直線倒立擺的穩(wěn)定控制算法設計論文[帶圖紙]

1、<p>　　本科畢業(yè)設計(論文)</p><p>　　題目：直線倒立擺的穩(wěn)定控制算法設計</p><p>　　系 別： 機電信息系 </p><p>　　專 業(yè)： 機械設計制造及其自動化 </p><p>　　班 級： </p>

2、<p>　　學 生： </p><p>　　學 號： </p><p>　　指導教師： </p><p><b>　　2013年5月</b></p><p>　　直線倒立擺的穩(wěn)定控制算法設計&

3、lt;/p><p><b>　　摘要 </b></p><p>　　本文首先利用牛頓力學分析的方法和拉格朗日法建立了直線一級、二級、三級倒立擺實物系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程，并在此基礎上分析了該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，同時又是能控的和能觀的。基于此本文設計了直線倒立擺系統(tǒng)的機械本體部分，研究了直線一級、二級、三級倒立擺系統(tǒng)的 PID、LQR和狀態(tài)空間極點配置控制算法，同時利用 MA

4、TLAB/Simulink對各個算法進行分析，由仿真結果表明：對于像倒立擺這樣的非線性模型，通過對其數(shù)學模型的建立，設計相應的控制器,并對其實現(xiàn)控制是可行的。</p><p>　　關鍵詞：直線倒立擺；PID；LQR；狀態(tài)空間極點配置；仿真</p><p>　　The stability of linear inverted pendulum control algorithm desig

5、n</p><p>　　Abstract </p><p>　　In this paper，we firstly use the Newton mechanics analysis method and the Lagrange method to establish the linear level 1，level 2，level 3 inverted pendulum linea

6、r state equation of real system.In the meantime，the system is unstable by analyzing the linear state equation，but it is also controllable and observable.And then we describe on the physical system of the linear inverted

7、pendulum.This paper studied the linear level 1，level 2，level 3 of the inverted pendulum system PID，LQR and state space </p><p>　　Key words：linear inverted pendulum；PID；LQR；state space pole configuration； <

8、;/p><p>　　simulation </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p><b>　　1.1前言1</b></p><p>　　1.2

9、倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義1</p><p>　　1.3國內外倒立擺控制研究發(fā)展及現(xiàn)狀2</p><p>　　1.4本文主要工作4</p><p>　　2 倒立擺機械系統(tǒng)設計及實現(xiàn)5</p><p>　　2.1 倒立擺簡介5</p><p>　　2.2 倒立擺工作特性和工作原理5</p><

10、;p>　　2.2.1工作特性5</p><p>　　2.2.2系統(tǒng)工作原理5</p><p>　　2.3系統(tǒng)機械結構設計6</p><p>　　2.3.1底座設計6</p><p>　　2.3.2小車部分設計6</p><p>　　2.3.3 傳動部分設計7</p><p>　

11、　2.3.4 步進電機選擇7</p><p>　　3 一級直線倒立擺系統(tǒng)的建模分析與仿真10</p><p>　　3.1一級倒立擺模型分析10</p><p>　　3.1.1系統(tǒng)可觀可控性分析13</p><p>　　3.1.2系統(tǒng)階躍響應分析14</p><p>　　3.2一級直線倒立擺控制器設計與仿真1

12、5</p><p>　　3.2.1PID控制器設計及算法仿真15</p><p>　　3.2.2 LQR控制器設計及算法仿真18</p><p>　　3.2.3狀態(tài)空間極點配置控制設計及仿真20</p><p>　　3.2.4小結22</p><p>　　4 二級直線倒立擺系統(tǒng)的建模分析與仿真24</p

13、><p>　　4.1二級倒立擺模型的分析24</p><p>　　4.1.1二級倒立擺穩(wěn)定性分析29</p><p>　　4.1.2能控性能觀性分析29</p><p>　　4.2二級直線倒立擺控制器設計與仿真30</p><p>　　4.2.1LQR控制器設計及算法仿真30</p><p&g

