電氣工程及其自動(dòng)化畢業(yè)設(shè)計(jì)倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 電氣工程及其自動(dòng)化 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào)

2、 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一種高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，經(jīng)常被

3、現(xiàn)代控制理論的研究人員視為典型的研究對(duì)象，這是因?yàn)榈沽[的控制過程不僅能有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題，并且還可以不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法。通過對(duì)倒立擺的控制，我們能檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。對(duì)倒立擺機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)際意義，對(duì)系統(tǒng)的研究也比較有實(shí)用價(jià)值。</p><p>　　本文論述了倒立擺系統(tǒng)的國(guó)內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)及意義。接著

4、用牛頓力學(xué)分析法建立了一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型，用Lagrange方程建立了二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型。其次介紹了狀態(tài)能控性與能觀性及線性二次型最優(yōu)控制的概念，分析了一級(jí)倒立擺和二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定性，分別基于現(xiàn)代控制理論中的極點(diǎn)配置理論和線性二次型最優(yōu)控制理論，對(duì)一級(jí)倒立擺和二級(jí)倒立擺分別設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器。然后利用Matlab對(duì)倒立擺進(jìn)行計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和仿真，并對(duì)固高小車一級(jí)倒立擺進(jìn)行了實(shí)時(shí)控制。在倒立擺系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)中，擺角曲線最后收斂于零位置，

5、小車位移曲線最后恒定不變。在實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)中，一級(jí)倒立擺系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定，達(dá)到了理想的控制效果。</p><p>　　關(guān)鍵詞：倒立擺；極點(diǎn)配置；最優(yōu)控制；仿真</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　The inverted pendulum is a typical order instable system, w

6、ith multivariable, nonlinear, strong-coupling. It is often regarded as a typical research object by the people who research Modern control theory. This is not only because many key problems, such as calmness, robustness,

7、 follow-up sex and tracking in control can be reflected effectively in the controlling process, but also because some new control strategies and control methods can be explored continuously. The inverted pendulum can be

8、u</p><p>　　The developing trend and significance of studying the inverted pendulum system are expounded in the paper. Then the first level mathematic model of the inverted pendulum is established by the anal

9、ytical method of Newton mechanics, and a double level mathematic model of the inverted pendulum is established with the Lagrange equation. Not only the conception of state controllability and state observability, but als

10、o the conception of linear quadric optimal control is introduced. And then the stabi</p><p>　　Key words: inverted pendulum; pole placement; optimal control; simulation</p><p><b>　　目錄</b

11、></p><p><b>　　第1章 緒論1</b></p><p>　　1.1 本課題國(guó)內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)及意義1</p><p>　　1.2 倒立擺的控制方法1</p><p>　　1.3 本文的主要工作2</p><p>　　第2章 倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模3</p>

12、<p>　　2.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模3</p><p>　　2.1.1 擺桿的受力分析3</p><p>　　2.1.2 小車的受力分析4</p><p>　　2.1.3 線性化后的微分方程5</p><p>　　2.1.4 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式5</p><p>　　2.

13、2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模7</p><p>　　第3章 倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)13</p><p>　　3.1 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能觀性13</p><p>　　3.1.1 系統(tǒng)的能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)13</p><p>　　3.1.2 狀態(tài)反饋和輸出反饋14</p><p>　

14、　3.2 極點(diǎn)配置問題14</p><p>　　3.2.1 單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置14</p><p>　　3.2.2 極點(diǎn)配置算法15</p><p>　　3.2.3 多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置15</p><p>　　3.3 狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)15</p><p>　　3.3.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置的

15、狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)16</p><p>　　3.3.2 直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)17</p><p>　　第4章 基于線性二次型LQR算法的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)20</p><p>　　4.1 二次型最優(yōu)控制問題20</p><p>　　4.2 Q、R陣的選擇21</p><p>

16、　　4.3.1 直線一級(jí)倒立擺LQR控制器的設(shè)計(jì)22</p><p>　　4.3.2 直線二級(jí)倒立擺LQR控制器的設(shè)計(jì)22</p><p>　　第5章 倒立擺系統(tǒng)的仿真24</p><p>　　5.1 直線一級(jí)倒立擺極點(diǎn)配置控制的仿真24</p><p>　　5.2 直線一級(jí)倒立擺LQR控制的仿真25</p><

17、p>　　5.3 直線二級(jí)倒立擺極點(diǎn)配置控制的仿真26</p><p>　　5.4 直線二級(jí)倒立擺LQR控制的仿真27</p><p>　　第6章 小車倒立擺系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制28</p><p>　　6.1 系統(tǒng)概述28</p><p>　　6.1.1 倒立擺本體28</p><p>　　6.1.2 電控箱

18、28</p><p>　　6.1.3 控制平臺(tái)29</p><p>　　6.1.4 系統(tǒng)框圖29</p><p>　　6.2 一級(jí)倒立擺的實(shí)時(shí)控制29</p><p>　　6.2.1 一級(jí)倒立擺實(shí)時(shí)控制結(jié)構(gòu)30</p><p>　　6.2.2 系統(tǒng)子模塊介紹30</p><p>　　

19、6.2.3 實(shí)時(shí)控制結(jié)果31</p><p><b>　　結(jié)論33</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)34</b></p><p><b>　　第1章 緒論</b></p><p>　　1.

