng)力sc對應(yīng)的應(yīng)變。當e ? ec時，認為材料無損傷即D = 0；當e > ec時，材料有損傷即 D

34、> 0。,,,,,,,,,,,,,,Mazars用如下公式擬合材料的單向拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線,(2.5.1),式中 是線彈性階段的彈性模量， 和 是材料常數(shù)，下標 表示拉伸。,,,,,這里以割線模量 的變化定義損傷 ，表示為,,(2.5.2),于是損傷材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為,(2.5.3),比較式(2.5.1)和(2.5.3)，得到Mazars模型中單拉情況下的損傷演化方程,(2.5.4),由Mazars模型得到的名義應(yīng)

35、力 、有效應(yīng)力 、損傷 隨應(yīng)變 的 變化曲線如圖2.9所示。,,,,,類似地可以建立單向壓縮時的損傷本構(gòu)關(guān)系。單向壓縮時的等效應(yīng)變 為,（2.5.5）,圖 2.9 Mazars模型中名義應(yīng)力、有效應(yīng)力和損傷與應(yīng)變的關(guān)系曲線,對于一般的混凝土，材料常數(shù)取值范圍為 , ,,,,,式中 , , 是主應(yīng)變, ,

36、,角括號定義為,,,,,,,Mazars認為，當 時材料無損傷，當 時材料有損傷。單項壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系擬合為,,,,（2.5.6）,式中壓縮時的材料常數(shù) 和 的變化范圍為 ， 。,,,,,單向壓縮時的損傷方程為,,（2.5.7）,Loland模型,對于混凝土等脆塑性材料，當應(yīng)力接近峰值應(yīng)力時，應(yīng)力應(yīng)變曲線已偏離直線，這意味著應(yīng)力達到最大值以前，材料中已經(jīng)發(fā)生了連

37、續(xù)損傷。于是，Loland將這類材料的損傷分為兩個階段，第一個階段是在應(yīng)力達到峰值應(yīng)力之前，即當應(yīng)變小于峰值應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變 時，在整個材料中發(fā)生分布的微裂紋損傷，第二個階段是當應(yīng)變大于 時，損傷主要發(fā)生在破壞區(qū)內(nèi)。材料的有效應(yīng)力 與應(yīng)變 的關(guān)系表示為,,,,（2.5.8）,式中 是材料斷裂應(yīng)變，即當 時 ， 稱為凈彈性模量，定義為,,,,,,（2.5.9）,式中 為無損的彈性模量， 是加載

38、前的初始損傷值。,,,利用實驗得到的混凝土單拉曲線，經(jīng)擬合得到如下的損傷演化方程,（2.5.10）,式中 ， 和 是材料常數(shù)。由 = 時 ， ，并考慮到,,,,,時 ，得到,,,,式中 。,,由Loland模型得到的名義應(yīng)力 、有效應(yīng)力 、損傷,,,,隨應(yīng)變 的變化曲線如圖2.10所示。,,圖 2.10 Loland模型中名義應(yīng)力、有效應(yīng)力和損傷與應(yīng)變的關(guān)系曲線,分段

39、線性損傷模型,在余天慶提出的分段線性損傷模型中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也被分為兩個階段。當應(yīng)力達到峰值應(yīng)力之前即當 時，認為材料中只有初始損傷，沒有損傷演化，應(yīng)力與應(yīng)變成線彈性關(guān)系，稱為第一階段；當 以后，損傷按分段線性關(guān)系發(fā)展，稱為第二階段。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可用分段線性的折線表示(圖2.11)。當 時，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為,<,,,,>,,,>,,(2.5.11),式中 和 為材料常數(shù)，對于一般的混凝土,

40、 ， 。,,,,,若不考慮初始損傷，即 ，并考慮到當 時 ，得到,,,,（2.5.12）,該模型的特點是物理概念比較清楚，應(yīng)用比較方便。,圖 2.11 分段線性的應(yīng)力應(yīng)變曲線,分段曲線損傷模型,該模型認為在應(yīng)力達到峰值應(yīng)力前后都有損傷演化，并用不同的曲線方程來擬合，分別表示為,（2.5.13）,式中 ， 和 為材料常數(shù)。由邊界條件 ，

41、 ，得到,和 為曲線參數(shù)，取 ， 。由實驗數(shù)據(jù)，得到 ，,=1.7,=1/6,=5,=5/6,由式(2.5.13)得到的損傷隨應(yīng)變的演化曲線如圖2.12(a)所示。由該模型得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖2.12(b)所示，它與Mazars模型很接近。,圖 2.12 分段曲線損傷模型中的應(yīng)力應(yīng)變曲線和損傷演化曲線,此外，錢濟成和周建方還將該模型進一步簡化，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用兩條直線代替(圖2.13

