基于偏微分方程的圖像分割算法研究論文+附錄

1、<p><b>　　摘要</b></p><p>　　圖像分割是圖像處理中極為關(guān)鍵的一步．圖像分割的目的是將圖像中我們感興趣的部分從整幅圖像中分離出來，因此分割能力的好壞直接影響了了之后的圖像處理效果．自2001年C-V模型被提出以來，基于偏微分方程的圖像分割算法開始得以推廣．而這也是本文重點(diǎn)研究的方向．</p><p>　　在本論文中，我們首先對傳統(tǒng)的圖像

2、分割方法進(jìn)行了簡單的闡述并描述了基于偏微分方程的圖像分割算法的發(fā)展情況．然后重點(diǎn)分析了基于偏微分方程的圖像分割算法的基礎(chǔ)理論，介紹了在以Kass等人提出的活動(dòng)輪廓模型的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生的兩個(gè)基于區(qū)域的幾何活動(dòng)輪廓模型：C-V模型和LBF模型，并解釋其工作原理．</p><p>　　C-V模型是全局模型，但只能處理二值圖像，因此噪音對它的影響極大．LBF模型是C-V模型的改進(jìn)型，它是局部幾何活動(dòng)輪廓模型，將整塊圖像先分

3、割成無數(shù)小塊，通過偏微分方程的計(jì)算每個(gè)小塊得出的值，然后將其相加，它能處理多灰度值的圖像包括帶噪聲的圖像．</p><p>　　本文在理論研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用Matlab對涉及到的算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)．通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果來驗(yàn)證本文的各中方法的圖像分割效果．</p><p>　　關(guān)鍵詞：偏微分方程；圖像分割；C-V模型；水平集方法；LBF模型</p><p><b>　

4、　Abstract</b></p><p>　　Image segmentation is a very important step in image processing. The goal of image segmentation is to segment the target image from the original image, so image segmentation abil

5、ity directly affects the quality of the image processing results. Since the C-V model was proposed in 2001, the image segmentation algorithm based on partial differential equations has been popularized, which is the key

6、research direction of this thesis. </p><p>　　In the paper, we first briefly describe the traditional image segmentation methods and describe the development of image segmentation algorithm based on partial d

7、ifferential equations. And then we analyze the basis theory of image segmentation algorithm based on partial differential equation. Based on the active contour model proposed by Kass et al, the two geometric active conto

8、ur models based on region are introduced: the C-V model and the LBF model and explain its working principle..</p><p>　　C-V model is a global model, but it can only deal with the two value image. Therefore, t

9、he noise has a great influence on it. The LBF model is an improved C-V model, which is a local geometric active contour model. It divide the entire image into numerous small pieces, through the partial differential equat

10、ions to calculate the value of each small piece, and then add it. It can handle multiple gray values of the image and noising image.</p><p>　　Based on the theoretical study, we use Matlab to complete the sim

11、ulation experiments for the involved algorithms. The image segmentation effects in this paper are illustrated by the experiment results.</p><p>　　Keywords: partial differential equation; image segmentation;

12、 C-V model; level set method; LBF model</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 緒論1</b></p

13、><p>　　1.1 研究背景及意義1</p><p>　　1.2 圖像分割技術(shù)的研究現(xiàn)狀1</p><p>　　2 傳統(tǒng)圖像分割方法2</p><p>　　2.1 閾值分割方法2</p><p>　　2.2 邊緣檢測方法4</p><p>　　2.3 區(qū)域分割法5</

14、p><p>　　2.3.1 區(qū)域生長5</p><p>　　2.3.2 區(qū)域分裂——合并6</p><p>　　2.4 形態(tài)學(xué)分水嶺法7</p><p>　　2.5 圖像分割中的偏微分方程方法9</p><p>　　3 基于偏微分方程的圖像分割9</p><p>　　3.1 偏

15、微分方程的引入9</p><p>　　3.2 曲線演化理論10</p><p>　　3.3 水平集方法11</p><p>　　3.4 基于偏微分方程的理論模型13</p><p>　　3.5 C-V模型14</p><p>　　3.5.1 Mumford-Shah模型14</p>

16、<p>　　3.5.2 C-V模型14</p><p>　　3.5.3 LBF模型17</p><p>　　4 總結(jié)與展望19</p><p>　　4.1 總結(jié)19</p><p>　　4.2 展望20</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)21</b></p&

17、gt;<p><b>　　致謝22</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 研究背景及意義</p><p>　　圖像處理就是對原始圖像進(jìn)行某些人為的操作使其滿足我們的需求．比如說我們常見的PS技術(shù)、指紋\牌照識別技術(shù)、美圖秀秀等．而圖像分割就是將我們需要的物體從

18、圖像中分離出來，簡而言之就是我們運(yùn)用計(jì)算機(jī)將所需要的特征從圖像背景中提取出來．我們通過電子手段得到的圖像，經(jīng)常會(huì)有一些我們不需要的部分，而我們需要的那部分顯示效果可能不好，因此我們要對其進(jìn)行處理，如我們?nèi)粘Ｉ钪腥メt(yī)院拍CT，查看衛(wèi)星地圖等，要想在這類圖像中查找自己需要的部分找到是非常困難的．可偏偏這類圖像具有非常大的價(jià)值，因此圖像分割就成了其中必不可少的一部分．</p><p>　　在對圖像處理的研究和應(yīng)用中，

19、人們往往僅對圖像中的部分感興趣，而這些感興趣的部分就是目標(biāo)或者說是對象．它們往往具有者特定的屬性或獨(dú)特的區(qū)域[8]．為了分辨和分析這些目標(biāo)，我們往往將其提取出來，這就是圖像分割．</p><p>　　目前，圖像分割在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如：生物、醫(yī)學(xué)、軍事，衛(wèi)星、工業(yè)等領(lǐng)域[12]．而且在在這些領(lǐng)域圖像分割的作用越來越重要．</p><p>　　1.2 圖像分割技術(shù)的研究現(xiàn)狀<

20、;/p><p>　　圖像分割技術(shù)自20世紀(jì)70年代以來一直受到人們的高度重視，經(jīng)過這幾十年的發(fā)展，人們已經(jīng)擁有了上千種圖像的分割算法，但是卻沒有一種適合于所有的圖像分割[13]，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，和像素的不斷增長，圖像變得越來越復(fù)雜，這使得傳統(tǒng)的圖像分割方法越來越顯得能力不足．人們迫切需要一種新的算法來解決這類問題．而基于偏微分方程的圖像分割算法就是基于此誕生的（雖然偏微分方程在圖像分割中是1987年就有了一

21、定的基礎(chǔ)，但真正開始普遍使用是在2001年之后）．</p><p>　　通常對圖像進(jìn)行分割的工具就是計(jì)算機(jī)．我們使用計(jì)算機(jī)的原因有兩個(gè)：一個(gè)是產(chǎn)生更適合我們觀察的圖像，另一個(gè)是產(chǎn)生計(jì)算機(jī)能夠自動(dòng)使用的參數(shù)和函數(shù)[12,14]．</p><p>　　從圖形的角度來說圖像分割就是把圖像進(jìn)行分解成具有各種特征的最小單元的過程．從數(shù)學(xué)中集合的角度來說圖像分割就是按照一定的原則將一幅圖像分解成若干個(gè)