20、1 本課題國(guó)內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)及意義</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一種高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，經(jīng)常被現(xiàn)代控制理論的研究人員視為典型的研究對(duì)象，而被作為研究控制理論的實(shí)驗(yàn)裝置。這是因?yàn)榈沽[的控制過程不僅能有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題，并且還可以不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法。許多新的控制理論，都通過倒立擺實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，如模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、擬人控制

21、都受到倒立擺的檢驗(yàn)。通過對(duì)倒立擺的控制，我們能用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力，因此倒立擺具有重要的理論價(jià)值。該課題的研究一直受到國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注，成為控制熱門研究課題之一。</p><p>　　對(duì)倒立擺機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)際意義，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。倒立擺系統(tǒng)不僅具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、原理清晰、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，而且可以用與它有關(guān)的實(shí)驗(yàn)來研究控制理論中許多典型問

22、題，這主要是因?yàn)樗且粋€(gè)典型的多變量系統(tǒng)。許多理論都可以用在這樣的非線性系統(tǒng)，這些理論有觀測(cè)器理論、狀態(tài)反饋理論和濾波理論等。航天、機(jī)器人領(lǐng)域、軍工還有一般工業(yè)過程基本上都用到了控制倒立擺系統(tǒng)所用到的方法，如控制火箭發(fā)射垂直度、控制機(jī)器人平衡行走和控制衛(wèi)星飛行姿態(tài)等。</p><p>　　另一方面對(duì)系統(tǒng)的研究也比較有實(shí)用價(jià)值。日常生活中的一些控制問題和倒立擺控制都很相像，如我們所見到的任何重心在上、支點(diǎn)在下的控制

23、問題，控制空間飛行器和各類伺服云臺(tái)使之穩(wěn)定的問題。因此對(duì)倒立擺的穩(wěn)定控制在航天、機(jī)器人領(lǐng)域、軍工還有一般工業(yè)過程領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，如穩(wěn)定控制衛(wèi)星發(fā)射架、穩(wěn)定控制海上鉆井平臺(tái)、控制火箭衛(wèi)星姿態(tài)、控制機(jī)器人雙足行走、控制飛機(jī)安全著陸和控制化工過程等都是很好的例子。</p><p>　　除此之外，我們可以利用倒立擺系統(tǒng)的非線性、多變量、不穩(wěn)定等特性來描述線性控制領(lǐng)域中不穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和非線性控制領(lǐng)域中的非線性觀

24、測(cè)器、無源性控制、變結(jié)構(gòu)控制、摩擦補(bǔ)償、自由行走等控制思想，而且新的控制理論和控制方法也可以被我們發(fā)掘出來。相關(guān)的成果在機(jī)器人和航空航天等方面獲得了廣闊的應(yīng)用[1]。</p><p>　　1.2 倒立擺的控制方法</p><p>　　對(duì)倒立擺的控制，當(dāng)前有幾種控制方法來實(shí)現(xiàn)控制。它們有線性理論控制、預(yù)測(cè)控制、變結(jié)構(gòu)控制和智能控制等。</p><p><b>

25、;　　1.線性理論控制</b></p><p>　　線性理論控制就是近線性化處理倒立擺系統(tǒng)的非線性模型，處理完后，能在系統(tǒng)的平衡點(diǎn)附近獲得線性化模型，接著利用各種線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)方法，獲得期望的控制器。像這樣的控制方法有常規(guī)PID控制、狀態(tài)反饋控制、線性二次型LQR控制算法。對(duì)于模型簡(jiǎn)單、非線性較小的直線一、二級(jí)倒立擺控制時(shí)，這個(gè)方法能解決這類倒立擺的穩(wěn)定性問題。而對(duì)于模型復(fù)雜、非線性較強(qiáng)的三、四

26、級(jí)以及多級(jí)倒立擺控制時(shí)，線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法就有很大的局限性，因此這需要用更合理、更有效的方法來設(shè)計(jì)[2]。</p><p>　　2.變結(jié)構(gòu)控制和預(yù)測(cè)控制</p><p>　　因?yàn)榈沽[系統(tǒng)是個(gè)非線性、多變量系統(tǒng)，這就使得它與線性控制理論之間有很大的矛盾。針對(duì)這樣的非線性、多變量被控對(duì)象，人們意識(shí)到了要用有非線性特性的多變量控制去解決非線性、多變量系統(tǒng)，于是人們逐漸研究了變結(jié)構(gòu)控制、預(yù)測(cè)控制

27、和自適應(yīng)控制。變結(jié)構(gòu)控制是一種非連續(xù)控制，當(dāng)控制對(duì)象由任意位置到滑動(dòng)曲面上時(shí)，系統(tǒng)仍可保持穩(wěn)定性和魯棒性，不過系統(tǒng)還存在著顫抖。預(yù)測(cè)控制是一種優(yōu)化控制方法，它不強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)，強(qiáng)調(diào)的是實(shí)模型的功能。變結(jié)構(gòu)控制、預(yù)測(cè)控制和自適應(yīng)控制這三種控制在理論上可以取得比較好的控制效果，不過因?yàn)槌杀据^高，控制方法復(fù)雜，在快速變化的系統(tǒng)上不容易實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)[2]。</p><p><b>　　3.智能控制</b>&l

28、t;/p><p>　　倒立擺系統(tǒng)中的智能控制方法主要有模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、云模型控制、遺傳算法、擬人智能控制和仿人智能控制等。</p><p>　　1.3 本文的主要工作</p><p>　　本次設(shè)計(jì)主要是要完成對(duì)直線一級(jí)和二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。</p><p>　　第1章是對(duì)倒立擺系統(tǒng)作個(gè)簡(jiǎn)單的描述，主要是論述了倒立擺系統(tǒng)的國(guó)內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)及

29、意義。另外也介紹了倒立擺系統(tǒng)的幾種控制方法。</p><p>　　第2章是以倒立擺為控制對(duì)象，用牛頓力學(xué)分析法建立直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型和用Lagrange方程建立直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)也簡(jiǎn)單闡述了Lagrange方程建模的一些特點(diǎn)。</p><p>　　第3章是介紹了線性系統(tǒng)的能控性和能觀性的概念及其判據(jù)。接著分析和研究了直線一、二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定性，同時(shí)也判別了倒立擺系統(tǒng)的能控

30、性和能觀性。然后是基于現(xiàn)代控制理論中的極點(diǎn)配置理論分別設(shè)計(jì)了直線一級(jí)和二級(jí)倒立擺的控制器。</p><p>　　第4章首先介紹了線性二次型最優(yōu)控制的概念，接著闡述了Q、R矩陣選擇的原則，然后基于線性二次型最優(yōu)控制理論，分別對(duì)一級(jí)倒立擺和二級(jí)倒立擺設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器。</p><p>　　第5章是對(duì)倒立擺系統(tǒng)的仿真。根據(jù)第三章和第四章所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器，再代入系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并對(duì)仿真結(jié)果