14、t;　　4.2.2狀態(tài)空間極點配置控制設計及仿真31</p><p>　　4.2.3小結32</p><p>　　5 三級直線倒立擺系統(tǒng)建模分析與仿真34</p><p>　　5.1二級倒立擺模型分析34</p><p>　　5.1.1三級倒立擺穩(wěn)定性分析39</p><p>　　5.1.2能控性能觀性分析

15、39</p><p>　　5.2三級直線倒立擺控制器設計與仿真40</p><p>　　5.2.1LQR控制器設計及算法仿真40</p><p>　　5.2.2狀態(tài)空間極點配置控制設計及仿真41</p><p>　　5.2.3小結43</p><p>　　6 總結與展望44</p><p&

16、gt;<b>　　參考文獻45</b></p><p><b>　　致謝46</b></p><p>　　畢業(yè)設計（論文）知識產權聲明錯誤!未定義書簽。</p><p>　　畢業(yè)設計（論文）獨創(chuàng)性聲明47</p><p><b>　　附錄48</b></p>

17、;<p><b>　　1 緒論 </b></p><p><b>　　1.1前言 </b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一個非線性自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控制策略的理想驗證平臺。倒立擺系統(tǒng)的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強藕合等特性，使得許多現(xiàn)代控制理論研究人員一直將它視為最佳的理論方法驗證試驗研究

18、對象，不斷從研究倒立擺控制中發(fā)掘出新的控制方法，并將其應用于航天科技、機器人學、海上鉆井平臺、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制、太空探測器著陸控制和測量儀器展開穩(wěn)定控制等各種高新科技領域[1]。倒立擺系統(tǒng)在控制過程中能有效地反映控制中的許多關鍵問題，如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動問題、鎮(zhèn)定問題及跟蹤問題等。作為一個實驗裝置，形象直觀，結構簡單，構件組成參數(shù)和形狀易于改變，成本低廉。 </p><p&

19、gt;　　倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度、小車位移和穩(wěn)定時間直接度量，其實驗效果直觀、顯著。</p><p>　　1.2倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義 </p><p>　　對倒立擺系統(tǒng)的研究不僅僅在其結構簡單、原理清晰、易于實現(xiàn)等特點，而且作為典型的多變量系統(tǒng)，可采用實驗來研究控制理論中許多方面的問題。在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立

20、擺的典型性在于，倒立擺系統(tǒng)作為一個控制裝置，它結構簡單、價格低廉，便于模擬和數(shù)字多種不同的方式控制，通過引入適當?shù)目刂品绞绞怪蔀橐粋€穩(wěn)定的系統(tǒng)，而且當一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴格證明時，可以考慮通過倒立擺裝置來驗證其正確性和實用性。另一方面對系統(tǒng)的研究也比較有實用價值，從日常生活中所見的任何重心在上、支點在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性。倒立擺的研究不僅有其深刻的

21、理論意義，還有重要的工程背景。它的工程背景如下：</p><p>　　(1)機器人的站立與行走類似雙倒立擺系統(tǒng)，盡管第一臺機器人在美國問</p><p>　　世至今已有三十年的歷史，機器人的關鍵技術——機器人的行走控制至今仍未能很好解決。 </p><p>　　(2)在火箭等飛行器的飛行過程中，為了保持其正確的姿態(tài)，要不斷進行</p><p>

22、;<b>　　實時控制。 </b></p><p>　　(3)通信衛(wèi)星中在預先計算好的軌道和確定的位置上運行的同時，要保持</p><p>　　其穩(wěn)定的姿態(tài)，使衛(wèi)星天線一直指向地球，使它的太陽能電池板直指向太陽。 </p><p>　　(4)為防止單級火箭在拐彎時斷裂而誕生的柔性火箭（多級火箭），其飛</p><p>　

23、　行姿態(tài)的控制也可以用多級倒立擺系統(tǒng)進行研究。 </p><p>　　(5)偵察衛(wèi)星中攝像機的輕微抖動會對攝像的圖象質量產生很大的影響，</p><p>　　為了提高攝像的質量，必須能自動地保持伺服云臺的穩(wěn)定，消除震動。</p><p>　　1.3國內外倒立擺控制研究發(fā)展及現(xiàn)狀 </p><p>　　在國外，倒立擺系統(tǒng)研究最早始于上世紀