22、互補(bǔ)相交的子集的過程．從偏微分方程的角度將我們所需要的部分的特征參數(shù)提取出來，如灰度值、輪廓線等．</p><p>　　因?yàn)槲覀兪鞘褂糜?jì)算機(jī)處理圖像的，因此我們要將圖像信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，這樣才能被計(jì)算機(jī)識別處理．</p><p>　　在分析圖像分割理論之前，我們應(yīng)先了解其基礎(chǔ)知識：我們定義表示一幅圖像的整個(gè)空間區(qū)域，我們將分為個(gè)區(qū)域的過程，滿足下列五個(gè)條件：</p><

23、;p><b>　　是一個(gè)連通集，</b></p><p><b>　　對于所有的和，</b></p><p>　　對于任何和的相鄰區(qū)域[10,11,13]．</p><p>　　其中是定義在集合的點(diǎn)上的一個(gè)邏輯屬性．（4）指的是該區(qū)域內(nèi)所有像素的灰度都相等，（5）指的是相鄰區(qū)域的屬性必須不相等．</p>

24、<p>　　圖像分割就是把圖像中具有相似特征的區(qū)域找出來并整合在一起的過程．它運(yùn)用了許多技術(shù)，如：閾值、邊緣檢測、區(qū)域檢測等．當(dāng)然不同的方法要求也不相同．而不同的圖像，我們所需要獲取的信息也是不一樣的，甚至同一幅圖像，我們所獲取的目標(biāo)特征也是不一樣的，因此圖像特征不一樣，提取的方法也是不一樣的，所以并不存在一種普遍適應(yīng)的方法．這也是圖像分割方法有那么多的原因．</p><p>　　所以本論文我們要先介

25、紹一下傳統(tǒng)的分割方法，然后詳細(xì)的說明基于偏微分方程的圖像分割算法的實(shí)現(xiàn)原理．</p><p>　　2 傳統(tǒng)圖像分割方法</p><p>　　圖像分割的傳統(tǒng)分割算法到目前為止主要有以下幾種：（1）閾值分割方法；（2）邊緣檢測方法；（3）區(qū)域分割方法；（4）形態(tài)學(xué)分水嶺法等[1]．</p><p>　　2. 1 閾值分割方法</p><p>

26、　　閾值分割法是我所知道的圖像分割法中最簡單的一種，因?yàn)椴捎枚捣指钤恚瑢μ幚碓肼曅?，要求精度底的圖像有著極大的優(yōu)勢．例如：水果質(zhì)檢，紅外成像，工業(yè)中的質(zhì)量檢測等精度要求不高，但要求看的清楚的，都可以用這個(gè)方法．</p><p>　　閾值分割方法的特點(diǎn)是先將圖像的灰度值制成灰度直方圖，取兩個(gè)波峰之間的波谷的那個(gè)灰度值做為閾值，然后將其它點(diǎn)的灰度值與其比較，大的設(shè)一種顏色，小的設(shè)另一種顏色，這樣就使得圖像呈現(xiàn)出兩

27、中顏色．使圖像變得清晰進(jìn)而達(dá)到分割的目的．其分割公式為(2-1)[1]．</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　是灰度直方圖對應(yīng)的圖像，是選取的閾值，為1時(shí)圖像在顯示白色，為目標(biāo)點(diǎn)，為0時(shí)處顯示黑色為背景點(diǎn)．當(dāng)值發(fā)生變化時(shí)，黑白點(diǎn)的數(shù)量、位置以及它們組成的圖形都會(huì)發(fā)生變化．因此運(yùn)用閾值分割法時(shí)選取閾值是其關(guān)鍵．</p>&l

28、t;p>　　當(dāng)然這只是閾值分割法的基礎(chǔ)理論，它的實(shí)際運(yùn)用要比這個(gè)更加復(fù)雜．首先因?yàn)閳D像的兩個(gè)波峰距離很近，甚至就沒有波谷，或者是有多個(gè)波谷，再者就是噪聲多，這樣的話我們用二值分割可能不夠，因此我們在這個(gè)基礎(chǔ)上發(fā)展了多個(gè)方法．如：</p><p>　　我們在每個(gè)地方的閾值可能取得不一樣．因此閾值有時(shí)是可變的．處的取決于的臨域的特性．這樣做的目的是為了更精確的顯示每個(gè)區(qū)域的特征．</p><

29、p>　　如果有的時(shí)候波谷有多個(gè)（兩個(gè)及兩個(gè)以上）．這就需要我們同時(shí)選取更多的閾值，和選取多種顏色，對該區(qū)域進(jìn)行分割．如(2-2)[1]．</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　是三個(gè)不同的灰度值，為兩個(gè)不同的閾值．</p><p>　　為了更加形象的說明本算法的優(yōu)缺點(diǎn)，我們通過圖2-1和圖2-2來研究影響閾值

30、選取的問題。</p><p>　　圖2-1 無噪聲圖、灰度直方圖和閾值處理過的圖像</p><p>　　圖2-2有噪聲圖、灰度直方圖和閾值為240處理過的圖像</p><p>　　通過上面兩幅圖及其灰度直方圖和處理后的圖像，我們可以看出噪聲對閾值分割的影響極大，在無噪聲圖中其分割能力極佳（此時(shí)兩個(gè)波峰之間的波谷很明顯），但是對于有噪聲的圖像而言（波谷不明顯），如果我

31、們還用這種方法處理的結(jié)果就明顯不好了．因此在用閾值分割法處理帶大量噪聲的圖像時(shí)往往需要進(jìn)行預(yù)處理，將噪聲過濾掉．比如說用Otsu方法進(jìn)行處理．或者說是用平滑方法進(jìn)行處理．</p><p>　　2. 2 邊緣檢測方法</p><p>　　邊緣檢測方法是一種基于圖像灰度幅值不連續(xù)的分割方法，簡單的說它檢驗(yàn)的是突變性區(qū)域，它往往運(yùn)用邊緣檢測，它所運(yùn)用到的模型是圖2-3[1]：</p>

32、;<p>　?。╝）臺(tái)階模型 （b）斜坡模型 （c）屋頂模型</p><p><b>　　圖2-3 邊緣模型</b></p><p>　　因此基于邊緣檢測的技術(shù)有：基于邊緣檢測算子的方法、Marr-Hildreth邊緣檢測器和Canny算子等．</p><p>　　常見的邊緣檢測算子有梯

33、度算子，Sobel算子、Roberts算子、Laplaction算子、Prewitt算子等．因?yàn)楸疚闹饕芯康牟⒉皇撬晕覀儗⒉粚λ鼈冞M(jìn)行詳細(xì)的介紹，僅介紹一下它們的特點(diǎn)：</p><p>　　Laplaction算子是對二維函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的二階導(dǎo)數(shù)標(biāo)量算子．Roberts算子是利用局部差算子尋找邊界的算子．Sobel算子是利用兩個(gè)核做卷積的，兩個(gè)卷積的最大值作為該點(diǎn)的輸出值，是8域算子，比Roberts算子的