31、進(jìn)行了分析與總結(jié)。</p><p>　　第6章是首先對(duì)倒立擺系統(tǒng)作簡(jiǎn)單的介紹，再根據(jù)第五章的仿真結(jié)果進(jìn)行一級(jí)倒立擺的實(shí)物控制實(shí)驗(yàn)。</p><p>　　第2章 倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模</p><p>　　在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，首先需要做的是建立其數(shù)學(xué)模型，即描述這一系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因?yàn)榻Ｊ茄芯肯到y(tǒng)的重要手段和前提。凡是用模型描述系統(tǒng)的因果關(guān)系或相互關(guān)系的

32、過程都屬于建模。</p><p>　　建立數(shù)學(xué)模型有兩種基本方法：機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法。機(jī)理分析是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法是根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立其數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　而控制系統(tǒng)模型的建立也是有兩種方法。一種是分析系統(tǒng)各個(gè)部分的機(jī)理運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律再列寫出運(yùn)動(dòng)方程，這種方法就是分

33、析法。一種是人為地給定某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，再用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法就是實(shí)驗(yàn)法。</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)適合用分析法。目前，人們對(duì)倒立擺系統(tǒng)的建模有牛頓力學(xué)法和Lagrange方程法。牛頓力學(xué)分析法是把注意力集中在與系統(tǒng)的各個(gè)部分相互聯(lián)系的力和運(yùn)動(dòng)以及各部分之間的相互作用，這種方法適用于一級(jí)倒立擺的建模。Lagrange方程法是把系統(tǒng)看成一個(gè)整體，并用像動(dòng)能、勢(shì)能之類的量來描述函數(shù)，這種

34、方法適用于二級(jí)倒立擺的建模。本章就討論用這兩種方法分別對(duì)一、二級(jí)倒立擺進(jìn)行建模。</p><p>　　2.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模</p><p>　　對(duì)于小車倒立擺系統(tǒng)，在實(shí)際中，系統(tǒng)總存在著一些摩擦，如擺桿與支點(diǎn)之間的摩擦以及小車與導(dǎo)軌之間的摩擦，而這些摩擦都非常小。為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的模型，我們可以忽略這些摩擦。并假設(shè)擺桿為剛體。對(duì)小車倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，其系統(tǒng)如圖2.1所示。

35、</p><p>　　圖2.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)</p><p>　　小車和擺桿是小車倒立擺系統(tǒng)的兩個(gè)部分。這里，我們可以采用隔離的方法，對(duì)小車倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行受力分析。</p><p>　　2.1.1 擺桿的受力分析</p><p>　　首先把擺桿從系統(tǒng)中隔離出來，然后對(duì)其進(jìn)行受力分析。其受力分析圖如圖2.2所示。在擺桿的水平方向上，由受力

36、分析可以得到下面等式：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　圖2.2 擺桿隔離受力分析圖</p><p><b>　　再轉(zhuǎn)化一下，即：</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　在擺桿的垂

37、直方向上，由受力分析可以得到下面等式：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　再轉(zhuǎn)化一下，即： </b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　在擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)方向上，設(shè)是擺桿與垂直向上方向之間的夾角。則有，，，故

38、可得力矩平衡方程如下：</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　2.1.2 小車的受力分析</p><p>　　再把小車從系統(tǒng)中隔離出來，對(duì)其進(jìn)行受力分析。其受力分析圖如圖2.3所示。在小車</p><p>　　圖2.3 小車隔離受力分析圖</p><p><b&

39、gt;　　的水平方向上，有：</b></p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　這里我們不考慮小車的垂直方向的受力情況，故不作受力分析。由上述幾個(gè)方程聯(lián)立，可得一組非線性方程組，如下：</p><p><b>　　（2-7）</b></p><p>　　式中，m

40、：擺桿的質(zhì)量；</p><p><b>　　M：小車的質(zhì)量；</b></p><p>　　b：小車的滑動(dòng)摩擦系數(shù)；</p><p>　　l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度；</p><p><b>　　J：擺桿的慣量；</b></p><p>　　：擺桿與垂直向下方向的夾角；&l

41、t;/p><p>　　N：小車與擺桿相互作用力的水平方向的分量；</p><p>　　P：小車與擺桿相互作用力的垂直方向的分量；</p><p>　　F：加在小車上的力；</p><p>　?。盒≤嚨南鄬?duì)基準(zhǔn)位移。</p><p>　　2.1.3 線性化后的微分方程</p><p>　　消去式（2-

42、7）中的與，可得下列兩個(gè)方程：</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　式（2-8）是關(guān)于的非線性方程組，為了分析方便并得到解析解，我們有必要對(duì)方程組進(jìn)行線性化處理。由于控制的目的是保持?jǐn)[穩(wěn)定于豎直位置附近，小車穩(wěn)定于軌道中心位置附近，故當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角與(弧度)相比很小，即 ，則此時(shí)我們可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。由于，可令：

43、</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　我們?cè)诒磉_(dá)控制理論時(shí)，通常有這個(gè)習(xí)慣，就是用表示控制量。因此在這里，被控對(duì)象的輸入力就用表示。則線性化后，得到兩個(gè)線性微分方程如下：</p><p><b>　　（2-9）</b></p><p>　　2.1.4 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀

44、態(tài)空間表達(dá)式</p><p>　　選取擺桿與垂直向上方向之間的夾角，角速度，小車位移，小車速度為狀態(tài)變量，并令： </p><p>　　由得，，，則可將上述線性微分方程改寫成如下代數(shù)方程組：</p><p><b>　　（2-10） </b></p><p>　　令系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：</p><p&

45、gt;<b>　　（2-11）</b></p><p><b>　?。?-12）</b></p><p>　　則由式（2-10）代入式（2-11）和式（2-12）可得：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　故在這里直接從上式（2-13）得出矩陣與，其中&

46、lt;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　在這里，我們以固高小車倒立擺為研究對(duì)象，假設(shè)其實(shí)際模型參數(shù)如下：</p><p><b>　　小車質(zhì)量</b></p><p><b>　　擺桿質(zhì)量</b></p><p><b>　

47、　小車的滑動(dòng)摩擦系數(shù)</b></p><p>　　擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度</p><p><b>　　擺桿的慣量</b></p><p><b>　　采樣頻率</b></p><p><b>　　重力加速度</b></p><p>　　將