24、50 年代，麻省理工學院機電工程系的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設計出一級倒立擺實驗裝置。但是正式提出倒立擺概念的是在60 年代后期。在此基礎上，世界各國專家和學者對倒立擺進行了拓展，產生了直線二級倒立擺、三級倒立擺、多級倒立擺、柔性直線倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺、環(huán)形并聯(lián)多級倒立擺以及斜坡倒立擺等實驗設備，并用不同的控制方法對其進行了控制。1976 年 Morietc 首先把倒立擺系統(tǒng)在平衡點附近線性化，利用狀態(tài)空間方法設計比

25、例微分控制器實現(xiàn)了一級倒立擺的穩(wěn)定控制[2]。1992 年，F(xiàn)uruta 等人應用最優(yōu)狀態(tài)調節(jié)器理論首次實現(xiàn)雙電機三級倒立擺實物控制[3]。80 年代后期開始，較多的研究了倒立擺系統(tǒng)中的非線性特性，提出了一系列的基于非線性分析的控制策略，1993 年，Wiklund 等人應用基于李亞普諾夫的方法控制了環(huán)形一級倒立擺[4]。</p><p>　　國內對倒立擺的研究始于 80 年代，三級倒立擺及多級倒立擺的研究也取得

26、了很大進展，不僅在系統(tǒng)仿真方面，而且在實物實驗中，都出現(xiàn)了控制成功的范例。尹征琦等成功的以模擬的降維觀測器實現(xiàn)了二級倒立擺的控制[5]。梁任秋等針對二級倒立擺系統(tǒng)給出了三種實用的數(shù)字控制器和降維觀測器[6]。1994 年，北京航空航天大學教授張明廉將人工智能與自動控制理論相結合，提出“擬人智能控制理論”，實現(xiàn)了用單電動機控制三級倒立擺實物以及后來實現(xiàn)對二維單倒立擺控制[7]。2005 年，羅成等人實現(xiàn)了五級倒立擺的控制[8]。</

27、p><p>　　對倒立擺這樣的一個典型被控對象進行研究，它在理論上和方法上都具有重要意義。不僅由于其級數(shù)增加而產生的控制難度是對人類控制能力的有力挑戰(zhàn)，更重要的是實現(xiàn)其控制穩(wěn)定的過程中不斷發(fā)現(xiàn)新的控制方法、探索新的控制理論，并進而將新的控制方法應用到更廣泛的受控對象中。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實踐，并且可以促成相互間的有機結合。當前倒立擺的控制方法可分為以下幾類：</p><p>

28、;　　(1)線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設計方法得到期望的控制器。PID控制、狀態(tài)反饋控制、LQR控制算法是其典型代表。這類方法對一二級的倒立擺(線性化后誤差較小模型較簡單)控制時，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。但對于像非線性較強、模型較復雜的多變量系統(tǒng)(三四級以及多級倒立擺)線性系統(tǒng)設計方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來

29、進行合理的設計。</p><p>　　(2)預測控制和變結構控制方法 由于線性控制理論在倒立擺控制中的局限性，使得研究者不得不去尋求更加有效的控制方法，于是先后開展了預測控制、變結構控制和自適應控制的研究。預測控制是一種優(yōu)化控制方法，強調的是模型的功能而不是結構。變結構控制是一種非連續(xù)控制，可將控制對象從任意位置控制到滑動曲面上仍然保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性,但是系統(tǒng)存在顫抖。預測控制、變結構控制和自適應控制在理論

30、上有較好的控制效果，但由于控制方法復雜、成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實時實現(xiàn)[9]。</p><p>　　(3)智能控制方法 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經網絡控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。</p><p>　　①神經網絡控制 神經網絡能夠任意充分地逼近復雜的非線性關系，NN能夠學習與適應嚴重不確定性系統(tǒng)的動態(tài)特性，所有定量或定性的信息都等勢分布

31、貯存于網絡內的各種神經元，故有很強的魯棒性和容錯性；也可將Q學習算法和BP神經網絡有效結合，實現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無模型學習控制。但是神經網絡控制方法存在的主要問題是：缺乏一種專門適合于控制問題的動態(tài)神經網絡，而且多層網絡的層數(shù)、隱層神經元的數(shù)量、激發(fā)函數(shù)類型的選擇缺乏指導性原則等。</p><p>　?、谀：刂?經典的模糊控制器利用模糊集合理論將專家知識或操作人員經驗形成的語言規(guī)則直接轉化為自動控制策略(

