用能觀標準型實現(xiàn)；反之，用能控。例求如下傳遞函數-青島理工大學

1、現(xiàn)代控制理論,青島理工大學自動化工程學院,2015-09-24,,3.7 能控標準型和能觀標準型,狀態(tài)變量的非唯一性導致了系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的非唯一性。,若在狀態(tài)空間的一組特定基底下，系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有某種特定形式，則稱這種形式的狀態(tài)空間模型為標準型（規(guī)范型）。,如約當標準型，是以系統(tǒng)的特征向量為狀態(tài)空間基底所導出的標準型，它便于求解狀態(tài)轉移矩陣、判斷可控性和可觀性。,SISO系統(tǒng)，變換為:便于狀態(tài)反饋設計的能控標準型I/II；

2、便于狀態(tài)觀測器設計的能觀標準型I/II。,一、單輸入系統(tǒng)的能控標準型,1：能控標準I型,若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中， 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數，則稱該狀態(tài)空間模型為能控標準I型。,1) 能控標準型一定是能控的？ 尋找判據2）一定存在線性變換將狀態(tài)能控的狀態(tài)空間模型化為能控標準型？ 構造轉換矩陣,兩個問題：,能控標準型一定是能控的？,秩判據,故系統(tǒng)能控。,線性變

3、換不改變能控性，只有狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)才能轉化為能控標準型。,能控標準I型的轉化方法,取,有：,凱萊—哈密頓定理：,能控標準I型直接寫出傳遞函數,例 寫出以下傳遞函數的能控標準I型。,解：,無零極點相約，故能控且能觀測?？梢曰癁槟芸貥藴市?。,所以：,能控標準I型為：,例,2：能控標準II型,若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中， 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數，則稱該狀態(tài)空間模型為能控標準II型。,

4、能控標準型一定是能控的,秩判據,故系統(tǒng)能控。,能控標準型II的轉化方法,取,能控標準型與能觀標準型是對偶系統(tǒng)，能觀標準型的討論可以借助能控標準型來進行，所以能控標準型的2條結論都適用于能觀標準型。,二、單輸出系統(tǒng)的能觀標準型,①若系統(tǒng)的動態(tài)方程具有能觀標準形式，則系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全能觀的。,變換的步驟也可借用對偶系統(tǒng)化為能控標準型的步驟。,②若系統(tǒng)能觀，則它的動態(tài)方程一定能通過非奇異變換化為能觀標準形式。,1：能觀標準I型,若SISO

5、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中， 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數，則稱該狀態(tài)空間模型為能觀標準I型。,能觀 I與能控 II互為對偶,,對偶,,,,,,,2：能觀標準II型,若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中， 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數，則稱該狀態(tài)空間模型為能觀標準II型。,能觀 II與能控 I互為對偶,由對偶性原理，類似于I型中的分析，有：,

6、,對偶,,,,,,,能控能觀標準型的優(yōu)點是以明顯形式直接和系統(tǒng)特征多項式系數聯(lián)系起來。這有利于我們討論系統(tǒng)的綜合問題。,,能觀標準II型直接寫出傳遞函數,例 寫出以下傳遞函數的能觀標準II型。,解：,無零極點相約，故能控且能觀測?？梢曰癁槟苡^標準型。,所以：,能觀標準II型為：,3.8 系統(tǒng)的結構分解,結構分解的意義,,,,,,,狀態(tài)不完全能控的系統(tǒng)：1）哪部分狀態(tài)能控，哪部分狀態(tài)不能控；2）是否存在線形變換將能控狀態(tài)和不能控狀

7、態(tài)區(qū)別開來。,狀態(tài)不完全能觀的系統(tǒng)：1）哪部分狀態(tài)能觀，哪部分狀態(tài)不能觀；2）是否存在線形變換將能觀狀態(tài)和不能觀狀態(tài)區(qū)別開來。,不能控系統(tǒng),,,能控的狀態(tài)變量,不能控的狀態(tài)變量,,,能控子系統(tǒng),不能控子系統(tǒng),,,,,,,,1. 按能控性分解,2. 按能觀性分解,明顯表示出系統(tǒng)的內部結構特性,深刻反映系統(tǒng)的傳遞特性,3. 按能控能觀性分解,一、按能控性分解,如果線性定常系統(tǒng)： 是狀態(tài)不完全能

8、控的，它的能控性判別矩陣的秩,則存在非奇異變換：,將狀態(tài)空間描述變換為：,其中：,非奇異變換陣：前n1列為能控性矩陣中n1個線性無關的列，其余列在保證Rc非奇異下任選。,能控性分解示意圖：,其中 是n1維能控部分：,其中 是n-n1維不能控部分：,u不能直接控制 ，而 未來信息中又不含 的信息。,,能控部分,不能控部分,證明：變換矩陣

9、,1). 不唯一，變換后兩個子系統(tǒng)的階次唯一，但狀態(tài)空間表達式可能不同。,,,2). 系統(tǒng)的極點集合是由能控子系統(tǒng)的極點集合和不能控子系統(tǒng)的極點集合 組成。,注：,3). 狀態(tài)不完全能控的系統(tǒng)的傳遞函數矩陣等于其能控子系統(tǒng)的傳遞函數矩陣。,,,,不能控子系統(tǒng),能控子系統(tǒng),,（3）分解系統(tǒng),二、按能觀性分解,如果線性定常系統(tǒng)： 是狀態(tài)不完全能觀的，,它的