48、上述數(shù)據(jù)代入系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，可得系統(tǒng)矩陣，如下：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　2.2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模</p><p>　　由于二級(jí)倒立擺與直線一級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)是不同的，對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)可用力學(xué)分析方法中的Lagrange方程進(jìn)行建模。這是因?yàn)長(zhǎng)agrange方程有它的特點(diǎn)。首先它是用廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意

49、完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一樣的。其次，在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，僅僅分析已知的主動(dòng)力就行，而不用去分析未知的約束反力，這是因?yàn)槔硐爰s束反力不出現(xiàn)在方程組中。最后它是以能量觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動(dòng)方程式，所以我們只需從兩個(gè)方面分析就可列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式。其中一個(gè)方面是系統(tǒng)的動(dòng)能，它是表征系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)量；另一個(gè)方面是廣義力，它是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量。故用Lagrange方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模不僅使概念清晰，具有一般性，還可以

50、簡(jiǎn)化建模過程。</p><p>　　在這里，我們假設(shè)此二級(jí)倒立擺體為剛體，并假設(shè)無空氣流動(dòng)和各種摩擦，則我們可把倒立擺系統(tǒng)看成小車、勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)。二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)分析示意圖如圖2.4所示。</p><p>　　圖2.4 二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)分析示意圖</p><p>　　我們令為小車的位移，分別為各級(jí)擺桿偏移垂直方向的角度，、、為小車、下擺和上擺的質(zhì)量，分別

51、為下、上擺鏈接點(diǎn)到質(zhì)心的距離，、為上、下擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，g為重力加速度。</p><p>　　設(shè)Lagrange方程：</p><p><b>　?。?-13）</b></p><p>　　則得到受到保守力作用的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的Lagrange方程為：</p><p><b>　　（2-14）</b>

52、</p><p>　　式中為廣義坐標(biāo)，在這里為小車的位移和各級(jí)擺桿偏移垂直方向的角度，為作用在系統(tǒng)上的廣義力，當(dāng)、時(shí)，；T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢(shì)能。則對(duì)小車和倒立擺可得下列方程：</p><p><b>　　小車動(dòng)能：</b></p><p><b>　?。?-15）</b></p><p>&

53、lt;b>　　下擺桿的動(dòng)能：</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p><b>　　上擺桿的動(dòng)能：</b></p><p><b>　?。?-17）</b></p><p><b>　　質(zhì)量塊的動(dòng)能：</b>

54、;</p><p><b>　?。?-18）</b></p><p><b>　　系統(tǒng)的總動(dòng)能：</b></p><p><b>　?。?-19）</b></p><p><b>　　小車的勢(shì)能： </b></p><p><

55、b>　?。?-20）</b></p><p><b>　　下擺桿的勢(shì)能：</b></p><p><b>　?。?-21）</b></p><p><b>　　上擺桿的勢(shì)能：</b></p><p><b>　　（2-22）</b><

56、;/p><p><b>　　質(zhì)量塊的勢(shì)能：</b></p><p><b>　?。?-23）</b></p><p><b>　　系統(tǒng)的總勢(shì)能：</b></p><p><b>　?。?-24）</b></p><p><b>

57、;　　故</b></p><p><b>　?。?-25）</b></p><p><b>　　對(duì)廣義坐標(biāo)，有：</b></p><p><b>　?。?-26）</b></p><p>　　將上式（2-26）展開得到以下式子：</p><p&g

58、t;<b>　?。?-27）</b></p><p><b>　?。?-28）</b></p><p>　　再對(duì)其整理化簡(jiǎn)，得到：</p><p><b>　?。?-29）</b></p><p><b>　　（2-30）</b></p>&

59、lt;p>　　若將，表示成以下形式：</p><p>　　且平衡位置時(shí)，各變量的初值為零，即：</p><p>　　則將在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù)，并線性化，可以得到：</p><p>　　那么由式（2-29）和式（2-30）得到關(guān)于，的式子，即</p><p><b>　?。?-31）</b></p>

60、<p><b>　?。?-32）</b></p><p>　　此時(shí)，我們便得到了兩個(gè)線性化后的微分方程，若用加速度作為輸入，則可以得到一個(gè)方程</p><p><b>　　若令：</b></p><p>　　則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：</p><p><b>　?。?-33）&l

61、t;/b></p><p><b>　?。?-34）</b></p><p>　　其中二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的一些參數(shù)如下：</p><p><b>　　小車質(zhì)量</b></p><p><b>　　下擺桿質(zhì)量</b></p><p><b>　

62、　上擺桿質(zhì)量</b></p><p><b>　　質(zhì)量塊</b></p><p>　　下擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度</p><p>　　上擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度</p><p><b>　　重力加速度</b></p><p><b>　　代入數(shù)據(jù)得：

63、</b></p><p>　　至此我們已建立二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，得到它的狀態(tài)空間表達(dá)式。</p><p>　　第3章 倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)</p><p>　　現(xiàn)代控制理論是在20世紀(jì)50年代中期迅速興起的空間技術(shù)的推動(dòng)下發(fā)展起來的?，F(xiàn)代控制理論形成的主要標(biāo)志是以狀態(tài)空間法、極大值原理等為基礎(chǔ)的分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的新的原理和方

64、法得到確立。在此期間，控制理論逐漸由經(jīng)典控制理論過渡到現(xiàn)代控制理論。20世紀(jì)60年代初，狀態(tài)空間描法被卡爾曼、貝爾曼等人引入到控制理論中。此方法引入了兩個(gè)控制理論中最基本的、能夠反映控制系統(tǒng)的重要特性的概念，它們就是可控性和可觀測(cè)性?；跔顟B(tài)空間描述的分析和綜合線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法在隨后的十年間也比較系統(tǒng)的形成了。</p><p>　　狀態(tài)空間法是現(xiàn)代控制理論中建立在狀態(tài)變量描述基礎(chǔ)上的對(duì)控制系統(tǒng)分析和綜合的方法