32、通常是專家模糊規(guī)則查詢標)，其設計不依靠對象精確的數(shù)學模型，而是利用其語言知識模型進行設計和修正控制算法。常規(guī)的模糊控制器的設計方法有很大的局限性，首先，難以建立一組比較完善的多維模糊控制規(guī)則，即使能湊成這樣一組不完整的粗糙的模糊控制規(guī)則，其控制效果也是難以保證的。但是模糊控制結合其他控制方法就可能產生比較理想的效果。</p><p>　?、蹟M人智能控制 模糊控制、神經網絡控制等智能控制理論的問世促進了當代自動控

33、制理論的發(fā)展。然而，基于這些智能控制理論所設計的系統(tǒng)往往需要龐大的知識庫和相應的推理機，不利于實現(xiàn)實時控制。這又阻礙了智能控制理論的發(fā)展，因此，又有學者提出了一種新的理論——擬人控制理論。擬人智能控制的核心是“廣義歸約”和“擬人”。“歸約”是人工智能中的一種問題求解方法。這種方法是將等求解的復雜問題分解成復雜程度較低的若干問題集合，再將這些集合分解成更簡單的集合，依此類推，最終得到一個本原問題集合，即可以直接求解的問題。另一核心概念是“

34、擬人”，其含義是在控制規(guī)律形成過程中直接利用人的控制經驗直覺推理分析。</p><p>　?、芊氯酥悄芸刂?仿人智能控制的基本思想是通過對人運動控制的宏觀結構和手動控制行為的綜合模仿，把人在控制中的“動覺智能”模型化，提出了仿人智能控制方法。研究結果表明，仿人智能控制方法解決復雜、強非線性系統(tǒng)的控制具有很強的實用性。</p><p>　?、菰颇Ｐ涂刂?利用云模型實現(xiàn)對倒立擺的控制，用云模型

35、構成語言值，用語言值構成規(guī)則，形成一種定性的推理機制。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學模型，僅僅依據(jù)人的經驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經驗，通過語言原子和云模型轉換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題[10]。</p><p><b>　　1.4本文主要工作</b></p><p>　　本論文的主要工作是設計了直線倒立擺系統(tǒng)的機

36、械本體部分， 并分別進行 PID，線性二次最優(yōu)控制，狀態(tài)空間極點配置控制算法的設計，用 MATLAB 對一級、二級、三級倒立擺控制系統(tǒng)進行了仿真，驗證了設計的可行性。具體內容如下:</p><p>　　(1)詳細論述了一級、二級、三級直線倒立擺數(shù)學建模方法，推導出它們的微分方程，以及線性化后的狀態(tài)方程。 </p><p>　　(2)分析了倒立擺系統(tǒng)的控制方法。分別用現(xiàn)代控制理論及經典控制理

37、論對直線倒立擺的位置控制和角度控制進行分析。利用MATLAB仿真系統(tǒng)，討論出現(xiàn)的問題及解決方法。 </p><p>　　(3)設計繪制了直線倒立擺的裝配圖。</p><p>　　(4)對論文工作進行總結和展望。</p><p>　　2 倒立擺機械系統(tǒng)設計及實現(xiàn) </p><p><b>　　2.1 倒立擺簡介</b>&

38、lt;/p><p>　　倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及由運動控制卡和普通 PC 機組成的控制平臺等三大部分。 </p><p>　　直線倒立擺本體由底座、電機、同步帶、帶輪、滑竿、小車、擺桿、角編碼器等組成。小車由電機通過同步帶驅動在滑桿上來回運動，保持擺桿平衡。電機編碼器和角編碼器向運動控制卡反

39、饋小車和擺桿位置(線位移和角位移)。 </p><p>　　電氣控制箱由電機驅動器、I/O接口板、開關電源、開關和指示燈等電氣元件組成。 </p><p>　　控制平臺由PC機、運動控制卡、運動控制卡用戶接口軟件等組成。</p><p>　　2.2 倒立擺工作特性和工作原理 </p><p>　　2.2.1工作特性 </p>&