34、抗噪聲能力更強(qiáng)．Prewitt算子和Sobel算子相似．</p><p>　　為了更加直觀的了解什么是邊緣算子，我們通過圖2-4來說明：</p><p>　?。╝）原圖 （b）運(yùn)用sobel算法分割得到的邊緣線</p><p><b>　　圖2-4 邊緣檢測</b></p><p>　　通過此圖我們可

35、以看出分割線很光滑，很完美的將內(nèi)外區(qū)完全分割，這相對于一次只能定義一條邊緣曲線的偏微分方程而言簡單快捷的多，但是我們也應(yīng)能想想得到如果噪音較大，則會(huì)對該種算子產(chǎn)生不小的影響．事實(shí)上我們通過大量的實(shí)驗(yàn)（在此我就不一一示例了）發(fā)現(xiàn)Roberts算子（2*2算子）對具有陡峭的低噪聲圖像響應(yīng)最好，其他的都是（3*3算子），對灰度漸變和噪聲相對較多的圖像處理能力較高[1]．</p><p>　　相對于閾值分割法而言基于邊緣

36、的圖像分割方法計(jì)算量小，速度快，但是容易產(chǎn)生對邊緣點(diǎn)的錯(cuò)誤追蹤，可能產(chǎn)生不連續(xù)邊緣甚至是邊緣丟失．這種分割方法有可能與實(shí)際邊緣不完全對應(yīng)，即準(zhǔn)確性不足．并且有可能加重噪聲．因此在使用它們之前我們最好先對圖像進(jìn)行平滑處理．</p><p>　　2. 3 區(qū)域分割法</p><p>　　如我們所討論的那樣分割的目的是將一幅圖像劃分成多個(gè)區(qū)域．那么是否可以通過數(shù)據(jù)特征直接將圖像空間劃分成不同的

37、區(qū)域呢？答案是肯定的．區(qū)域分割方法就是以此為中心思想的方法．常用的區(qū)域分割方法有區(qū)域生長、分裂與歸并等．</p><p>　　2. 3. 1 區(qū)域生長</p><p>　　區(qū)域生長的定義是從一組“種子”開始，將與種子預(yù)先定義的性質(zhì)（如灰度值）相似的臨域像素加入到每個(gè)種子上形成的這些生長區(qū)域[1]．就是將圖像分割成許許多多的子區(qū)域，其每個(gè)子區(qū)域里的灰度值相等，取其中一部分子區(qū)域作為種子，如

38、果種子的鄰域的灰度值與其足夠的相似，則將兩者合并，以此方式不斷的將小區(qū)域合并，直到不能合并為止，此時(shí)將會(huì)形成特征不同的區(qū)域．這便是區(qū)域的生長．區(qū)域的生長首先要解決三個(gè)問題：（1）確定種子的數(shù)量；（2）一般取目標(biāo)圖像中的一部分做種子；（3）確定相似性準(zhǔn)則[8]．在此我們用圖2-5說明：</p><p>　　(a) 原圖像 (b) 選中的種子的圖像</p><p>

39、　　(c) 區(qū)域生長圖像 (d) 區(qū)域生長圖像與原圖像的重合</p><p>　　圖2-5 區(qū)域生長圖</p><p>　　如上圖所示，同樣是一把扳手圖像，而sobel直接就把邊界畫好，但是使用區(qū)域生長算法卻導(dǎo)致有部分缺失，這是因?yàn)槟且粔K的像素與種子的像素灰度值相差較大，雖然我們的肉眼很難分辨出來但它們的像素差確實(shí)超出了我們的要求，因此才會(huì)出現(xiàn)如此情景，這說明邊緣算子

40、在精度上略顯不足，這在精度要求較高的圖像中是不可饒恕的，因此我們應(yīng)當(dāng)注意，在使用邊緣算子的時(shí)候，其圖像的要求精度一定不要太高．而當(dāng)我們需求的圖像精度必須很高時(shí)，如醫(yī)學(xué)、軍用等領(lǐng)域，則使用區(qū)域生長法．</p><p>　　2. 3. 2 區(qū)域分裂——合并</p><p>　　區(qū)域生長是利用一組種子，種子的特性對其處理生長，完成圖像分割．而圖像的分裂與合并則是完全脫離了種子，自定義選擇一個(gè)屬

41、性,然后對圖像進(jìn)行越來越細(xì)的四象限區(qū)域分割，直到任意區(qū)域的有．如果,則繼續(xù)將其分割成4個(gè)象限區(qū)域，如圖2-6所示[1]．</p><p>　　圖2-6 (a) 圖像分割表 (b) 對應(yīng)的四叉樹 </p><p>　　這是區(qū)域的分裂部分，至于合并則和區(qū)域生長法相同，當(dāng)時(shí)，即我們要求的相鄰區(qū)域的屬性相似時(shí)就可以融合[1]．<

42、/p><p>　　這可以很明顯的看出區(qū)域分裂—生長法大大簡化了計(jì)算次數(shù)，但是如果我們需要的目標(biāo)圖像很小，或者是有大量噪音等之類的情況，則會(huì)大大增加計(jì)算負(fù)擔(dān)．因此我們通常在使用這類方法之前先要確定最小四象限區(qū)的尺寸．如下所示：</p><p>　　下圖為NASA的哈勃望遠(yuǎn)鏡在X射線波段拍攝到的天鵝星座環(huán)超新星的圖像，我們仔細(xì)看原始圖像會(huì)發(fā)現(xiàn)這仿佛是大量噪聲的集合，我們用區(qū)域分裂生長法對其處理，我

43、們會(huì)發(fā)現(xiàn)，最小象限區(qū)域越大，圖像失真性越高，反之噪聲點(diǎn)越多．</p><p>　　圖2-7 (a)為原圖 (b)為像素32*32 (c)為像素16*16 （d）為像素8*8</p><p>　　因此這種方法的使用一定要確定好最小象限區(qū)域的尺寸[1]．</p><p>　　2. 4 形態(tài)學(xué)分水嶺法</p><p&g

44、t;　　分水嶺的概念是在以三維形象化一幅圖像為基礎(chǔ)的．就是以圖像的為底坐標(biāo)，以灰度值（或其它屬性）為高（z坐標(biāo)）．在此我們要確定三個(gè)類型的點(diǎn)：第一類為區(qū)域最小值得點(diǎn)（就是灰度值最小的點(diǎn)），第二類是在該點(diǎn)處放一個(gè)水滴那么他一定流向最低處；第三類是該點(diǎn)比兩側(cè)的點(diǎn)都高．如圖2-8所示：</p><p>　　圖2-8 波峰、波谷、山尖</p><p>　　而第二類通常被稱為分水嶺(或者是匯水盆地)