65、。這種方法是用描述系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系的態(tài)空間描述，并在時(shí)域內(nèi)分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，而不是用經(jīng)典控制理論中描述外部輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)而在頻域內(nèi)分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)。狀態(tài)空間法不僅適用于單輸入單輸出和線性時(shí)不變系統(tǒng)，對(duì)時(shí)變系統(tǒng)和多輸入多輸出系統(tǒng)也適用。對(duì)于狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，我們經(jīng)常用極點(diǎn)配置算法來設(shè)計(jì)控制器。如果所有的狀態(tài)變量都能測(cè)量并且也能反饋，且系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則我們就能用極點(diǎn)配置的方法，通過一個(gè)恰當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣，就能把閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置

66、到任何我們所期望的位置上。</p><p>　　本章首先介紹了系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能觀性的概念及其判據(jù)，并且也介紹了狀態(tài)反饋和輸出反饋的概念及空間表達(dá)式。接著簡(jiǎn)述了單輸入和多輸入極點(diǎn)配置算法的步驟。最后在建立一、二級(jí)倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的基礎(chǔ)上分別對(duì)一、二級(jí)倒立擺進(jìn)行極點(diǎn)配置，同時(shí)求得不同極點(diǎn)配置下的狀態(tài)反饋矩陣K。</p><p>　　3.1 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能觀性</

67、p><p>　　對(duì)在系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí)，首先要判斷系統(tǒng)是否可控。所謂系統(tǒng)的可控性是指系統(tǒng)中的每一個(gè)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來影響和控制，從任意的起始點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)。這種可控是狀態(tài)完全能控的，若不是這樣，則稱系統(tǒng)是不完全可控的。系統(tǒng)的可觀性是指系統(tǒng)中所有的狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)可以由輸出完全反映出來。這種可觀是狀態(tài)完全能觀的，否則系統(tǒng)是不完全能觀的。</p><p>　　對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程：<

68、/p><p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　此時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)能控性指的是輸入量u(t)支配狀態(tài)向量X(t)的能力，它回答了控制輸入u(t)能否使?fàn)顟B(tài)向量X(t)作任意轉(zhuǎn)移的問題；系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性指的輸出量Y(t)支配狀態(tài)向量X(t)的能力，它回答了能否通過輸

69、出量Y(t)的測(cè)量值確定狀態(tài)向量X(t)的問題[3]。</p><p>　　3.1.1 系統(tǒng)的能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)</p><p>　　對(duì)于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，有許多可控性判據(jù)，其中有秩判據(jù)、約旦規(guī)范形判據(jù)、PBH判據(jù)等。在這里我們就用秩判據(jù)討論系統(tǒng)的能控性。</p><p>　　對(duì)于上式（3-1）和（3-2）所示的狀態(tài)空間描述方程，其中A為矩陣，B為矩陣，C

70、為矩陣。則系統(tǒng)可控的充分必要條件是：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　系統(tǒng)可觀的充分必要條件是：</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　3.1.2 狀態(tài)反饋和輸出反饋</p><p>　　狀態(tài)反饋指的是在構(gòu)成閉

71、環(huán)控制系統(tǒng)時(shí)，利用系統(tǒng)中的全部狀態(tài)變量通過反饋網(wǎng)絡(luò)引入到系統(tǒng)的輸入端起控制調(diào)整作用的這樣一類系統(tǒng)。若線性定常系統(tǒng)如下所示，，將它的u取為狀態(tài)X的線性函數(shù)</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　時(shí)，稱其為狀態(tài)反饋。若將控制u取為輸出y的線性函數(shù)</p><p><b>　?。?-6）</b>&l

72、t;/p><p>　　則稱其為輸出反饋。式中的v是參考輸入。</p><p>　　對(duì)狀態(tài)反饋，其狀態(tài)空間描述為：</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為：</p><p><b>　?。?-8）</b></p>&l

73、t;p>　　對(duì)輸出反饋，其狀態(tài)空間描述為：</p><p><b>　　（3-9）</b></p><p>　　相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為：</p><p><b>　?。?-10）</b></p><p>　　3.2 極點(diǎn)配置問題</p><p>　　3.2.1 單輸入系統(tǒng)

74、的極點(diǎn)配置</p><p>　　設(shè)給定的線性定常系統(tǒng)為：</p><p><b>　　（3-11）</b></p><p>　　式中，為n維狀態(tài)變量，u為p維控制向量，A和B為已知的相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)陣。若給定n個(gè)反映性能指標(biāo)的期望閉環(huán)極點(diǎn)為：</p><p>　　它們或?yàn)閷?shí)數(shù)，或是共軛復(fù)數(shù)。那么，極點(diǎn)配置的問題就是要確定一

75、個(gè)的狀態(tài)反饋增益陣K，使?fàn)顟B(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：</p><p><b>　?。?-12）</b></p><p>　　的極點(diǎn)為，即使它的特征值滿足滿足下列關(guān)系式：</p><p><b>　?。?-13）</b></p><p><b>　　式中表示的特征值。</b></p&

76、gt;<p>　　3.2.2 極點(diǎn)配置算法</p><p>　　反饋增益矩陣有兩種方法可以求。這里僅介紹一種。其算法步驟如下：</p><p>　　1. 判斷(A,B)是否可控，若完全可控，進(jìn)入下一步；若不完全可控，停止計(jì)算；</p><p>　　2. 計(jì)算由期望閉環(huán)特征值決定的特征多項(xiàng)式：</p><p>　　3. 令，并計(jì)算

77、A-BK的特征多項(xiàng)式，有：</p><p>　　式中的，，是由組成的關(guān)系式。</p><p>　　4. 比較兩個(gè)特征多項(xiàng)式的系數(shù)可得：</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　5. 計(jì)算K。</b></p><p>　　3.2.3 多輸入系統(tǒng)的極

78、點(diǎn)配置</p><p>　　對(duì)于多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題，有許多種算法可以確定狀態(tài)反饋增益矩陣，但比起單輸入系統(tǒng)則要復(fù)雜得多。在多變量系統(tǒng)中，狀態(tài)反饋增益矩陣K不是唯一的。但從工程應(yīng)用的角度來說，希望K的各個(gè)元素盡可能小。如何得到一個(gè)簡(jiǎn)單而實(shí)用的多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法仍是一個(gè)尚需解決的問題。目前大多是采用適合計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的規(guī)范化方法。設(shè)給定多變量系統(tǒng)可控，其一般計(jì)算步驟如下：