40、lt;p>　　倒立擺從形式和結構上來看是多種多樣的， 但是所有的倒立擺都具有以下的特性： </p><p>　　(1)非線性 倒立擺是一個典型的非線性復雜系統(tǒng)， 實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近模型，線性化處理后再控制。也可以利用非線性控制理論對其進行控制。倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。 </p><p>　　(2)不確定性 主要的模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際

41、控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。 </p><p>　　(3)耦合性 倒立擺的各級擺桿之間，以及和運動模塊之間都有很強的耦合關系，在倒立擺的控制中一般都在平衡點附近進行解耦計算，忽略一些次要的耦合量。 </p><p><b>　　(4)開環(huán)不穩(wěn)定性</b></p>

42、<p>　　2.2.2系統(tǒng)工作原理</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是由上位機作為控制界面的輸出， 通過上位機對倒立擺系統(tǒng)的仿真過程進行參數(shù)的選改，運動控制卡進行電機反饋和角度編碼器的反饋計算，并將參數(shù)的反饋發(fā)送到電機驅動器，進而控制電機輸出。其工作原理如下圖2.1所示：</p><p>　　圖2.1 直線倒立擺控制系統(tǒng)硬件框圖 </p><p>　　由

43、圖可以看出倒立擺系統(tǒng)是一個閉環(huán)系統(tǒng)， 圖中光電碼盤l由伺服電機自帶，可以根據(jù)該碼盤的反饋通過換算獲得小車的位移，小車的速度信號可以通過差分得到。擺桿的角度由光電碼盤測量出來并直接反饋到控制卡，角度的變化率信號可以通過差分得到。計算機從運動控制卡中實時讀取數(shù)據(jù)，確定控制決策(電機的輸出力矩)，并發(fā)送給運動控制卡。運動控制卡經過 DSP 內部的控制算法實現(xiàn)該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。</p&g

44、t;<p>　　2.3系統(tǒng)機械結構設計</p><p><b>　　2.3.1底座設計</b></p><p>　　對于底座的設計，選用的是固定式的底座,如圖2.2所示：</p><p>　　圖2.2 固定式底座</p><p>　　它的機構穩(wěn)固，不會因為機器長時間運行而改變其水平條件，加工也簡單，可以直

45、接鑄造得到。</p><p>　　2.3.2小車部分設計</p><p>　　為了實現(xiàn)倒立擺擺桿的自由擺動，同時測量擺桿轉動角度，需要設計一個鉸鏈來實現(xiàn)。鉸鏈由轉軸、深溝球軸承和軸承座構成，轉軸安裝在滾動軸承上用來連接擺桿和光電編碼器。為使鉸鏈轉動靈活，必須保證軸承座中的兩個深溝球軸承同心。因此，軸承座安裝軸承的孔應設計為通孔，并在車床上一次裝夾加工完成，以避免產生二次裝夾誤差。同時，光電

46、編碼器的安裝沒有選擇現(xiàn)有倒立擺實驗裝置的安裝方法即把編碼器安裝在支架上，而是直接把編碼器固定在軸承座的一端，這樣可以避免產生新的裝配誤差。而且選擇此方法還在軸承座加工中增加了一道加工工序，即車完軸承裝配孔后將編碼器安裝面重車一刀，保證編碼器安裝面與軸承座的軸承安裝孔垂直[11]。</p><p>　　轉軸的設計直接關系到擺桿鉸鏈的靈活程度，從而影響倒立擺控制的穩(wěn)定性。因此，必須保證轉軸軸承裝配面和編碼器軸裝配面是

47、同心的。同時為了保證編碼器安裝后與轉軸同心，轉軸的加工工序如下：首先加工編碼器安裝孔，然后利用三爪夾盤將轉軸固定，利用頂尖在編碼器裝配孔中以增加轉軸在加工中的剛性，最后完成其余加工工序。 </p><p>　　要滿足小車在軌道上往復運動并盡量減少摩擦，系統(tǒng)采用直線軸承實現(xiàn)。 直線軸承座設計中的關鍵是保證兩個直線軸承座軌道安裝面是同心的。 因此， 需要先將兩個截面為正方形的長方體棒料在車床上利用四爪夾盤裝夾，并在正

