天文學(xué)基礎(chǔ)04-行星系統(tǒng)和行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1、天文學(xué)基礎(chǔ)（公共選修課教程）,上海工程技術(shù)大學(xué) 施 韡,§4 行星系統(tǒng)和行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律,1.知道行星系統(tǒng)的物理定義，了解行星運(yùn)動(dòng)空間規(guī)律和視運(yùn)動(dòng)規(guī)律；2.能用行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律指導(dǎo)實(shí)踐觀測(cè)。,重點(diǎn)：學(xué)習(xí)和了解行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以指導(dǎo)實(shí)踐觀測(cè)。難點(diǎn)：行星系統(tǒng)二體問(wèn)題（知道）、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律（了解）、行星視運(yùn)動(dòng)規(guī)律（熟悉）。,§4.1 行星系統(tǒng),一、萬(wàn)有引力,萬(wàn)有引力定律是牛頓于1687年發(fā)表的。這一定律的最大貢獻(xiàn)

2、是把天體運(yùn)行規(guī)律和地面物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律統(tǒng)一起來(lái)了。,1、意義,2、數(shù)學(xué)表達(dá),表示任何兩個(gè)相距為r并具有質(zhì)量m1及m2的質(zhì)點(diǎn)之間必然存在的相互吸引的力F。,G為萬(wàn)有引力常數(shù)，G=6.67259×10-11 m3/kg·s2,天文學(xué)中取天文單位、太陽(yáng)質(zhì)量和日（86400秒）為長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間的單位，則G=k2，k=0.01720209895，名為“高斯常數(shù)”，是天文常數(shù)系統(tǒng)中視作不變的“定義常數(shù)”。,※庫(kù)侖定律：,注意

3、 具有密度分層均勻的同心球?qū)咏Y(jié)構(gòu)的正球體——各向同性的正球體——與質(zhì)量集中于球心的一個(gè)具有嚴(yán)格意義的質(zhì)點(diǎn)等價(jià)。,二、二體問(wèn)題,二體問(wèn)題是假設(shè)只有兩個(gè)天體，不考慮其他天體的干擾，在萬(wàn)有引力作用下如何運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。,1、什么是二體問(wèn)題？,2、二體問(wèn)題的空間示意圖,,,,,,,O,P,Q,x,y,z,·,·,建立任一空間坐標(biāo)系O-xyz，P和Q分別是兩個(gè)天體 是天體P的位置矢量 是天體Q的位置矢量

4、是天體Q相對(duì)于天體P的位置矢量。,※為便于理解可以把天體P看作太陽(yáng)，把天體Q看作行星。,天體P受天體Q的引力：,天體Q受天體P的引力：,根據(jù)牛頓第二定律：,,?,?,?,,?,?,,這是一組聯(lián)立的二階非線(xiàn)性常微分方程，通解是包含6個(gè)相互獨(dú)立的積分常數(shù)的6個(gè)積分。解的結(jié)果表明，行星運(yùn)動(dòng)是沿著圓錐曲線(xiàn)的平面運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于一個(gè)焦點(diǎn)上。,6個(gè)積分常數(shù)決定了軌道的空間位置和某一時(shí)刻行星在軌道上的位置，在天文學(xué)中成為6個(gè)軌道根數(shù)。二體問(wèn)題的微分

5、方程及其積分，完滿(mǎn)地解釋了開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的動(dòng)力學(xué)原因，徹底地解決了只有兩個(gè)天體時(shí)全部的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。,*三、多體問(wèn)題與攝動(dòng)方法簡(jiǎn)介,※兩個(gè)天體在萬(wàn)有引力作用下如何運(yùn)動(dòng)的二體問(wèn)題已經(jīng)獲得十分精確而完滿(mǎn)的解答，但是實(shí)際天體不止兩個(gè)，只要再多出一個(gè)天體，即“三體”問(wèn)題，求解就相當(dāng)困難。,對(duì)于空間直角坐標(biāo)系，n個(gè)天體在相互之間存在的萬(wàn)有引力的作用下，可以列出3n個(gè)二階微分方程組，其通解由6n個(gè)積分組成，共包含6n個(gè)積分常數(shù)，其中有10個(gè)積分總