79、 </p><p>　　將可控矩陣對(duì)化成某種規(guī)范型(如龍伯格規(guī)范型)；</p><p>　　將給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)按規(guī)范型計(jì)算它們的特征多項(xiàng)式；</p><p>　　求取規(guī)范型的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　3.3 狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)&

80、lt;/p><p>　　首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。給定式（3-1）和式（3-2）的系統(tǒng)：</p><p><b>　　我們令</b></p><p><b>　　（3-13）</b></p><p>　　式中的v是參考輸入，K為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是的向量。</p><

81、p>　　將式子代入上述動(dòng)態(tài)方程，就可得出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如式（3-7）所示。式（3-7）中的為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。</p><p>　　加入狀態(tài)反饋矩陣后的系統(tǒng)方塊圖如圖3.1所示：</p><p>　　圖3.1 加入狀態(tài)反饋矩陣后的系統(tǒng)方塊圖</p><p>　　我們很容易證明若原來系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來系統(tǒng)不

82、可控，不論用什么K陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性。</p><p>　　極點(diǎn)配置問題就是把閉環(huán)極點(diǎn)組配置到所希望的位置上 ,使綜合得到的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能達(dá)到期望的要求。通過選取反饋增益矩陣來改變閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置問題。</p><p>　　3.3.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)</

83、p><p>　　在上面我們已求出直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)方程為式（3-1）和（3-2）所示。其中的矩陣，如下：</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　則系統(tǒng)的特征方程為：</p><p><b>　?。?-14）</b></p><p>　　這里的I為矩陣，將

84、矩陣A代入系統(tǒng)的特征方程，則可得到：</p><p><b>　?。?-15）</b></p><p>　　求出系統(tǒng)的開懷極點(diǎn)為：，，，。從中可以看出系統(tǒng)存在著一個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)和一個(gè)臨界不穩(wěn)定極點(diǎn)，故在這里我們可以說明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　因此，在這里，我們有必要對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置，把該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到我們所希望的位置上。

85、進(jìn)行極點(diǎn)配置前，必須討論該系統(tǒng)的可控性。</p><p>　　利用式（3-3）所示的可控性判據(jù)進(jìn)行判別。由于A為4階矩陣，故這里的n取4，將矩陣A 與矩陣B代入，容易證得該系統(tǒng)可控。</p><p>　　我們引入狀態(tài)反饋增益矩陣K，令，代入閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。</p><p><b>　　則</b></p><p>

86、;<b>　　那么的特征式</b></p><p><b>　　令，得以下式子：</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p>　　當(dāng)我們指定以下特征值，即：</p><p><b>　　，</b></p><

87、;p>　　此時(shí)，得到我們期望的特征式：</p><p><b>　?。?-17）</b></p><p>　　比較兩個(gè)特征式的系數(shù)，可以列出關(guān)于k1 、k2、、k3 、k4的方程組：</p><p><b>　?。?-18）</b></p><p>　　求解方程組后，得到的解為：k1=-1.0

88、608，k2=-1.3730，k3=20.0856，k4=3.0232。.則狀態(tài)反饋增益矩陣K=[-1.0608 -1.3730 20.0856 3.0232]。</p><p>　　當(dāng)指定的特征值為，時(shí)，狀態(tài)反饋增益矩陣K=[-84.1250 -48.3908 152.3370 27.0998]。</p><p>　　至此，已求得直線一級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器。</p&g

89、t;<p>　　3.3.2 直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)</p><p>　　由第二章求出的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如式（2-33）和式（2-33）所示。其中求得的矩陣A與矩陣B如下：</p><p>　　由矩陣A易得系統(tǒng)的開懷極點(diǎn)為s=9.6946、4.8209、-9.6946、-4.8209、0、0。故系統(tǒng)存在兩個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)和兩個(gè)臨界穩(wěn)定極點(diǎn)

90、，則由此可判斷系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。我們可用極點(diǎn)配置算法把極點(diǎn)配置到穩(wěn)定的極點(diǎn)位置上，且使系統(tǒng)能有最佳的輸出響應(yīng)。下面就介紹通過極點(diǎn)配置得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器。</p><p>　　首先判斷系統(tǒng)的可控性，由可控性判據(jù)如式（3-3）所示，容易證得系統(tǒng)是可控的。我們引入狀態(tài)反饋增益矩陣K，令，代入閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，得：</p><p><b>　　（3-19）</

91、b></p><p>　　令，可得到關(guān)于k1、k2、k3、k4、k5、k6的一個(gè)方程。設(shè)指定的特征值為λ=-10 +10i、-10 -10i、-5 + 5i、-5 - 5i-2 + i和-2 – i，則我們可以得到一個(gè)期望特征式：</p><p><b>　　（3-20）</b></p><p>　　由比較這兩個(gè)方程式的同類項(xiàng)可求得k1、

92、k2、k3、k4、k5、k6。為了避免列寫k1、k2、k3、k4、k5、k6時(shí)而帶來計(jì)算量的麻煩，這里可用編寫Matlab語(yǔ)言進(jìn)行計(jì)算。求狀態(tài)反饋矩陣K的Matlab語(yǔ)句如下：</p><p>　　A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;</p><p>　　0 78.6370 -21.6252 0 0 0;0 -39.3185

93、 38.5904 0 0 0];</p><p>　　B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];</p><p>　　C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];</p><p>　　P1=-10+10i;</p><p>　　P2=-10-10i;</p><p>&l

94、t;b>　　P3=-5+5i;</b></p><p><b>　　P4=-5-5i;</b></p><p><b>　　P5=-2+i;</b></p><p><b>　　P6=-2-i;</b></p><p>　　K=place(A,B,[P1,P2

95、,P3,P4,P5,P6]);</p><p>　　經(jīng)編譯后得出：K=[ 22.8900 114.4942 -227.7937 25.1790 1.0716 -37.2451]。當(dāng)指定極點(diǎn)為λ=-12 +12i、-12 -12i、-7+ 7i、-7 - 7i、-4 +3 i和-4 –3 i時(shí)，求出的K為：K=[ 323.0233 138.7026 -747.7030 176.4322 -24.5401 -130.