48、方形截面的中心鉆孔，留 0.5 毫米余量進行精加工，之后進行直線軸座裝配。兩個直線軸承外端用孔用彈簧擋圈固定，內端用鋁環(huán)代替孔用擋圈固定，降低了加工難度。下圖為小車部分的剖面圖：</p><p>　　圖2.3 小車部分剖面圖</p><p>　　2.3.3 傳動部分設計 </p><p>　　a. 同步帶輪裝置的設計及裝配 為了使小車往復運動靈活，提高系統(tǒng)精度，

49、系統(tǒng)選擇齒間距為3毫米的同步帶。同步帶通過兩個皮帶輪裝置聯(lián)結以減少直接作用在電機軸的作用力，使整個系統(tǒng)更穩(wěn)定。 </p><p>　　b. 電機與同步帶裝置連接裝置 為了降低皮帶輪與電機軸裝配的同心度要求，電機和皮帶輪之間用聯(lián)軸器聯(lián)結。這種設計保證了電機軸不受額外扭矩的作用。</p><p>　　2.3.4 步進電機選擇</p><p>　　步進電機是倒立擺系統(tǒng)中的

50、唯一動力原件，對整個系統(tǒng)至關重要。步進電機的選型主要是依據(jù)其功率、轉矩和步距角，而且選擇的電機必須具有高速度響應、運行穩(wěn)定、抖動小等特點[10]。</p><p>　　從電動機角度考慮，電動機受到的主要負載為摩擦負載和慣性負載，摩擦負</p><p>　　載主要來源于作直線運動的倒立擺小車被控對象與運行軌道的摩擦力、傳動裝置同步帶和齒輪之間的摩擦力，慣性負載除了電動機轉子的慣性力外，還有擺

51、和小車以及齒輪的慣性力，忽略齒輪的慣性力，現(xiàn)分別計算其它負載力(全部折算到電機軸上)。</p><p><b>　　電機啟動加速力矩：</b></p><p>　　式中Ma ---電機啟動加速力矩(N.m) </p><p>　　Jm、Jt---電機自身慣量與負載慣量(Kg.m.s2) </p><p>　　n--

52、-電機所需達到的轉速(r/min) </p><p>　　T---電機升速時間(s)</p><p><b>　　摩擦負載力矩：</b></p><p>　　式中Mf---導軌摩擦折算至電機的轉矩（N.m) </p><p>　　u---摩擦系數(shù) </p><p><b>　　η-

53、--傳遞效率 </b></p><p>　　r---與同步帶相嚙合的齒輪半徑.</p><p><b>　　切削力矩：</b></p><p>　　估算電機輸出的總力矩 M=Ma+Mf+0 </p><p>　　所以 M=0.04+1.32=1.36 N.m&l

54、t;/p><p>　　在這里由于忽略了同步帶與齒輪之間的摩擦及擺桿的慣性力矩， 所以對電機的選擇： </p><p>　　(1)能滿足控制精度的要求 </p><p>　　(2)能滿足負載轉矩的要求 </p><p>　　(3)滿足慣量的匹配原則 </p><p>　　(4)應考慮到這些中間因素應該使得所選電機的額定輸出功

55、率=估算值的</p><p><b>　　2~3 倍。</b></p><p>　　故在實際選型中選擇了型號 57BYG707 的混和式步進電機。其參數(shù)如下：</p><p>　　電壓：4.1V 電流：2.3A</p><p>　　步距角： 轉子轉動慣量：2

56、30g.m2</p><p>　　重量：1.0kg 最大靜轉矩：1.91Nm</p><p>　　與此步進電機配套的驅動器為BL-230M，驅動模塊特點有[11]：</p><p>　　(1)適用于電壓范圍寬（24-40V)。 </p><p>　　(2)采用恒流斬波，雙極性全橋式驅動。 </p>