42、(a))，損傷演化方程為(圖2.13(b)),,,,,（2.5.17）,圖 2.13 分段曲線損傷模型的簡化,第三章 三維各向同性損傷理論,在一些韌性較好的金屬材料中，損傷經(jīng)常表現(xiàn)在伴隨著大的塑性變形而發(fā)生的微裂紋和微孔洞的形核和擴展。 可以從細觀力學(xué)的角度分析了韌性損傷的物理機制，這類方法能對損傷的細觀過程和物理背景作出較好的解釋，但是難以直接應(yīng)用于宏觀結(jié)構(gòu)分析。 連續(xù)損傷力學(xué)則從數(shù)學(xué)的角度引入描述損傷的內(nèi)變量——損傷變量，雖

43、然損傷變量也常被賦予一些物理解釋，但是沒有細觀力學(xué)那樣清晰的物理背景，其優(yōu)點是容易引入到結(jié)構(gòu)分析中去，尤其是借助于Kachanov提出的有效應(yīng)力的概念。在韌性金屬材料中，有三類最重要的損傷即塑性損傷、疲勞損傷和蠕變損傷，連續(xù)損傷力學(xué)已經(jīng)較好地應(yīng)用到這三類損傷及其耦合存在的損傷情形。各向同性損傷的假設(shè)對于金屬材料的結(jié)構(gòu)承載能力分析、疲勞和蠕變壽命的預(yù)測一般是可以接受的一種近似。,3.1 Lemaitre-Chaboehe塑性損傷理論,

44、第三章 三維各向同性損傷理論,3.1.1 損傷變量和應(yīng)變等效假設(shè),選取材料的一個代表性體積單元，設(shè)其在垂直于n方向上的總的截面面積為A，由于微缺陷（如微裂紋和微空洞）的存在，導(dǎo)致實際的有效承載面積Ã比A小，即,,式中AD為考慮了應(yīng)力集中和缺陷相互作用之后的缺陷面積(圖3．1)。在各向同性假設(shè)的前提下，損傷變量w不隨截面方向n而變化，即與無關(guān)，可定義為缺陷面積與總面積之比,式中w=0對應(yīng)于無損狀態(tài)，w＝1對應(yīng)于材料的完全斷裂，

45、0<w<1對應(yīng)于不同程度的損傷狀態(tài)。事實上，斷裂時的損傷臨界值wc一般小于l。,（3.1.1）,（3.1.2）,第三章 三維各向同性損傷理論,3.1.1 損傷變量和應(yīng)變等效假設(shè),由于損傷導(dǎo)致有效承載面積的減小，有效應(yīng)力將隨之升高。定義有效應(yīng)力張量為,式中sij為Cauchy應(yīng)力張量。應(yīng)該注意到式(3.1.3)包含了一個假設(shè)，即認為所有缺陷對拉伸和壓縮情況的影響是相同的，這一點限制了該損傷理論僅適用于拉伸情況和壓縮應(yīng)力較小的

46、情況。因為在壓縮情況下，一些微裂紋是閉合的，有效承載面積大于Ã=A-AD 。,,（3.1.3）,在含損傷材料中，要從細觀上對每一種缺陷形式和損傷機制進行分析以確定有效承載面積是很困難的，為了能間接地測定損傷，Lemaitre[3.9]于1971年提出了有重要意義的應(yīng)變等效假設(shè)。這一假設(shè)認為：受損材料的變形行為可以只通過有效應(yīng)力來體現(xiàn)，換言之，損傷材料的本構(gòu)關(guān)系可以采用無損時的形式，只要將其中的應(yīng)力sij替換為有效應(yīng)力 為即

47、可，如圖3．2所示。例如，損傷材料的一維線彈性關(guān)系為:,第三章 三維各向同性損傷理論,3.1.1 損傷變量和應(yīng)變等效假設(shè),（3.1.4）,圖 3.2 應(yīng)變等效假設(shè),式中E為彈性模量，損傷就體現(xiàn)在把無損時的彈性模量減小為損傷后的彈性模量 。,又如損傷材料中考慮應(yīng)變強化的Ramberg-Osgood關(guān)系式為：,,（3.1.5）,式中K和M為材料常數(shù)。,在三維情形，各向同性損傷本構(gòu)方程可以寫為：,第三章 三

48、維各向同性損傷理論,3.1.1 損傷變量和應(yīng)變等效假設(shè),,其中l(wèi)和m為材料在無損傷條件下的Lame系數(shù)，即：,（3.1.6）,根據(jù)本構(gòu)方程（3.1.6），損傷材料的有效Lame系數(shù)可以定義為：,有效泊松比為：,由此說明，在損傷過程中，兩個有效Lame常數(shù)按照相同的規(guī)律隨損傷w變化，泊松比保持不變。這樣的結(jié)論是與實驗事實不符，也與細觀力學(xué)結(jié)果相矛盾。,對上式予以改進，人們提出了兩個獨立彈性常數(shù)的唯象的雙標量損傷變量wl和wm。利用他們，損