96、1616]。</p><p>　　第4章 基于線性二次型LQR算法的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)</p><p>　　第三章已經(jīng)設(shè)計(jì)出了直線一級(jí)倒立擺基于極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器對(duì)倒立擺進(jìn)行控制。這里還可以用線性二次型LQR算法來設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器對(duì)倒立擺進(jìn)行控制。這一章就就描述LQR算法的基本原理及如何用LQR算法來設(shè)計(jì)出一個(gè)狀態(tài)反饋控制器。</p><p>　　線性

97、二次型性最優(yōu)控制理論也算是現(xiàn)代控制理論的一種。LQR(linear quadratic regulator)也就是線性二次型調(diào)節(jié)器。它控制的是狀態(tài)空間描述的線性系統(tǒng)。它有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)J，那是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)變量和控制輸入的二次型函數(shù)。在控制時(shí)，要設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器K，能使這個(gè)目標(biāo)函數(shù)要為最小。這里Q、R的選擇非常關(guān)鍵，因?yàn)檫@兩個(gè)矩陣唯一決定矩陣K。本章首先介紹了二次型最優(yōu)控制問題以及Q、R矩陣的選擇問題，最后設(shè)計(jì)了一級(jí)倒立擺和二級(jí)倒立擺

98、系統(tǒng)的LQR控制器。</p><p>　　4.1 二次型最優(yōu)控制問題</p><p>　　設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　并設(shè)二次型性能指標(biāo)函數(shù)為</p><p><b>　　（4-2）</b></

99、p><p>　　式中，S為對(duì)稱半正定維(常數(shù))終端加權(quán)陣；Q(t)為對(duì)稱半正定維(時(shí)變) 狀態(tài)加權(quán)陣；R(t)為對(duì)稱正定維(時(shí)變) 狀態(tài)加權(quán)陣；t0、t1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的起始與終端時(shí)間。式中的第一項(xiàng)表示的是終值誤差，從理論上講積分項(xiàng)中的第一項(xiàng)已經(jīng)包含了終端誤差的成分，但是如果要特別強(qiáng)調(diào)終值誤差，則可以加上這一項(xiàng)，反之就可以不用加了。</p><p>　　最優(yōu)控制問題是為給定的系統(tǒng)尋找一個(gè)最優(yōu)控制規(guī)

100、律，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(t1)，且滿足性能指標(biāo)式最小。在最優(yōu)控制作用下的解稱為最優(yōu)軌跡，最小的性能指標(biāo)稱為最優(yōu)性能指標(biāo)。</p><p>　　因此二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題實(shí)質(zhì)上就是:要求用較小的控制能量來獲得較小的誤差的最優(yōu)控制。</p><p>　　首先構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：</p><p><b>　?。?-3）</b><

101、;/p><p>　　式中，為構(gòu)造的n維共態(tài)向量。</p><p>　　由于控制量u(t)不受約束，所以使H取絕對(duì)極小值的最優(yōu)控制可通過駐點(diǎn)條件</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　求出?？紤]R(t)是對(duì)稱正定矩陣，則</p><p><b>　　（4-5）&l

102、t;/b></p><p>　　我們可以證明在整個(gè)時(shí)間過程，與存在線性關(guān)系，因而可以假設(shè)</p><p><b>　　（4-6）</b></p><p>　　式中為黎卡提微分方程的解：</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　則常數(shù)陣，且，故

103、有：</p><p><b>　　（4-8）</b></p><p>　　此式稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。因此由可得狀態(tài)反饋向量：。由此可見最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選擇合適的加權(quán)陣Q和R，并據(jù)此計(jì)算出黎卡提矩陣代數(shù)方程中的P，就可以求出反饋增益K了。</p><p>　　最優(yōu)線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器框圖如圖4.1所示：</p><p>

104、;　　圖4.1 最優(yōu)線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器框圖</p><p>　　4.2 Q、R陣的選擇</p><p>　　在利用LQR方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，如何選取二次型性能指標(biāo)是一個(gè)最關(guān)鍵、最重要的問題。要想確定加權(quán)陣Q、R并非易事，到現(xiàn)在還是一項(xiàng)重要且困難的工作。這是因?yàn)橹两裎覀冞€未完全建立二次型性能指標(biāo)與實(shí)際工程意義的品質(zhì)指標(biāo)間的聯(lián)系。</p><p>　　一般來說，在選取加權(quán)矩陣

105、Q和R，我們都要折衷考慮提高控制性能與降低控制能量消耗這兩個(gè)方面。為了使問題簡(jiǎn)單，且使加權(quán)陣Q和R的各元素有明顯的物理意義，通常將加權(quán)陣Q和R選為對(duì)角陣。這樣可以看出qi是對(duì)狀態(tài)xi的平方的加權(quán)，qi相對(duì)減小時(shí)就意味著對(duì)xi的要求不嚴(yán)，反之，就意味著對(duì)xi的要求較嚴(yán)；其中R是對(duì)控制量u的平方的加權(quán)，當(dāng)R相對(duì)較小，意味著控制費(fèi)用較低，使得控制能量較大，反饋增強(qiáng)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速；當(dāng)R相對(duì)很大時(shí)，控制費(fèi)用較高，反饋減小，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)就變慢。

106、常見的還是采取試湊法，即一邊看控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果，一邊進(jìn)行調(diào)整再仿真的辦法。具體的說，先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或只是任意的設(shè)定一組Q或R值進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，然后觀察控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果，如果系統(tǒng)的性能指標(biāo)不能滿足要求，便調(diào)整加權(quán)矩陣Q和R的值，重新設(shè)計(jì)和仿真。反復(fù)進(jìn)行這一過程，直至獲取滿意性能指標(biāo)的狀態(tài)反饋增益矩陣為止。選取Q和R的基本原則是：要降低系統(tǒng)的誤差可增加Q；如果對(duì)控制量有約束，則只能同時(shí)選取Q或R，使控制量滿足約束條件?？傊?，總的設(shè)計(jì)目標(biāo)是