6、是可以得出的：,n個(gè)天體的質(zhì)量中心運(yùn)動(dòng)定律?3個(gè)積分n個(gè)天體的總動(dòng)量守恒定律?3個(gè)積分n個(gè)天體的總動(dòng)量矩守恒定律?3個(gè)積分n個(gè)天體的總能量守恒定律?1個(gè)積分,*三、多體問(wèn)題與攝動(dòng)方法簡(jiǎn)介,如果再找出余下的6n-10個(gè)積分，n體問(wèn)題就能徹底解決。,1843年，雅克比證明：如果包括10個(gè)初積分在內(nèi)的6n-2個(gè)積分都已找到，則最后兩個(gè)積分就一定能找到。,讓我們來(lái)看一下三體問(wèn)題的微分方程：,,設(shè)有1，2，3三個(gè)天體，質(zhì)量分別為沒(méi)m1, m

7、2, m3；r12 , r23 , r 13分別表示它們相互之間的距離。在空間直角坐標(biāo)系中，用q1i , q2i , q3i , i=1,2,3表示三個(gè)天體對(duì)應(yīng)于x軸（i=1），y軸（i=2），z軸（i=3）的三組坐標(biāo)。,三組共9個(gè)聯(lián)立的二階非線(xiàn)性常微分方程，通解是包含18個(gè)相互獨(dú)立的積分常數(shù)的18個(gè)積分。,*三、多體問(wèn)題與攝動(dòng)方法簡(jiǎn)介,除10個(gè)初積分外，還剩8個(gè)積分，按雅克比定理，只要找出其中6個(gè)積分，三體問(wèn)題就徹底解決，但不幸的是，

8、直到現(xiàn)在一個(gè)也沒(méi)有找到。,1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯提出了23個(gè)數(shù)學(xué)難題，另外還舉了兩個(gè)大難題，即費(fèi)馬大定理和三體問(wèn)題,（1994年費(fèi)馬大定理被美國(guó)的懷爾斯徹底解決）,19世紀(jì)末，龐加萊等證明，找到三體問(wèn)題的全部代數(shù)函數(shù)形式的解是不可能的，于是數(shù)學(xué)家和力學(xué)家轉(zhuǎn)而尋找級(jí)數(shù)形式的解。,1912年，芬蘭數(shù)學(xué)家松德曼找到了附加限制條件的冪級(jí)數(shù)解，但是這些級(jí)數(shù)收斂得非常慢，以至于沒(méi)有使用價(jià)值。,如要獲得三體問(wèn)題的一個(gè)位置數(shù)據(jù)，級(jí)數(shù)至少要取

9、108000項(xiàng)！,為了計(jì)算行星軌道和預(yù)知天體的位置，人們探求有效的近似求解的方法，提出了攝動(dòng)理論。,攝動(dòng)是指在二體問(wèn)題中天體沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，因受到其他天體的影響而偏離原來(lái)的軌道。,四、攝動(dòng)力、潮汐現(xiàn)象和洛希極限,如圖，M是中心天體，m是作軌道運(yùn)動(dòng)的天體，m′是攝動(dòng)天體，M、m、m′分別是他們的質(zhì)量。r、r′、p表示兩兩之間的距離。,1、攝動(dòng)力,,,,,,,M,m,m′,r′,r,p,-g1,g2,-g2,g1,g3,g0,g,g2,g′,

10、,,,,,,,,,,-g2,根據(jù)萬(wàn)有引力，M對(duì)m的力產(chǎn)生m的運(yùn)動(dòng)加速度,m′的存在使M產(chǎn)生加速度,m也使M產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)加速度,這兩個(gè)加速度相反。,使m產(chǎn)生加速度,g2的作用相當(dāng)于使m產(chǎn)生了相對(duì)于M的加速度-g2 ，于是m′的存在形成和了g3和-g2的合成加速度g′,g′相應(yīng)的作用力就是攝動(dòng)力,,,g3,在日、地、月三體問(wèn)題中，地球是中心天體，月球是繞地球作軌道運(yùn)動(dòng)的天體，而太陽(yáng)是攝動(dòng)天體。設(shè)r和R分別為月球和太陽(yáng)到地球的距離。在朔時(shí)，太陽(yáng)