49、傷本構(gòu)方程為：,第三章 三維各向同性損傷理論,3.1.1 損傷變量和應(yīng)變等效假設(shè),,（3.1.6）,除了應(yīng)變等效假設(shè)外，等效性假設(shè)還包括應(yīng)力等效假設(shè)與彈性能等效假設(shè)等，它們都可以用于建立損傷本構(gòu)關(guān)系。,損傷力學(xué)是以含內(nèi)變量的連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)為基礎(chǔ)建立起來的。在有損傷情況下，構(gòu)造三維本構(gòu)關(guān)系的一種典型方法是假設(shè)存在能量勢函數(shù)，由它導(dǎo)出動力學(xué)本構(gòu)方程和損傷演化律。根據(jù)確定性原理，材料的狀態(tài)函數(shù)(例如應(yīng)力)將唯一地取決于狀態(tài)變量(例如應(yīng)變、

50、溫度)的變化歷史。材料的力學(xué)和熱學(xué)狀態(tài)參量，如應(yīng)力、應(yīng)變、熵、溫度等，可以分成三類，即可觀察變量、內(nèi)變量和與之功共軛的變量，見表3.1。利用這些變量可以將三維情況下的彈性、塑性、熱效應(yīng)以及損傷模型化。,第三章 三維各向同性損傷理論,3.1.2 熱力學(xué)勢,“背應(yīng)力”是指塑性應(yīng)力屈服曲面的中心所代表的應(yīng)力值累積塑性應(yīng)變p中與各向同性強化對應(yīng)的部分R表示屈服面半徑的增長， Xij表示隨動強化引起的屈服面中心的平移。累積塑性應(yīng)變率,假

51、設(shè)材料的本構(gòu)方程可以由一個狀態(tài)勢函數(shù)導(dǎo)出，選取Helmholtz自由能為：,第三章 三維各向同性損傷理論,3.1.2 熱力學(xué)勢,對于彈塑性材料或彈性粘塑性材料，在中應(yīng)變只通過 起作用，即,Lemaitre在實驗中發(fā)現(xiàn)，許多材料隨著損傷的發(fā)展，彈性模量越來越小，因此認為損傷和材料的彈性相關(guān)，于是把熱力學(xué)勢(比自由能) 分成不耦合的彈性部分 和塑性部分 ，只把損傷引入 中，而在

52、 中不反映損傷，即,,,,,由量綱分析， 應(yīng)是彈性應(yīng)變張量 的二次函數(shù)和 的線性函數(shù)，為：,第三章 三維各向同性損傷理論,3.1.2 熱力學(xué)勢,,式中 為依賴于溫度的4階彈性剛度張量。Lemaitre給出的表達式為：,式中， 和b是描述各向同性強化的參數(shù)， 和 是描述隨動強化的參數(shù)。作為延性損傷的一種近似，假設(shè)質(zhì)量密度r是常數(shù)。于是，由C1ausius—Duhem不等式，損傷材

53、料的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：,,,以及與損傷變量w功共軛的廣義熱力學(xué)力為,即為損傷的不可逆耗散功率。,損傷結(jié)構(gòu)的有限元分析方法,結(jié)構(gòu)損傷過程分析首先是選擇合適的損傷變量，確定其演化方程，然后與結(jié)構(gòu)的平衡、幾何、物理方程一起，構(gòu)成結(jié)構(gòu)損傷定解問題，用有限元方法離散結(jié)構(gòu)，求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變場和損傷場；最后，再根據(jù)損傷的臨界條件，判斷結(jié)構(gòu)的損傷程度和結(jié)構(gòu)的安全工作界限。一般而言，損傷場存在使得損傷結(jié)構(gòu)定解問題的方程數(shù)目增加，考慮到損傷場的存在

54、和它與應(yīng)力場的共同作用，使得損傷結(jié)構(gòu)的有限元分析變?yōu)榉蔷€性問題。因此，在可能的情況下，往往忽略損傷場與應(yīng)力場的相互作用，來減輕耦合計算帶來的困難。主要方法有：全解耦方法和全耦合方法；,全解耦方法,在某些條件下，可以認為損傷對于結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力、應(yīng)變場的影響很小，可以忽略。因此可以首先不考慮損傷，利于無損材料的本構(gòu)關(guān)系、平衡方程求解應(yīng)力場和應(yīng)變場，然后代入損傷演化方程，得到損傷場隨時間或載荷的變化歷史，進而根據(jù)材料的損、斷裂判據(jù)確定承載能力