107、在滿足所給定的約束條件下，取得盡可能好的系統(tǒng)控制性能。如果將Q和R取為時(shí)變陣，則可以在開始控制的</p><p>　　4.3 LQR控制器的設(shè)計(jì)</p><p>　　4.3.1 直線一級(jí)倒立擺LQR控制器的設(shè)計(jì)</p><p>　　由前面幾章我們已經(jīng)知道直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)方程及系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需設(shè)計(jì)一個(gè)LQR的狀態(tài)反饋控制器。為了簡(jiǎn)單起見，我們選取R=1，。由于&

108、lt;/p><p><b>　　則</b></p><p>　　我們可以改變Q矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。Q11、Q33分別為小車位置的敏感程度和擺桿角度的敏感程度。首先取Q11、Q33分別為100和100，則由以下程序求得狀態(tài)反饋矩陣K。程序如下：</p><p>　　A=[0 1 0 0;0 -0.0883 0.6422 0;

109、0 0 0 1;0 -0.2357 28.3965 0];</p><p>　　B=[0;0.8832;0;2.3566];</p><p>　　C=[1 0 0 0;0 0 1 0];</p><p><b>　　R=1;</b></p><p>　　Q=[100 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 100 0;0

110、 0 0 0 ];</p><p>　　K=lqr(A,B,Q,R)</p><p>　　經(jīng)編譯，求得K = [-10.0000 -9.1533 52.5255 9.8380]。當(dāng)Q11、Q33分別取為500和100時(shí)，K = [-22.3607 -16.2577 70.2009 13.3086]。當(dāng)Q11、Q33分別取為5000和100時(shí)，K = [-84.1250 -48.3908 1

111、52.3370 27.0998]。</p><p>　　4.3.2 直線二級(jí)倒立擺LQR控制器的設(shè)計(jì)</p><p>　　我們已經(jīng)得到直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，其中系統(tǒng)矩陣為：</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　則我們可以計(jì)算系統(tǒng)的特征值，通過MATLAB軟件編程，可以得到系統(tǒng)的特征值為9

112、.6946、4.8209、-9.6946、-4.8209、0、0。從中可以看出系統(tǒng)有兩個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)和兩個(gè)臨界不穩(wěn)定極點(diǎn)。則這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，此時(shí)必須設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，這里還可用LQR控制器。</p><p>　　若使用狀態(tài)完全反饋控制器。其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4.1所示：</p><p>　　圖4.1 直線二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖</p><p>　　圖中V

113、為加在小車上的階躍輸入，六個(gè)狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4、x5、x6分別代表小車位移、下擺位置、上擺位置、下車速度、下擺角速度、上擺角速度。輸出包括小車位置、下擺位置和上擺位置。設(shè)計(jì)控制器的目的就是使得當(dāng)給這個(gè)系統(tǒng)加入一個(gè)階躍信號(hào)時(shí)，小車能左右移動(dòng)，最后回到導(dǎo)軌中心附近，擺桿還能回到垂直向上的位置。</p><p>　　同樣地，一個(gè)最關(guān)鍵的問題還是加權(quán)陣Q、R的選擇。這里我們就假設(shè)R=1，Q為單位矩陣。通過改變

114、Q矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。其中，Q11 、Q22 、Q33分別為小車位置的敏感程度、下擺桿角度的敏感程度、上擺桿角度的敏感程度，R為輸入的敏感程度。</p><p>　　首先取Q11=200，Q22=100，Q33=100，R=1，則由下列程序：</p><p>　　A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;

115、</p><p>　　0 78.6370 -21.6252 0 0 0;0 -39.3185 38.5904 0 0 0];</p><p>　　B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];</p><p><b>　　R=1;</b></p><p>　　Q=[200 0 0 0 0 0;0 100 0 0

116、0 0;0 0 100 0 0 0;</p><p>　　0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];</p><p>　　K=lqr(A,B,Q,R)</p><p>　　poles=eig(A-B*K)</p><p><b>　　求得：</b></p><p>

117、　　狀態(tài)反饋后的閉環(huán)極點(diǎn)為-10.0315 + 2.5317i、-10.0315 - 2.5317i、-5.2787 + 2.6067i、-5.2787 - 2.6067i、-2.2651 + 1.7877i、-2.2651 - 1.7877i。此時(shí)的極點(diǎn)全部是穩(wěn)定的極點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。</p><p>　　當(dāng)取Q11=200，Q22=100，Q33=100，R=0.1時(shí)，求得K為：</p>&

118、lt;p>　　狀態(tài)反饋后的閉環(huán)極點(diǎn)為-11.6336 + 7.5331i、-11.6336 - 7.5331i、-6.7105 + 3.1336i、-6.7105 - 3.1336i、-2.5195 + 1.7099i、-2.5195 - 1.7099i。</p><p>　　第5章 倒立擺系統(tǒng)的仿真</p><p>　　5.1 直線一級(jí)倒立擺極點(diǎn)配置控制的仿真</p>

119、<p>　　根據(jù)前面所建立的一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間表達(dá)式及設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器， </p><p>　　首先在Simulink環(huán)境中建立仿真結(jié)構(gòu)圖，如圖5.1所示：</p><p>　　圖5.1 直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)反饋的仿真結(jié)構(gòu)原理圖</p><p>　　圖中A、B、D為第二章所求得的矩陣，C取為四階單位矩陣，則輸出矩陣Y便是狀態(tài)變量矩陣X。圖中

120、的示波器1能觀察到控制量的輸出波形。圖中的示波器2能觀察到每個(gè)狀態(tài)變量的輸出波形。這里的每個(gè)狀態(tài)變量分別代表直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的小車位置、擺桿角度、小車速度和擺桿角速度。當(dāng)配置的極點(diǎn)為-7.4527+9.666i、-7.4527-9.666i、-3.1538+1.8334i、-3.1538-1.8334i時(shí)，反饋矩陣K = [-84.1250 -48.3908 152.3370 27.0998]，代入系統(tǒng)仿真。仿真前輸入狀態(tài)變量

121、的初始值為X0=[0;0.05;0;0]，給定階躍輸入，得到直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的小車位置、擺桿角度、小車速度和擺桿角速度的仿真曲線如圖5.2所示，控制量的仿真曲線如圖5.3所示。</p><p>　　小車位移 擺桿角度</p><p>　　小車速度 擺桿角速度</p><