45、，第三類（山尖）通常被稱為分水線或分割線，通常第三類是我們要需求的目標(biāo)．</p><p>　　而使用分水嶺的基本思想是先在每個(gè)區(qū)域的最低處打一個(gè)洞，讓水均勻的上升，這樣就會(huì)逐步淹沒低處的區(qū)域，最終只留下山尖（分水線）．但是通常我們需要的目標(biāo)圖像通常是一個(gè)區(qū)域，這樣的話形成的邊緣線（分水線應(yīng)該是一條連續(xù)的線而不是一條線段），因此當(dāng)不同匯水盆地的水上升到一定高度時(shí)，它們之間就會(huì)匯合，而此時(shí)就需要修建水壩來阻止它們匯合

46、．該水壩的目的是將斷開的分水線連起來．如圖2-9所示[1]：</p><p>　　(a) 原圖 (b) 注水圖1 (c) 注水圖2 (d) 注水圖3</p><p>　　(e) 淹沒圖像 (f) 融合圖像 (g) 水壩圖 (h)分割線圖</p><p>　　圖2-9 分水嶺原理圖</p><p>

47、;　　由圖2-9(b)我們可以看出不同區(qū)域的最低點(diǎn)（或者是山尖）的高度是不一樣的，當(dāng)注水到一定高度時(shí)兩個(gè)不同盆地里的水就會(huì)匯合，淹沒那部分分水嶺，如果此時(shí)停止注水，就會(huì)導(dǎo)致其他位置的分水嶺無法識別，因此需要我們修建水壩，當(dāng)我們修建水壩之后水位繼續(xù)上升，直到所有區(qū)域的分水嶺全部找到為止（隔離水的山峰僅剩下一條線）．</p><p>　　如圖2-10所示為分水嶺法和區(qū)域生長算法的比較：</p><

48、p>　　(a) 區(qū)域生長算法圖 (b) 分水嶺法圖</p><p>　　圖2-10 分水嶺法分割圖像</p><p>　　通過上圖我們可以看出，分水嶺法求的的圖像的邊界精度更高，而且有的地方不連貫，因此可以肯定的是它對處理凹陷區(qū)有著極大的優(yōu)勢，因此這可以彌補(bǔ)偏微分方程的某些缺陷．</p><p>　　當(dāng)然還有其他一些方法，在

49、此我們就不一一介紹了，目前為止，圖像分割的研究分為兩個(gè)方向：一是對傳統(tǒng)算法的不斷改進(jìn)，另一個(gè)是新方法、新概念的引入．隨著圖像像素的不斷提高，圖像復(fù)雜度也發(fā)生了顯著的提高，這導(dǎo)致原有的算法很難滿足現(xiàn)代的需求，因此人們開始研究將一些新概念引入到圖像分割領(lǐng)域，同時(shí)也在不斷的發(fā)掘傳統(tǒng)方法的潛力，如將其綜合運(yùn)用．，而本文介紹的就是在傳統(tǒng)之外，人們提出的全新的概念方法，雖然它已有許多年的年齡了，但相對傳統(tǒng)方法，它依然屬于新領(lǐng)域．本文主要研究的是偏微

50、分方程在圖像分割中的應(yīng)用，主要運(yùn)用的是活動(dòng)輪廓模型方法，由于其模型的優(yōu)越性，在數(shù)學(xué)圖像邊界探測的效果比以上幾種更加優(yōu)秀．</p><p>　　2. 5 圖像分割中的偏微分方程方法</p><p>　　偏微分方程的解通常是一個(gè)函數(shù)，其在坐標(biāo)系中就是一條線性圖像，因此其在圖像分割中具有傳統(tǒng)分割方法不可比擬的優(yōu)勢：（1）精度高；（2）抗造能力強(qiáng)．</p><p>　　偏

51、微分方程在圖像分割中使用的理論公式核心就是數(shù)學(xué)物理方程．將數(shù)學(xué)方法引入到物理應(yīng)用中，通常求得的最小值就是其最佳結(jié)果．偏微分方程在圖像分割中也是如此．我們通常使用偏微分方程處理圖像分割時(shí)往往會(huì)先將圖像能量化——就是賦予圖像邊緣線一些勢能，以及給予一些力．設(shè)定好約束條件，然后使用變分法，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)或一組偏微分方程，最后結(jié)合相應(yīng)的初始條件，利用數(shù)值計(jì)算方法去其解．</p><p>　　如圖2-11中是有勢能和外力組

52、成的：</p><p>　　圖2-11 是演化曲線，箭頭F為力的方向</p><p>　　因?yàn)槲覀兿旅嬷饕榻B它，所以我們在此就不過多的介紹了．</p><p>　　3 基于偏微分方程的圖像分割</p><p>　　3. 1 偏微分方程的引入</p><p>　　偏微分方程：如果在未知函數(shù)和多個(gè)變量有關(guān)，

53、而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程．簡單地說就是函數(shù)中有多個(gè)未知量，并且有關(guān)于這些未知量的導(dǎo)數(shù)．</p><p>　　偏微分方程的表達(dá)式（3-1）：</p><p><b>　　(3-1)</b></p><p>　　其中F為函數(shù)，是其未知量，為對未知量的導(dǎo)數(shù)．其解通常為一個(gè)函數(shù)，繪出的圖形是條曲線，這與求圖

54、像分割中確定目標(biāo)圖像的邊緣線類似，這也是偏微分方程可以應(yīng)用在圖像處理中的原因．</p><p>　　基于偏微分方程的圖像分割算法的研究的核心思想：用偏微分方程去演化一個(gè)給定的曲線或者是圖像，它的解就是我們要求的圖像結(jié)果——邊緣曲線．簡單的說就是通過一定量的約束條件，組建一個(gè)偏微分方程組，求極小值．如果從數(shù)學(xué)物理方程中去解讀的話，就是在內(nèi)外力的共同約束下，使得整幅圖像的能量最小化．</p><p

55、>　　3. 2 曲線演化理論</p><p>　　曲線演化：對于二元函數(shù)而言滿足該方程上的點(diǎn)組成的圖形就是條曲線（我們定義為），如果用參數(shù)方程表示為（3-3）[13]：</p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　其中s為曲線的參數(shù)，如果，則稱曲線為閉合曲線，而這正是我們要求的曲線．若以T和N分別表示曲線上的一點(diǎn)

56、的單位切向量和法向量，則它們分別表示為（3-3）[15]：</p><p><b>　　(3-3)</b></p><p>　　并且有公式（3-4）：</p><p><b>　　(3-4)</b></p><p>　　其中K為曲面的曲率，描述的是曲線的彎曲程度．我們都知道對于平面曲線，曲率函數(shù)可以

57、唯一確定一條曲線．而且曲率的一階導(dǎo)數(shù)正好對應(yīng)了切向量，二階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的是曲線的法向量．當(dāng)我們研究曲線運(yùn)動(dòng)演化時(shí)，往往需要確定一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向，由于切方向速度不影響曲線的幾何性質(zhì)，所以我們更多的是運(yùn)用法向量方向的速度．在圖像分割中曲線演化理論主要運(yùn)用的就是法向量或曲率等幾何參數(shù)．</p><p>　　接下來我們介紹一下曲線演化的相關(guān)理論．我們假設(shè)曲線演化時(shí)，曲線與時(shí)間有一定的關(guān)系，定義曲線演化函數(shù)為，為時(shí)間，曲線內(nèi)側(cè)單位