55、或者壽命。,全解耦方法,全解耦方法比較簡單，由于損傷的增加的計算工作量小。特別是在有限元應(yīng)力分析中不考慮損傷的影響，從而可以和無損結(jié)構(gòu)的計算相同。因此可以借助現(xiàn)有的有限元程序進行分析。得但在結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析中沒有考慮損傷的影響，使其結(jié)構(gòu)偏于保守，不能材料損傷的演化過程。,全耦合方法,實際上，損傷發(fā)展到一定程度時，將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)彈性模量等材料參數(shù)和力學(xué)性能的變化，造成應(yīng)力和應(yīng)變的重分布。因此在計算中計入損傷的影響是非常重要的。,全耦合方法,采用

56、含有耦合的本構(gòu)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上是嚴格的，但是相應(yīng)的工作量也大幅度增加。損傷與變形耦合的特點：一方面，由于損傷的引入，不僅物理方程是非線性的，而且在上述在物理關(guān)系得到的剛度矩陣也是不對稱的，除非認為損傷是各向同性的；另一方面，由于考慮了材料的軟化性能，在結(jié)構(gòu)出現(xiàn)整體失穩(wěn)以前，局部軟化效應(yīng)會造成結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力重分布，使更多的單元加入軟化的行列。在結(jié)構(gòu)達到極限載荷以后，結(jié)構(gòu)的載荷-變形相應(yīng)是非穩(wěn)定的，其極限值的確定和下降路徑的追蹤是結(jié)構(gòu)軟計

57、算的主要問題。,3 石破裂過程分析系統(tǒng)—RFPA,RFPA（Rock Failure Process Analysis）是一個以彈性力學(xué)為應(yīng)力分析工具、以彈性損傷理論及其修正后的Coulomb破壞準則為介質(zhì)變形和破壞分析模塊的巖石破裂過程分析系統(tǒng)。,基本原理,巖石介質(zhì)模型離散化成由細觀基元組成的數(shù)值模型，巖石介質(zhì)在細觀上是各向同性的彈-脆性介質(zhì)；假定離散化后的細觀基元的力學(xué)性質(zhì)服從某種統(tǒng)計分布規(guī)律（本書引入韋伯分布），由此建立細觀與宏

58、觀介質(zhì)力學(xué)性能的聯(lián)系；單元滿足彈性損傷的本構(gòu)關(guān)系，所以，可以按彈性力學(xué)中的線彈性應(yīng)力、應(yīng)變求解方法，分析模型的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)。RFPA利用線彈性有限元方法作為應(yīng)力計算器；,RFPA的特點,連續(xù)的方法解決非連續(xù)問題線性的方法模擬非線性問題復(fù)雜問題簡單化,RFPA的網(wǎng)格劃分,RFPA選取等面積四節(jié)點的四邊形單元剖分計算對象。為了使問題的解答足夠精確，RFPA方法要求模型中的單元能足夠?。ㄏ鄬τ诤暧^介質(zhì)），以能足夠精確地反映介質(zhì)的非均

59、勻性質(zhì)。,RFPA的網(wǎng)格劃分,必須是足夠大（包含一定數(shù)量的礦物和膠結(jié)物顆粒，以及微裂隙、孔洞等細小缺陷），因為作為子系統(tǒng)的單元實際上仍是一個自由度很大的系統(tǒng)，它具有遠大于微觀尺度的細觀尺度。這一要求正是為了保證使剖分后的單元性質(zhì)盡量接近基元性質(zhì)。盡管這樣會增加計算量，但是問題的處理變得簡單，而且隨著計算機技術(shù)的高速發(fā)展，計算能力瓶頸的影響將會被逐漸消除。由于模型中的基元數(shù)量足夠多，宏觀的力學(xué)行為，本質(zhì)上是大量基元力學(xué)行為的集體效應(yīng)。

60、但是每個基元的個體行為對宏觀性能的影響卻是有限的。,分析流程,（1）實體建模和網(wǎng)格剖分（2）應(yīng)力、應(yīng)變分析（3）單元損傷力學(xué)分析,Description of the heterogeneous of Material Properties of Rock,The rock is composed of many elements with same size, and mechanical parameters (such as

61、 strength) of elements is assigned according to Weibull distribution;,u0 : the mean of strengthm: a shape parameter,With increase of m, the distribution becomes more concentrated.,Numerical specimens produced according

62、 to Weibull distribution,The grey degree in the specimen indicates the relative magnitude of strength of elements.The numerical specimens become more homogeneous with the increase of Weibull parameter m.,Elastic damage-

63、based constitutive law of elements,When the inhomogeneity is considered, a lot of fracture process phenomena can be effectively simulated with this constitutive law.,,Mohr-Coulomb criterion is met.,Maximum tensile strain

64、 criterion is met.,,,,,,。,,,。,RMT-150B Servo-controlled Rock Testing Systems and Coal Sample,Experimental Complete Stress-strain curve for rock sample,RFPA code is a appropriate numerical tool for simulating the progress