數(shù)論的發(fā)展及其它學(xué)科

1、數(shù)論與或然數(shù)學(xué)的發(fā)展,7.1數(shù)論,7.1.1素?cái)?shù)分布,費(fèi)馬數(shù)Fn = +1, n = 0,1,2,…n = 0，1，2，3，4時(shí)，F(xiàn)n是素?cái)?shù)。人們進(jìn)而希望解決的問題是：是否存在著無限多個(gè)費(fèi)馬素?cái)?shù)。這也是一個(gè)至今未解決的難題,梅森數(shù)Mp = 2p－1,其中p為素?cái)?shù)已知道的梅森素?cái)?shù)共34個(gè)，其中從p =521開始的素?cái)?shù)Mp是1952年以后用計(jì)算機(jī)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的檢驗(yàn)梅森數(shù)是否為素?cái)?shù)的方法稱為盧卡斯—萊默檢驗(yàn),例如, 用盧卡斯—萊默檢驗(yàn)判斷

2、M5是否為素?cái)?shù)，因M5=25－1=31,于是可作下述計(jì)算：U（0）=4，U（1）=（42－2）（mod31）=14(mod31)=14,U(2)=(142－2)(mod31)=194(mod31)=8,U(3)=(82－2)(mod31)=62(mod31)=0由于U（3）= 0，M5必為素?cái)?shù)。,利用因數(shù)表研究素?cái)?shù),拉恩于(1659年)發(fā)表了2.4萬以內(nèi)的因數(shù)表；佩爾(1668年)擴(kuò)大至10萬；費(fèi)爾克爾(1776年)給出了

3、40.8萬以內(nèi)的一切數(shù)的因數(shù)表, 19世紀(jì)不少學(xué)者算出了1000萬以內(nèi)的所有數(shù)的因數(shù)表,其中布拉格大學(xué)的庫(kù)利克為此花費(fèi)了20年的業(yè)余時(shí)間,素?cái)?shù)定理,若用π（n）表示不超過n的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)n→+時(shí),= +。人們可以發(fā)現(xiàn)：順著自然數(shù)的序列，越往后素?cái)?shù)的“密度” π（n）/ n就變得越小,7.1.2 陳氏定理—數(shù)學(xué)皇冠上的明珠,哥德巴赫猜想(1742年) 每個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和；每個(gè)奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)之和,哥德巴赫猜想的研究進(jìn)展

4、,數(shù)學(xué)家哈代和李特爾伍德(英國(guó),1923年)在廣義黎曼猜想正確的前提下，有條件地證明了每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和以及幾乎所有偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。維諾格拉多夫(1937年),無條件地證明了奇數(shù)哥德巴赫猜想，即每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和布朗(挪威1919年)證明了：每個(gè)大偶數(shù)都是兩個(gè)素因子個(gè)數(shù)均不超過9的整數(shù)之和（記為9 + 9，記號(hào)k + l表示大偶數(shù)分解為不超過k個(gè)奇素?cái)?shù)的積與不超過l個(gè)奇素?cái)?shù)的積之和，下同）布

5、赫夕塔布的4 + 4（1940）、瑞尼的l+c (c為一不確定大數(shù))（1948）和庫(kù)恩的a+b (a+b≤6)(1954);王元的2+3（1957）和潘承洞的1+5（1962），到1965年，歐洲數(shù)學(xué)家邦別里等三人差不多同時(shí)證明了1 + 3；1966年，中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)宣布證明了1+2（1973年發(fā)表詳細(xì)證明）,陳景潤(rùn)（1933~1996）簡(jiǎn)介,圖7.1華羅庚（右）與陳景潤(rùn)（左）,7.1.3費(fèi)馬最后定理,費(fèi)馬猜想：對(duì)每個(gè)正整數(shù)n≥3，

6、方程xn + yn = zn均沒有正整數(shù)解（x, y, z）。費(fèi)馬本人利用無限下降法證明了n=4時(shí)，費(fèi)馬猜想成立。1825年年僅20歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷和年過七旬的法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德各自獨(dú)立地證明了n = 5的情形，1839年法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅證明了n = 7的情形。,歐拉的整數(shù)分解的”定理”：,由a + b形式的數(shù)所形成的數(shù)系（記為,a,b為任意整數(shù)）中，有唯一因子分解定理成立，即每一個(gè)整數(shù)都可唯一地分解為這個(gè)數(shù)系中數(shù)的乘積。后來才

7、知道，對(duì)形如的數(shù)系，唯一因子分解定理并不總是成立的，例如在數(shù)系中，6 = 3×2 =（1+）（1－），就有兩種分解方式。事實(shí)上，能保證唯一因子分解定理成立的數(shù)系只有9種,德國(guó)的數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺?810~1893）利用理想數(shù)的概念，證明了對(duì)于 100以內(nèi)的所有素?cái)?shù)，都能使費(fèi)馬猜想成立。志村－韋伊—谷山猜想——費(fèi)馬猜想的等價(jià)命題懷爾斯的論文“模曲線和費(fèi)馬最后定理” （1994年）——費(fèi)馬猜想終于成為定理，被稱為費(fèi)馬大定理或費(fèi)馬最