58、法向量為N，曲率為K，則曲線沿單位法向量的演化過程可以表示為（3-5）：</p><p><b>　　(3-5)</b></p><p>　　為法向量上的速度函數(shù)，速度函數(shù)與曲率K有關(guān)系．一般情況下我們常用的有曲率演化和常量演化，曲率演化即速度與曲率成正比，可以將（3-5）表示為（3-6）：</p><p><b>　　(3-6)&l

59、t;/b></p><p>　　其中，a為正值常數(shù)；k為曲率．因此曲率越大，速度越大．這樣的話，最終的演化結(jié)果為一個(gè)圓．如圖3-1所示[13]：</p><p>　　圖3-1 曲線演化示意圖</p><p>　　而常量演化，則是所有點(diǎn)處的演化速度相同，表達(dá)式為（3-7）：</p><p><b>　　(3-7)</b

60、></p><p>　　為恒速，這樣的話會(huì)導(dǎo)致曲線出現(xiàn)尖角，甚至?xí)霈F(xiàn)斷裂．如圖3-2所示：</p><p>　　圖3-2 常量演化圖</p><p>　　如何使圖像的數(shù)據(jù)與曲線的演化速度相匹配并且使得曲線恰好在目標(biāo)的邊緣位置停止演化是將演化理論用于圖像分割的理論基礎(chǔ)之一．接下來我們主要介紹一下另一個(gè)在偏微分方程在圖像分割中應(yīng)用的理論基礎(chǔ)——水平集方法．

61、</p><p>　　3. 3 水平集方法</p><p>　　對于水平集，就是將一幅圖像中的同一灰度值的所有點(diǎn)設(shè)成一個(gè)集合，這便是一個(gè)水平集，在三維空間的理解就是將同一灰度的點(diǎn)放在同一高度面上，我們要求的曲線函數(shù)，一定是在該面的（邊緣線）零等值線．</p><p>　　演化曲線在水平集中的表達(dá)：我們先設(shè)演化曲線為(是二維的)，在水平集中該曲線被隱含的表達(dá)為三維連續(xù)

62、函數(shù)在某一時(shí)刻（某次迭代時(shí)）有著相同函數(shù)值的等值曲線（可以理解成相同灰度值的點(diǎn)組成的曲線）．通常我們?nèi)〖蟽?nèi)的點(diǎn)為零水平集，而就是水平集函數(shù)[7]．</p><p>　　水平集方法最早是在1988年由Osher和Sethian提出的[15]，主要解決流體力學(xué)的問題．如：火焰形狀變化，晶體形狀生長，水油分界面運(yùn)動(dòng)等．基本思想是把低維度的曲線表示成高一維度的零水平集[6]，利用圖像得到的曲率或法向量等幾何參數(shù)來控制曲

63、線．通過水平集方法，我們不再追蹤曲線上每個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而只是通過固定的平面網(wǎng)格點(diǎn)改變對應(yīng)的水平集函數(shù)值來演化隱含在其中的零水平曲線．在此我們以水平曲線為例[15]：</p><p>　　設(shè)t時(shí)刻（在圖像分割中的真實(shí)意義應(yīng)該為迭代次數(shù)）的水平曲線，我們可以將其表示為三維連續(xù)曲面（我們認(rèn)為每進(jìn)行一次迭代，就產(chǎn)生一條新的曲線）的等值線，一般取零等值線，即零水平集：</p><p>　　函數(shù)就是曲面

64、C的水平集函數(shù)，那么緊接下來就是演化了．我們以如下公式為基礎(chǔ)，找到要滿足的演化方程（3-7）：</p><p><b>　　(3-8)</b></p><p>　　對對t求全微分，然后將法向量代入，最終可得到要滿足的演化方程．其中曲率k為（3-9）：</p><p><b>　　(3-9)</b></p>&

65、lt;p>　　舉例來說：下圖3-3為兩個(gè)扳手的圖像，我們先畫一條曲線，然后依靠水平集的迭代方法——常量曲線演化，最終將兩個(gè)扳手完全分割出來．</p><p>　　(a) 原圖 (b) 加入初始曲線 (c) 經(jīng)過4500次迭代之后的圖</p><p>　　圖3-3 水平集方法分割圖像</p><p>　　通過上面三幅圖我們可以

66、看出水平集的特點(diǎn)：</p><p>　?。?）它只把同一灰度集的點(diǎn)提取出來，對于不在同一級的灰度值，即使是連在一起的也不過問．</p><p>　?。?）很明顯它用的是常量曲線演化，因此哪怕原先是包裹在一起的曲線最終也會(huì)分開，而且有棱有角．</p><p>　　具體來說水平集模型算法有一下優(yōu)點(diǎn)： </p><p>　　(1)速度函數(shù)的圖像是光

67、滑的，因此水平集函數(shù)將始終保持為一個(gè)恒定值，而的零水平集，也就是演化曲線可以隨的變化而變化，比如可以合并可以形成尖角還可以分裂等等．</p><p>　　(2)由于再演化的過程中始終保持為一個(gè)恒定的函數(shù)，所以它很容易實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上的近似算法，在我們利用離散網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的有限差分方法時(shí)就可以很輕松的實(shí)現(xiàn)函數(shù)的演化．</p><p>　　(3)函數(shù)可以直接計(jì)算曲線C的單位法矢量、曲率等幾何特征．&l

68、t;/p><p>　　(4)水平集方法還有一個(gè)最大的優(yōu)點(diǎn)就是它容易擴(kuò)展到高維的情況，這樣便于我們實(shí)現(xiàn)三維圖像的分割問題[15,6]．</p><p>　　綜上所述，水平集方法利用的是曲線演化中的常量演化法．</p><p>　　3. 4 基于偏微分方程的理論模型</p><p>　　上面兩個(gè)理論是我們在圖像處理中使用偏微分方程的基礎(chǔ)理論．接下來

69、我們要介紹其理論模型．</p><p>　　基于偏微分方程（PDE）的圖像處理的主要實(shí)現(xiàn)方法分為兩個(gè)類型[15,4]：</p><p>　　（1）參數(shù)活動(dòng)輪廓模型</p><p>　　參數(shù)活動(dòng)輪廓模型，也被稱為Snake模型，它是一種要得到能量函數(shù)最小化的輪廓曲線的模型[4]，其基本思想是將圖像分割問題轉(zhuǎn)化為最小化一個(gè)封閉曲線的能量泛函．即在目標(biāo)函數(shù)附近畫一條初始曲

70、線，該曲線至少要包含大部分的目標(biāo)圖像（因?yàn)樯俚脑?，可能在演化過程中將其拋棄），然后通過計(jì)算線內(nèi)外的灰度平均值的變化來不斷發(fā)生形變，最終靠近目標(biāo)圖像的邊緣．</p><p>　　因此雖然該模型的整體效果的分割往往是很好的，而且是圖像分割方法中的一大突破，但也有一些缺點(diǎn)：（1）對初始位置有一定的要求，如果位置選取不當(dāng)，則會(huì)分割不準(zhǔn)確．（2）對凹陷區(qū)目標(biāo)的分割能力不好．尤其是深度凹陷．（深度凹陷：當(dāng)目標(biāo)圖像整體為黑色時(shí)