11、使月球產(chǎn)生的引力加速度g3=k2M/(R-r)2（M為太陽(yáng)質(zhì)量），太陽(yáng)使地球產(chǎn)生的引力加速度g2=k2M/R2，則g′= g3 -g3 =k2M(2Rr-r2)/R2(R-r)2，若忽略r，可得到近似結(jié)果： g′=2 k2rM/R3 。同理，在望時(shí)， g3=k2M/(R+r)2 ， g2=k2M/R2， g′=-2 k2rM/R3 。這兩個(gè)結(jié)果都表明太陽(yáng)的攝動(dòng)影響使月球偏向地球的反方向，即遠(yuǎn)離地球。單純從萬(wàn)有引力公式計(jì)算，太陽(yáng)對(duì)月球的

12、引力比地球?qū)υ虑虻囊Υ笠槐抖啵捎谠虑蚶@地公轉(zhuǎn)，太陽(yáng)的引力只起攝動(dòng)作用，而攝動(dòng)力的大小與距離的立方成反比，所以決定月球運(yùn)動(dòng)的主力不是來(lái)自太陽(yáng)而是地球。太陽(yáng)對(duì)月球的攝動(dòng)力比地球?qū)υ虑虻囊π?0倍，但這一攝動(dòng)力在太陽(yáng)系內(nèi)仍是相對(duì)較大的。因此月球繞地公轉(zhuǎn)比單純的橢圓運(yùn)動(dòng)要復(fù)雜得多，精確確定月球的位置通常要考慮好幾百項(xiàng)因素。,※日、地、月三體問(wèn)題中需要注意的地方,2、潮汐現(xiàn)象,由于地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)和月球的運(yùn)動(dòng)，海洋各處輪流處于A或B的位置

13、，造成海水有漲有落的潮汐現(xiàn)象。,A相對(duì)于O而言的加速度為：,B相對(duì)于O而言的加速度為：,起源于月亮、太陽(yáng)或其它天體的引力而造成潮汐現(xiàn)象的力稱(chēng)為引潮力或起潮力。其數(shù)值與引力來(lái)源天體的質(zhì)量成正比，與兩天體間的距離的立方成反比。,2、洛希極限,式中，R為行星半徑，?為衛(wèi)星密度， ?′為行星密度。系數(shù)2.45539是假定衛(wèi)星質(zhì)量同行星質(zhì)量之比可以忽略時(shí)洛希給出的值。如果這一比值?不能忽略，系數(shù)應(yīng)有變化，達(dá)爾文給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：,19世紀(jì)法國(guó)

14、天文學(xué)家洛希在研究衛(wèi)星形狀理論中提出一個(gè)使衛(wèi)星解體的極限數(shù)據(jù)，稱(chēng)為洛希極限。,當(dāng)衛(wèi)星（流體團(tuán)）與行星的距離小于洛希極限，說(shuō)明引潮力超過(guò)極限，那么衛(wèi)星將會(huì)解體分散。,§4.2 行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律,一、軌道,二體問(wèn)題的行星運(yùn)動(dòng)軌道是圓錐曲線(xiàn)，包括橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)三種類(lèi)型。決定軌道在空間的位置和行星在軌道上的位置依賴(lài)于6個(gè)常數(shù)，稱(chēng)為軌道根數(shù)。（以下以橢圓軌道為例）,i 是行星軌道面對(duì)黃道面的傾角，?是軌道面與黃道面交線(xiàn)與x軸方向的夾

15、角。這兩個(gè)根數(shù)決定了軌道平面的空間位置。,? 是軌道長(zhǎng)軸上近日點(diǎn)方向與軌道交線(xiàn)的夾角，它決定了橢圓長(zhǎng)軸的方向。,半長(zhǎng)徑a和偏心率e決定了橢圓的大小和扁平的程度。,以上根數(shù)決定了行星在空間的實(shí)際軌道，最后一個(gè)根數(shù)?決定行星在軌道上何時(shí)處于何處。,二、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律,開(kāi)普勒(1571.12.27~1630.11.15)是德國(guó)人，嘔心瀝血地畢生從事行星運(yùn)動(dòng)的研究，于1609年發(fā)表第一、第二定律，1619年發(fā)表第三定律。開(kāi)普勒糾正了哥白尼認(rèn)