8、后定理,7.1.4 讓我們教猜想吧,費(fèi)馬猜想是只“會(huì)下金蛋的鵝”,1966年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者、英國(guó)數(shù)學(xué)家阿蒂亞（1929~）認(rèn)為：“與其它自然科學(xué)的情況一樣，數(shù)學(xué)中的一些發(fā)現(xiàn)也要經(jīng)過幾個(gè)階段才能實(shí)現(xiàn)，而形式證明只是最后一步。最初階段在于鑒別出一些重要的事實(shí)，將它們排列成具體含義的模式，并由此提煉出看起來很有道理的定律或公式。接著，人們用新的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)來檢驗(yàn)這種公式。只是到了此時(shí)，數(shù)學(xué)家們才開始考慮證明問題?！?958年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者、突變理

9、論的創(chuàng)立者、法國(guó)數(shù)學(xué)家托姆用半開玩笑的態(tài)度說：“嚴(yán)格性是一個(gè)拉丁名詞。我們會(huì)想起僵死（rigormorits），即僵化的尸體。我要把數(shù)學(xué)分為以下的三類：第一，以嬰兒搖籃為標(biāo)記。這是‘活的數(shù)學(xué)’允許改變、澄清、完成證明、反對(duì)、反駁。第二，以十字架為標(biāo)記。這是墳?zāi)股系氖旨堋Ｗ髡呗暶魉淹耆珖?yán)格，具有不朽的正確性。這類工作將構(gòu)成‘墳?zāi)箶?shù)學(xué)’。第三，以教堂為標(biāo)記。這是外部的權(quán)威，由高級(jí)教士組成，判斷哪些工作已成為‘墳?zāi)箶?shù)學(xué)’?！?推測(cè)數(shù)學(xué)家的

10、成功范例之一是印度數(shù)學(xué)家拉馬努金（1887~1920）波利亞認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育中，“證明與猜想，這兩類推理即論證的與合情的”都必須教給學(xué)生，“在有些情況下教猜想比教證明更為重要?！币虼耍ɡ麃啅?qiáng)烈的呼吁：“讓我們教猜想吧！”,7.2 概率論,7.2.1 點(diǎn)的問題及數(shù)學(xué)期望概率論源于15世紀(jì)下半葉的博奕問題的研究。點(diǎn)的問題（1654年）,在兩個(gè)技巧相當(dāng)?shù)馁€徒A和B之間進(jìn)行賭博，A獲得2點(diǎn)或2點(diǎn)以上時(shí)為獲勝者，B則需獲得3點(diǎn)或3點(diǎn)

11、以上時(shí)為獲勝者。如果通過四次投骰子后就停止賭博，問此時(shí)如何分配賭金。,帕斯卡的解法,帕斯卡利用自己對(duì)楊輝三角（見第二章）的研究這樣解決這個(gè)問題：如果用表示0出現(xiàn)四次的情況數(shù)，表示0出現(xiàn)三次的情況數(shù)等等。于是上述點(diǎn)問題的解是： （++）：（+）=（1+4+6）：（4+1）=11：5。在一般情況下，若A需要至少m點(diǎn)取勝，B需要至少n點(diǎn)取勝，則可選擇揚(yáng)輝三角的第m+n行，求出該行中的前n個(gè)元素和α與后m個(gè)元素和β，并按α：β之比來分配

12、賭金。,費(fèi)馬的解法,分別用0、1代表A、B在一次投骰子時(shí)成為獲勝者，然后計(jì)算0、1兩種字母在每次取4個(gè)的16種排列：0000 0001 0110 11011000 1100 0101 10110100 1010 0011 01110010 1001 1110 1111在這16種排列中，0至少出現(xiàn)2次的情況有11種，而1至少出現(xiàn)3次的情況有5種。由此費(fèi)馬認(rèn)為，賭金應(yīng)按11：5來分配

13、。,數(shù)學(xué)期望”概念的的產(chǎn)生（荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯，1657年）,賭局開始之前，對(duì)每一個(gè)賭徒來說就已有了關(guān)于結(jié)局的一種“期望”，如果共有N種等可能的結(jié)果，其中，n種結(jié)果使他獲得賭金為a，其余結(jié)果使他獲賭金為b，則他的期望為,7.2.2 概率理論的發(fā)展,,隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象從個(gè)體上看，似乎并沒有什么規(guī)律可言，但當(dāng)它們大量出現(xiàn)的時(shí)候，在總體上就會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律，即大數(shù)規(guī)律。,伯努利大數(shù)定理（1713年）：若p是出現(xiàn)單獨(dú)一次事件的概率