71、，而其中邊緣有一塊兒非常窄的細(xì)縫，這條細(xì)縫不屬于目標(biāo)圖像，路過使用此模型，我們無法將這條細(xì)縫找到．）（3）當(dāng)目標(biāo)不止一個(gè)時(shí)，演化曲線不能靈活的改變．（如：一條原始曲線包含兩個(gè)目標(biāo)圖像時(shí)，會(huì)把一些背景也分進(jìn)去）[13]．</p><p>　　（2）幾何活動(dòng)輪廓模型</p><p>　　幾何活動(dòng)輪廓模型是在水平集方法的理論上逐漸發(fā)展起來的[2,4]．因此它可以利用圖像數(shù)據(jù)得到的曲率或法向量等幾

72、何參數(shù)控制曲線，該模型解決了參數(shù)活動(dòng)輪廓模型中演化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化的問題，使得演化曲線可以分裂或合并，簡單地說就是運(yùn)用了常量演化模型．但它也有一些缺陷，如：計(jì)算量大，收斂速度慢、對初始曲線比較敏感等問題[2]．</p><p>　　當(dāng)然人們更多的是使用基于區(qū)域的幾何活動(dòng)輪廓模型，（因?yàn)樗贿^分依賴于邊緣梯度），而在這里面的代表就是M-S模型，及其由此發(fā)展而來的C-V模型和改進(jìn)后的LBF模型．在此我們將詳細(xì)的介紹這類模

73、型．C-V模型在充分考慮并分析圖像的所有信息后再對圖像進(jìn)行分割處理．它主要針對的是圖像中沒有明確的邊緣梯度的情況，即目標(biāo)邊緣模糊的圖像．</p><p>　　3.5 C-V模型</p><p>　　在介紹C-V模型之前我們應(yīng)先了解M-S模型，因?yàn)镸umford-Shah模型是C-V模型的前身．</p><p>　　3. 5. 1 Mumford-Shah模型&l

74、t;/p><p>　　早在20世紀(jì)八十年代的時(shí)候，Mumford和Shah提出了Mumford-Shall模型．該模型是一種基于區(qū)域分割的幾何活動(dòng)模型．它是通過建立一個(gè)能量函數(shù)，這個(gè)能量函數(shù)包含有目標(biāo)圖像區(qū)域的信息．通過求該能量函數(shù)的最小值（實(shí)現(xiàn)各個(gè)方向的力的平衡），就可以得到圖像的邊緣輪廓．</p><p>　　Mumford和shah將圖像分割的問題理解為：對于一幅圖像，其定義域?yàn)閄,圖像

75、分割就是要將定義域分解成為有限個(gè) ,同時(shí)再定義一個(gè)近似圖像函數(shù)該近似圖像函數(shù)u為圖像的最佳分片光滑的近似函數(shù)，并且每一個(gè)分定義域都有較大的相似性．而在分定義域的邊界處又有很大的差異性．根據(jù)這種思想Mumford和Shah提出下列函數(shù)公式（3-10）：</p><p><b>　　(3-10)</b></p><p>　　其中， 是權(quán)重參數(shù)．是圖像的包真項(xiàng)，表示的是函數(shù)

76、與原圖像函數(shù)之間的相似程度．是圖像的正則項(xiàng)，用來確保圖像函數(shù)的光滑性．是長度項(xiàng)，其主要作用是控制圖像邊界的粗糙度[9]．</p><p>　　Munford-Shah模型可以直接對圖像進(jìn)行分割而不需要根據(jù)圖像的邊界信息．該模型的優(yōu)點(diǎn)是對初始演化曲線在圖像中的位置不明感，它對圖像的分割效果很好，甚至是圖像中的模糊邊界甚至是不完整的邊界都有很好的處理效果．但是該模型也有很多問題，尤其是該模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計(jì)算量大等．這也

77、為C-V模型的提出提供了基礎(chǔ)．</p><p>　　3. 5. 2 C-V模型</p><p>　　Chan和Vese在充分研究Mumford-Shah圖像分割模型的基礎(chǔ)上，于2001年提出一種全新的主動(dòng)輪廓模型，簡化Mumford-Shah模型，運(yùn)用能量函數(shù)的最小化來演化曲線，總結(jié)了C-V模型[13]．因?yàn)镃-V模型是基于區(qū)域的幾何活動(dòng)輪廓模型，因此它在提取物體邊界時(shí)是不依賴于圖像梯度

78、的[22]，因此這對于邊緣模糊的圖像有很好的分割能力．但C-V模型也存在著和普通水平集模型同樣的弱點(diǎn)——計(jì)算量大．由于C-V模型不利用梯度信息，而是通過最小化能量函數(shù)的方式來演化曲線，因此可認(rèn)為該模型定義圖像每個(gè)通知區(qū)域的灰度值是一個(gè)不變的恒定值，即對于區(qū)域, 為常數(shù)，則設(shè)原圖像被閉合曲線C劃分為和背景</p><p>　　Chan和Vese在簡化的Mumford-Shah模型的基礎(chǔ)上，得出了C-V模型的能量泛函

79、（3-11）：</p><p><b>　　(3-11)</b></p><p>　　C是活動(dòng)輪廓曲線，即圖像分割線．起到使曲線平滑的作用．表示的是輪廓線的長度；是閉合曲線內(nèi)部區(qū)域的面積；，為常數(shù)．為每一點(diǎn)處的灰度值．稱為外部能量（指的是當(dāng) 時(shí)此項(xiàng)最?。?，是內(nèi)部能量（指的是當(dāng) 時(shí)此項(xiàng)最?。?，稱為能量項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)．是分割線內(nèi)外部區(qū)域的灰度平均值．這樣的話，我們可以把上式

80、理解為判斷閉合曲線內(nèi)部的圖像的灰度平均值，讓每一點(diǎn)上的灰度值與其對比，當(dāng)大于時(shí)，內(nèi)部能量項(xiàng)大于0，同理，外部能量項(xiàng)也是如此．如果要是的值最低，最好是分割線內(nèi)部的,外部的為．</p><p>　　如圖3-4所示是其演化原理：</p><p>　　(a) (b) (c) (d)</p><p>　

81、　圖3-4 C-V模型演化圖[15]</p><p>　　接下來我們要對其計(jì)算處理．</p><p>　　我們對上式進(jìn)行優(yōu)化得（3-12）：</p><p><b>　　(3-12)</b></p><p>　　由于C-V模型有基于圖像分片平滑的假設(shè)，因此引入Heavisirle函數(shù)H(z)和Dirac函數(shù)將能量函數(shù)規(guī)

82、范化，則能量函數(shù)表達(dá)式為（3-13）[14,15,17,18]</p><p><b>　?。?-13）</b></p><p>　　Chan和Vese以歐拉-拉格朗日方法推導(dǎo)出來的滿足上式并以水平集函數(shù)表達(dá)式的偏微分方程的解，如（3-14）：</p><p><b>　?。?-14）</b></p><