10、能觀性判別矩陣的秩：,則存在非奇異變換：,將狀態(tài)空間描述變換為：,其中：,,,,,,,,,,,,,,,,非奇異變換陣：前n1列為能觀性矩陣中n1個線性無關的行，其余行在保證Ro非奇異下任選。,能觀性分解示意圖：,,能觀部分,不能觀部分,其中 是n1維能觀測部分：,其中 是n-n1維不能觀測部分：,對y沒有直接影響，而 中又不含 的信息。,關于

11、按能控性分解的注解也適合按能觀性分解,即,2). 系統(tǒng)的極點集合是由能觀子系統(tǒng)的極點集合和不能觀子系統(tǒng)的極點集合組成。,1). 不唯一，變換后兩個子系統(tǒng)的階次唯一，但狀態(tài)空間表達式可能不同。,3). 狀態(tài)不完全能觀的系統(tǒng)的傳遞函數矩陣等于其能觀子系統(tǒng)的傳遞函數矩陣。,三、按能控能觀性分解,方法一: Step 1°.按能控（能觀）分解為兩個系統(tǒng) Step 2°.對兩個子系統(tǒng)分別按能

12、觀（能控）分解,經過上述分解（三次線性變換）后，得到系統(tǒng)的規(guī)范分解表達式：,系統(tǒng)的極點集合由4個子系統(tǒng)的極點集合組成，它們分別是 的特征值。,從上述方塊圖可以清楚看出，系統(tǒng)的輸入至輸出的唯一傳遞路線是：,因此，系統(tǒng)的傳遞關系（傳遞函數矩陣）為：,即系統(tǒng)的傳遞函數（矩陣）只表示了既能控又能觀子系統(tǒng)的輸入－輸出關系，是系統(tǒng)的一種不完全描述，系統(tǒng)的不可控或者不可觀部分不會出現(xiàn)在傳

13、遞函數中。,方法二: Step 1°：求系統(tǒng)的約當標準型， Step2°：根據能控能觀的標準型判據，調整各狀態(tài)變量 的位置。,,,,,,,,,,,,,,,,,3.9 傳遞函數的實現(xiàn)問題和零極點對消,一、實現(xiàn)問題,真有理實矩陣：,系統(tǒng)實現(xiàn)的特性：,實現(xiàn)的存在性：對于任意的傳遞函數，只要滿足物理上可實現(xiàn)的條件（真有理實矩），則一定

14、能找到其實現(xiàn)。,實現(xiàn)的非唯一性：狀態(tài)變量非唯一。,二、能控、能觀標準型實現(xiàn),由傳遞函數建立的狀態(tài)空間實現(xiàn)為能控、能觀標準型。,傳遞函數直接寫出能控標準I型、能觀標準II型,單輸入單輸出系統(tǒng),傳遞函數到能觀標準I型、能控標準II型（P29）,多輸入多輸出系統(tǒng),能控標準型實現(xiàn),能觀標準型實現(xiàn),兩種實現(xiàn)維數不同,,維數是否最小,結構是否最簡單,三、最小實現(xiàn),定義：設 為傳遞函數陣G(s)的一個實現(xiàn)，如果其狀態(tài)向量的維數為所有實現(xiàn)最

15、小維數，則稱之最小實現(xiàn)。,意義：一般情形下，維數越小，越便于系統(tǒng)的分析、設計和綜合；在保持系統(tǒng)性能的前提下，最小實現(xiàn)使得系統(tǒng)具有最簡單的結構，成本低。,最小實現(xiàn)的求解：Step1： 給出G(s)一個能控實現(xiàn)∑Step2： 檢查∑的能觀性。Step3：若其不能觀，按能觀性分解，得到其既能控，又能 觀的子系統(tǒng)，即最小實現(xiàn)。,,判斷準則：,最小實現(xiàn)的求解：Step1： 給出G(s)一個能觀實現(xiàn)∑Step

16、2： 檢查∑的能控性。Step3：若其不能控，按能控性分解，得到其既能觀，又能 控的子系統(tǒng)，即最小實現(xiàn)。,輸入變量比輸出變量多時，用能觀標準型實現(xiàn)；反之，用能控。,例 求如下傳遞函數矩陣的最小實現(xiàn),解：,為嚴格真的實有理矩陣，,有：,1）采用能控標準I型實現(xiàn),由秩判據可知，,該實現(xiàn)不能觀，不為最小實現(xiàn)，對其進行能觀性分解求最小實現(xiàn)。能觀性分解后得能觀子系統(tǒng)，即最小實現(xiàn)為：,2）采用能觀標準II型實現(xiàn),由秩

17、判據可知，,該實現(xiàn)能控，為最小實現(xiàn)。,,,再來看一下式子：,等式左邊的分母多項式為n 次，右邊的分母多項式為 l 次。,等式成立的唯一可能是等式左邊式子存在零、極點相消。,可見系統(tǒng)的能控、能觀性與傳遞函數是否存在零、極點相消現(xiàn)象有必然聯(lián)系。,四、傳遞函數零極點對消與能控能觀的關系,線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)完全能控、能觀的充要條件是傳遞函數 無零、極點相消。,單輸入單輸出系統(tǒng),,系統(tǒng)狀態(tài)完全能

18、控、能觀系統(tǒng)的最小實現(xiàn)（維數對應于傳遞函數無零、極點相消）,反之，傳遞函數出現(xiàn)零、極點相消現(xiàn)象，無法確定統(tǒng)是不能控的，還是不能觀的，還是既不能控又不能觀的。,傳遞函數的分子、分母有相同因子（s-1）,所以系統(tǒng)應為不完全能控能觀的。,顯然實現(xiàn)1能控不能觀，實現(xiàn)2不能控能觀，實現(xiàn)3不能控不能觀。,單輸入線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是由控制到狀態(tài)的傳遞關系 無零、極點相消。,單輸出線性定常系