14、，q是不出現(xiàn)該事件的概率，則在n次試驗(yàn)中該事件至少出現(xiàn)m次的概率，等于二項(xiàng)式（p+q）n的展開式中從pn項(xiàng)到包括pmqn-m為止的各項(xiàng)之和,棣莫弗—拉普拉斯定理。又稱為“中心極限定理”拉普拉斯（1812）明確表述了概率論的基本定義和定理。給出了概率的古典定義，廣泛應(yīng)用了分析工具處理概率的問題，將以往零散的研究成果系統(tǒng)化，并將概率論的研究方法從組合技巧發(fā)展到分析方法，使概率論研究進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段。,19世紀(jì)下半葉，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切

15、比雪夫（1821~1894）與他的學(xué)生馬爾可夫（1856~1922）利用極限理論研究概率論，取得了突出的成就。建立了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，使貝努利和泊松的大數(shù)定律成為其特例。切比雪夫還將棣莫弗—拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理?！榜R爾可夫鏈”則是概率論中的重要理論概率論在整個(gè)18與19世紀(jì)成了熱門學(xué)科，,7.2.3 概率論的公理化,貝特朗（法國(guó)，1899年）提出的概率論悖論，將矛頭直指概率論基本概念,20 世紀(jì)初

16、，由勒貝格創(chuàng)立的測(cè)度論和積分論為概率的研究提供了新的手段 柯爾莫戈洛夫（前蘇聯(lián)，1933年）建立概率論的公理化體系,7.3 數(shù)理統(tǒng)計(jì),,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是通過樣本數(shù)據(jù)的分析預(yù)測(cè)整體狀態(tài)的數(shù)學(xué)理論與方法。該分支研究的數(shù)據(jù)帶有隨機(jī)性，因此，它與概率研究有著密切的聯(lián)系數(shù)理統(tǒng)計(jì)則起源于17至18世紀(jì)地質(zhì)與生物進(jìn)化統(tǒng)計(jì)的研究，在20世紀(jì)形成了用數(shù)學(xué)方法研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律的專業(yè)分支，是形成較晚的數(shù)學(xué)分支,英國(guó)數(shù)學(xué)家、生物學(xué)家皮爾遜（1857~1936）,是使

17、用數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)研究生物統(tǒng)計(jì)的第一人。他潛心研究數(shù)據(jù)的分布理論，并先后提出標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)曲線、概率、相關(guān)等一系列數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞和概念。致力于大樣本的研究，在第一次世界大戰(zhàn)期間，皮爾遜還用統(tǒng)計(jì)方法處理過大量的與戰(zhàn)爭(zhēng)有關(guān)的特殊計(jì)算。,英國(guó)數(shù)學(xué)家、化學(xué)家戈塞特（1876~1937）,他在釀酒公司擔(dān)任釀造化學(xué)技師期間，開創(chuàng)小樣本統(tǒng)計(jì)理論， 1908年，提出了t分布函數(shù)、t檢驗(yàn)，此舉成為統(tǒng)計(jì)推斷理論發(fā)展史上的里程碑。,美國(guó)數(shù)學(xué)家弗歇（1890~196

18、2）,他是另一個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的奠基人。他從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)在農(nóng)業(yè)科學(xué)和遺傳學(xué)中應(yīng)用的研究。開創(chuàng)了試驗(yàn)設(shè)計(jì)、方差分析，并確立了統(tǒng)計(jì)推斷的基本方法。20世紀(jì)30—50年代，弗歇成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的中心人物并建立了自己的學(xué)派。他所研究的成果，實(shí)用價(jià)值卻很大。在他的手里，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)脫離生物計(jì)量學(xué)的范圍獲得獨(dú)立。他所提出的z分布由他的學(xué)生改進(jìn)后被稱為F分布（用他的名字Fisher的第一個(gè)字母命名），現(xiàn)在廣泛使用的方差分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、參數(shù)估計(jì),1928年原籍

19、波蘭的美國(guó)數(shù)學(xué)家奈曼（1894~1981）和K·皮爾遜之子E·皮爾遜建立了嚴(yán)格的假設(shè)檢驗(yàn)理論。1946年瑞典數(shù)學(xué)家克拉梅爾出版了《統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法》，這部書收集了半個(gè)多世紀(jì)以來的數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究成果，它標(biāo)志著數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支正式確立。第二次世界大戰(zhàn)中，由于軍事的需要，數(shù)學(xué)家沃爾德（1902~1950）創(chuàng)立了“序貫分析法”，許多數(shù)理分支，如參數(shù)估計(jì)，都受到這種理論的影響而得到發(fā)展。1940年代之后，數(shù)理統(tǒng)計(jì)