83、;p>　　在數(shù)值計(jì)算時(shí)，分別采用正則表達(dá)函數(shù)代替，這樣能使式（3-14）作用所有水平集上，從而可以自動(dòng)檢測出帶空洞目標(biāo)的內(nèi)部區(qū)域并且可以使能量函數(shù)達(dá)到全局極小值（3-15）[21]：</p><p><b>　　（3-15）</b></p><p>　　對于 進(jìn)行離散化，設(shè)h為離散網(wǎng)格的空間步長，為時(shí)間步長</p><p>　　為網(wǎng)格點(diǎn)坐

84、標(biāo)，則是網(wǎng)格上的近似．已知，可以得到和．定義（3-16）：</p><p><b>　　(3-16)</b></p><p><b>　　采用差分計(jì)算，并記</b></p><p><b>　?。?-17）</b></p><p><b>　?。?-18）</b

85、></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　(3-19)</b></p><p>　　可由（3-19）來計(jì)算．</p><p>　　偏微分方程所涉及的圖像函數(shù)的定義域是全圖數(shù)據(jù)，因此計(jì)算時(shí)需要在整個(gè)定義域內(nèi)更新水平集函數(shù)，計(jì)算量大．</p><

86、p>　　但正如我們上面提到的那樣，若是最小，則在線內(nèi)部有和線外部有，這樣的話，曲線內(nèi)外必須只能有兩種灰度值．并且C-V模型的初始分割線必須（至少）包含一部分目標(biāo)圖像．這樣的話我們可認(rèn)為C-V模型存在這兩種局限性．如下例：圖3-5還是一幅扳手圖像，不過我們加入了方差為0．1的椒鹽噪聲．</p><p>　　(a) 原圖 (b) 迭代100次的圖像 (c) 迭代1000次的圖像</p&g

87、t;<p>　　(d) 椒鹽噪聲圖像 (e) (d)迭代100次的圖像 (f) (d)迭代1000次的圖像</p><p>　　圖3-5 C-V模型處理圖</p><p>　　我們可以看出在原圖像出無論是迭代100次還是1000次，其繪得的輪廓曲線基本上是沒什么變化的，而當(dāng)加了方差為0．1的噪音時(shí)，圖像的分割開始出現(xiàn)了大面積誤差．我們發(fā)現(xiàn)噪聲對C-V模型有著極大的影響

88、[4]．</p><p>　　因此我們在C-V的模型上提出了LBF模型．</p><p>　　3. 5. 3 LBF模型</p><p>　　LBF模型：就是在C-V模型的基礎(chǔ)上，引入高斯核函數(shù)，將已經(jīng)有了輪廓線的圖像在一次進(jìn)行局部分割，分割的大小為以點(diǎn)為中心3為半徑的尺寸，計(jì)算每個(gè)這樣的小區(qū)域的能量信息，然后進(jìn)行相加，求其和最小值[8]．</p>

89、<p>　　簡單地說LBF模型就是將圖像劃分成一個(gè)個(gè)小塊，然后平均其灰度值，這樣保證通過計(jì)算局部C-V模型的能量，然后將其相加，保證整體灰度平均值（能量）最小．因此，分割半徑越小，精度越高，但同時(shí)計(jì)算量也越大．</p><p>　　LBF模型中通過引用高斯核函數(shù)，獲取了圖像的局部灰度信息，這樣的話就能一定程度上的彌補(bǔ)C-V模型的不足，能夠獲取分割灰度不均的目標(biāo)圖像[20]．</p>&l

90、t;p>　　LBF模型能量的定義：在圖像中的任意一點(diǎn)，以及當(dāng)有輪廓曲線時(shí)，在處的擬合能量泛函公式可表示為（3-20）：</p><p><b>　　(3-20)</b></p><p>　　很明顯該模型運(yùn)用局部信息，如果不考慮C-V模型中的邊緣線問題，則這與C-V模型相比多了，將分別替換成了函數(shù)．在公示中 分別為輪廓線內(nèi)外的區(qū)域， 在此是圖像在點(diǎn)處的灰度擬合值（

91、其值取決于其鄰域），表示點(diǎn)的灰度，其尺度大?。ɑ叶扰c點(diǎn)的差）有核函數(shù)控制，而為標(biāo)準(zhǔn)差為的高斯核函數(shù)（3-21）：</p><p><b>　　(3-21)</b></p><p>　　的鄰域大小有這個(gè)公式?jīng)Q定，一般是以該點(diǎn)為中心3的范圍內(nèi)，并且越距近其點(diǎn)的灰度對點(diǎn)的灰度擬合值的影響越大．可已被解讀為輪廓線內(nèi)在點(diǎn)處，y點(diǎn)上的灰度值與該x點(diǎn)處灰度擬合曲線計(jì)算出來的值相比較

92、（y點(diǎn)距點(diǎn)的距離不超過3）．因此我們可以認(rèn)為，它只在3范圍內(nèi)使用C-V模型，因此大大的降低了對灰度值的要求．</p><p>　　其使用數(shù)學(xué)的公式來表示：</p><p>　　我們通常設(shè)輪廓曲線的水平集函數(shù)為，結(jié)合水平集方法，則有（3-22）</p><p><b>　　(3-22)</b></p><p>　　因?yàn)樗@

93、取的是局部信息．因此總的擬合能量泛函為（3-23）：</p><p><b>　　(3-23)</b></p><p>　　再加上水平集正則化項(xiàng)，則LBF模型的能量泛函極小化，可得（3-24，3-25）：</p><p><b>　　(3-24)</b></p><p><b>　　(3-

94、25)</b></p><p>　　在固定局部擬合項(xiàng)，那么關(guān)于將極小化,可得到如下演化方程（3-26）：</p><p><b>　　(3-26)</b></p><p>　　其中分別為（3-27）：</p><p><b>　　(3-27)</b></p><p&g

95、t;　　LBF模型將C-V模型中全局?jǐn)M合項(xiàng)分別替換成了函數(shù)表達(dá)式代替，結(jié)果就是每一點(diǎn)的擬合值不再相同．不同點(diǎn)的擬合值是通過其鄰域的點(diǎn)高斯平滑得到的．這大大提高了灰度值的范圍（不再是必須的二值圖像），這在一定程度上彌補(bǔ)了C-V模型處理非二值圖像中的難題．</p><p>　　例題：如圖3-6所示為腦部圖像，我們隨機(jī)畫一條曲線（紅色的）然后利用LBF模型對其進(jìn)行處理，經(jīng)過一系列迭代之后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)圖像會(huì)逐漸趨向于兩種灰

96、度值，也正是如此，我們才能找到其邊界，進(jìn)而匯出其輪廓曲線．</p><p>　　(a) 原圖 (b) 添加初始曲線的圖</p><p>　　(c) 100次迭代處理圖像 (d) 邊緣曲線 (e) 邊緣曲線與原圖像結(jié)合圖</p><p>　　(f) 1000次迭代處理圖像 (g) f的邊緣曲線