16、為行星在以太陽(yáng)為中心的圓軌道上勻速運(yùn)動(dòng)的錯(cuò)誤，精確地描述了行星運(yùn)動(dòng)的軌道及行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。,1、開(kāi)普勒,開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律是萬(wàn)有引力的必然結(jié)果，但其發(fā)表卻領(lǐng)先萬(wàn)有引力定律80年，對(duì)天文學(xué)作出了卓越的貢獻(xiàn)。,2、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律,第一定律 行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。,第二定律 以太陽(yáng)為坐標(biāo)原點(diǎn)的行星向徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。,2、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律,第三定律 不同行星在其軌

17、道上公轉(zhuǎn)周期T的平方與軌道半長(zhǎng)徑a的立方成正比。即：,或者,2、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律,開(kāi)普勒第一、第二定律是嚴(yán)格正確的，第三定律忽略了不同行星之間的質(zhì)量差別，所以是有偏差的。嚴(yán)格的第三定律應(yīng)為：,或者，對(duì)于太陽(yáng)系所有行星,3、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的推論,第二定律?行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的速度是不均勻的，且在近日點(diǎn)附近要比遠(yuǎn)日點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)得快。,第三定律?行星離太陽(yáng)越遠(yuǎn)，公轉(zhuǎn)周期越長(zhǎng)，且軌道半長(zhǎng)徑與周期之間有確切的數(shù)量關(guān)系。,第三定律?離太陽(yáng)越遠(yuǎn)

18、的行星，公轉(zhuǎn)角速度越小，公轉(zhuǎn)線(xiàn)速度也越小。,第三定律?可以計(jì)算太陽(yáng)質(zhì)量和有衛(wèi)星繞轉(zhuǎn)的大行星的質(zhì)量,三、太陽(yáng)系行星運(yùn)動(dòng)基本特征,1、行星軌道三大基本特征,近圓性,,,軌道的偏心率都比較小，使得軌道接近于圓形，偏心率最大的是冥王星（0.2482）和水星（0.2056）,同向性,公轉(zhuǎn)方向都是自西向東，無(wú)一例外。,共面性,行星的軌道基本都在一個(gè)平面上，即黃道面。軌道傾角最大：冥王星（17°）、水星（7 °）,2、提丟斯—波得

19、定則,1766年，德國(guó)的一位中學(xué)教師提丟斯在《自然的探索》德文版中首次提出了后來(lái)被稱(chēng)為“提丟斯—波得”定則的見(jiàn)解，不過(guò)并未做出任何解釋。,1772年，德國(guó)天文學(xué)家波得在《星空研究指南》一書(shū)中研究并引用了提丟斯的見(jiàn)解，也未做說(shuō)明。,提丟斯—波得定則給出的數(shù)值,各行星與太陽(yáng)平均距離的數(shù)值（AU）,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,0.387（水星）,0.723（金星）,1.000（地球）,1.524（火星）,？,5.

20、203（木星）,9.555（土星）,19.6,38.8,77.2,19.191（天王星）,30.061（海王星）,39.530（冥王星）,四、行星視運(yùn)動(dòng)規(guī)律,1、（地）內(nèi)行星,上合時(shí)肯定無(wú)法觀測(cè)內(nèi)行星 ；下合的位置上只有當(dāng)凌日時(shí)才能觀測(cè)，通常看不到；觀測(cè)內(nèi)行星的最佳時(shí)機(jī)就是大距。,東大距時(shí)的內(nèi)行星在黃昏日落后不久在西方低空。西大距時(shí)的內(nèi)行星在黎明日出前不久在東方低空。,2、（地）外行星,合（?）時(shí)肯定無(wú)法觀測(cè)內(nèi)行星； 東方照位置上的外行

21、星，將在日落時(shí)出現(xiàn)在頭頂；西方照時(shí)的外行星，日出時(shí)出現(xiàn)在頭頂；觀測(cè)內(nèi)行星的最佳時(shí)機(jī)就是沖（?） 。,兩次發(fā)生同一位形的時(shí)間間隔叫做行星的會(huì)合周期，記作S。,其中T為地外（內(nèi)）行星的公轉(zhuǎn)周期，E為地球的公轉(zhuǎn)周期，叫恒星年=365.2564日。,在一個(gè)會(huì)合周期里，行星視運(yùn)動(dòng)情況如下：,上 合,東大距,留,下 合,留,上 合,,看不見(jiàn),昏星,看不見(jiàn),晨星,看不見(jiàn),,,,,,,,,,,,西大距,,,,,順行,逆行,順行,,,,,合,西方照