97、 (h) f的邊緣曲線與原圖像結(jié)合圖</p><p>　　圖3-6 LBF模型處理圖</p><p>　　通過上圖我們可以明顯看出LBF模型通過局部均衡處理，將圖像的噪音降低．并且迭代次數(shù)越多（局部半徑就越?。D像特征越清晰，精度越高．因此LBF模型在處理多灰度值的方面有著極大的優(yōu)勢．</p><p><b>　　4 總結(jié)與展望</b>&

98、lt;/p><p><b>　　4. 1 總結(jié)</b></p><p>　　本文首先對圖像分割的相關(guān)背景和研究意義做了回顧，并介紹了基于偏微分方程的圖像處理算法的發(fā)展歷程和現(xiàn)有的分割算法都有那些．我將圖像分割的算法分為兩類：一種是傳統(tǒng)的分割方法；另一類是新概念的算法（偏微分算法就是如此）．</p><p>　　然后我們先對傳統(tǒng)的算法進(jìn)行了相關(guān)介紹

99、，并對它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的說明，其次重點(diǎn)介紹了基于偏微分方程的圖像分割算法分為：參數(shù)活動(dòng)輪廓模型和幾何活動(dòng)輪廓模型．對活動(dòng)輪廓模型所必需的理論基礎(chǔ)知識——曲線演化、水平集方法微分方程的運(yùn)用做了簡單的介紹．并詳細(xì)重點(diǎn)的介紹了基于區(qū)域的幾何活動(dòng)輪廓模型：C-V模型和LBF模型，并對其在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的說明——并通過數(shù)據(jù)圖像加以證明．</p><p><b>　　4. 2 展望<

100、/b></p><p>　　基于偏微分方程的圖像處理算法雖然有著傳統(tǒng)算法不可比擬的優(yōu)勢，但是我們也不能忽略它的劣勢——演化速度慢、計(jì)算復(fù)雜、模型要求條件高．但也正是這些缺陷，使它具有極大的改進(jìn)空間．例如我看到的LGIF模型、GAC模型、GVF模型等．它們要么對演化速度方向上有所改進(jìn)，要么對模型約束條件進(jìn)行松綁．但因?yàn)槲业乃接邢?，對這些模型了解不深．因此就沒有介紹．因此就目前這種情況下，我只能盡力了解這些算

101、法的意義和背景．然后在尋找這類的改進(jìn)方法，當(dāng)然放寬模型限制條件，提高演化速度是其最核心的，也是我們未來研究的主要方向．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Gonzalez R C, Woods R E. Digital Image Processing[M]. Addison-Wesley Longman Publishing

102、Co. Inc. 2001.</p><p>　　[2]何傳江, 李夢, 詹毅． 用于圖像分割的自適應(yīng)距離保持水平集演化[J]． 軟件學(xué)報(bào), 2008, 19(12):3161-3169．</p><p>　　[3] Vese L A, Chan T F. A Multiphase Level Set Framework for Image Segmentation Using the M

103、umford and Shah Model[J]. International Journal of Computer Vision, 2002, 50(3):271-293.</p><p>　　[4]任繼軍, 何明一． 一種基于三維直方圖的改進(jìn)C-V模型水平集圖像分割方法[J]． 紅外與毫米波學(xué)報(bào), 2008, 27(1):72-76．</p><p>　　[5]李五強(qiáng), 楊巧, 韓國

104、棟． 一種改進(jìn)的C-V圖像分割模型[J]． 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2015(5):633-</p><p>　　[6]王艷． 圖像分割的偏微分方程研究[D]． 重慶大學(xué), 2012．</p><p>　　[7]王芳梅, 范虹, 王鳳妮． 水平集在圖像分割中的應(yīng)用研究[J]． 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2012, 29(4):1207-1210．</p><p>　　[8]李萌．

105、基于偏微分方程的圖像分割算法研究與應(yīng)用[D]． 南京理工大學(xué), 2006．</p><p>　　[9]趙德． 基于偏微分方程的圖像分割與去噪算法研究[D]． 重慶大學(xué), 2012．</p><p>　　[10]賈曉． 基于偏微分方程的圖像分割與去噪方法[D]． 天津理工大學(xué), 2009．</p><p>　　[11]夏海華． 基于偏微分方程的圖像分割算法研究及其應(yīng)用

106、[D]． 東南大學(xué), 2010．</p><p>　　[12]董明． 基于偏微分方程的圖像分割技術(shù)及其應(yīng)用研究[D]． 華東師范大學(xué), 2005．</p><p>　　[13]郝朝軍． 基于偏微分方程的圖像分割[D]． 西安電子科技大學(xué), 2010．</p><p>　　[14]張品, 梁艷梅, 常勝江． 基于改進(jìn)C-V模型的腎臟CT圖像分割方法[J]． 光電子:激

107、光, 2013(3):602-607．</p><p>　　[15]李俊, 楊新, 施鵬飛． 基于Mumford—Shah模型的快速水平集圖像分割方法[J]． 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2002, 25(11):1175-1183．</p><p>　　[16]王相海, 王金玲, 方玲玲． 灰度差能量函數(shù)引導(dǎo)的圖像分割自適應(yīng)C-V模型[J]． 模式識別與人工智能, 2015(3):214-222．&l

108、t;/p><p>　　[17] Active Contours Without Edges[J]. 2015.</p><p>　　[18] 王大凱 侯榆青 彭進(jìn)業(yè). 圖像處理的偏微分方程方法(附光盤)[M]. 科學(xué)出版社, 2009.</p><p>　　[19]李宇鑫, 鄧雙成, 曹瑩瑜. 基于水平集方法的醫(yī)學(xué)圖像分割[J]. 北京石油化工學(xué)院學(xué)報(bào), 2008, 1

109、6(4):50-54.</p><p>　　[20]原野, 何傳江. LBF活動(dòng)輪廓模型的改進(jìn)[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2009, 45(15):177-179.</p><p>　　[21]楊威, 李俊山, 史德琴,等. 基于改進(jìn)變分水平集的紅外圖像分割方法[J]. 計(jì)算機(jī)工程, 2008, 34(4):196-197.</p><p>　　[22]周小舟,

110、張加萬, 孫濟(jì)洲. 基于Chan-Vese水平集的梯度加速分割模型[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2007, 24(10):166-168.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本論文的研究工作是在我的導(dǎo)師程東旭老師的指導(dǎo)下完成的．從最初的選題到最后的畢業(yè)答辯、論文提交，這大半年來程老師給了我極大的幫助，例如：我開始對曲線演化，水平集方法都不理解

111、，而這偏偏是這篇論文的核心，是程老師跟我解釋了它們是什么．而且程老師為人嚴(yán)謹(jǐn)、對我們非常關(guān)心，我在大四上半學(xué)期就出去找工作了，在很多時(shí)候我都是沒辦法回學(xué)校的，因此在和老師交流的時(shí)候遇到了很大的困難，是程老師不斷的跟我交流，使我在工作之余，不至于拉下論文的任務(wù)，并且程老師在評閱我們論文的時(shí)候，非常細(xì)心，經(jīng)常是哪怕是一個(gè)錯(cuò)字都會(huì)給你挑出來．也正是如此，我的論文每一次都要大修．但是也正是老師的這種嚴(yán)謹(jǐn)，讓我收益匪淺，雖然我的論文不敢說是至善至