57、<p>　　(3)運行特性良好，自動半流鎖定，可靠性高。</p><p>　　(4)細分數(shù)可由撥碼開關設定 1/2，1/16，1/32，1/64，1/5，1/10，1/20，1/40。</p><p>　　(5)適配 3A 以下兩相、四相混合式步進電機。</p><p>　　3 一級直線倒立擺系統(tǒng)的建模分析與仿真</p><p>

58、;　　在控制系統(tǒng)的分析和設計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內部物理量或變量之間關系的數(shù)學表達式。在靜態(tài)條件下(即變量各階導數(shù)為零)，描述變量之間關系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學模型；而描述變量各階導數(shù)之間關系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學模型[12]。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達式，并由此對系統(tǒng)進行性能分析。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是進行控制系統(tǒng)分析和設計的首要工作。建立控制系

59、統(tǒng)數(shù)學模型的方法有分析法和實驗法兩種。分析法是對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學規(guī)律分別列寫相應的運動方程。例如，電學中有基爾霍夫定律，力學中有牛頓定律，熱力學中有熱力學定律等。實驗法是人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近，這種方法稱為系統(tǒng)辯識[13]。下面我們采用分析法來對倒立擺的數(shù)學模型進行分析。</p><p>　　3.1一級倒立擺模型分析 &l

60、t;/p><p>　　圖3.1 一級倒立擺簡化模型</p><p>　　在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖3.1 所示。實際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下： </p><p>　　表3.1 系統(tǒng)模型參數(shù)</p><p>　　通過對小車受力分析得到小車水平方向所受的合力：[14]</p>

61、<p><b>　　(3.1)</b></p><p>　　由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：</p><p><b>　　(3.2)</b></p><p><b>　　即： </b></p><p><b>　　(3.3)</b&g

62、t;</p><p>　　把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：</p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：</p><p><b>　　(3.5)</b></p>

63、<p><b>　　(3.6)</b></p><p><b>　　力矩平衡方程如下：</b></p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　注意：此方程中力矩的方向，由于，因此等式前面有負號。</p><p>　　合并這兩個方程，約去和，得到

64、第二個運動方程：</p><p><b>　　(3.8)</b></p><p>　　設，（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小，即 時，則可以進行近似處理：，，。為了與控制理論的表達習慣相統(tǒng)一，即一般表示控制量，用來代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運動方程如下：</p><p><b>　　(3.9)

65、</b></p><p>　　對方程組（3.9）進行拉普拉斯變換，得到：</p><p><b>　　(3.10)</b></p><p>　　注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。</p><p>　　由于輸出為角度，求解方程組（3.10）的第一個方程，可以得到：</p><p>&

66、lt;b>　　(3.11)</b></p><p><b>　　或： </b></p><p><b>　　(3.12)</b></p><p><b>　　如果令，則有：</b></p><p><b>　　(3.13)</b&g

67、t;</p><p>　　把上式代入方程組（3.10）的第二個方程，得到：</p><p><b>　　(3.14)</b></p><p>　　整理后得到以輸入力為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　

68、其中 </p><p>　　設系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：</p><p><b>　　(3.16)</b></p><p>　　方程組(3.9)對解代數(shù)方程，得到如下解：</p><p><b>　　(3.17)</b></p><p>　　整

69、理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：</p><p><b>　　(3.18)</b></p><p>　　只要將直線一級倒立擺的實際結構參數(shù)代入式(3.18)中，便可得到矩陣A、B、C、D，如下：</p><p>　　擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　(3.19)</b></

70、p><p>　　擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：</p><p><b>　　(3.20)</b></p><p>　　擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　(3.21)</b></p><p>　　3.1.1系統(tǒng)可觀可控性分析</p&

71、gt;<p>　　對n x n矩陣A，n x m矩陣B和p x n 矩陣C，ctrb（A,B）可得到如下所示的n x nm的可控性矩陣：</p><p>　　obsv(A，C)可得到如下所示的nm x n的可觀性矩陣：</p><p>　　當Uc的秩為n時，系統(tǒng)可控；當Vo的秩為n時，系統(tǒng)可觀[15]。</p><p>　　在Matlab中計算：<

72、;/p><p>　　A=[0 1 0 0；0 -0.0883167 0.629317 0；0 0 0 1；0 -0.235655 27.8285 0]；</p><p>　　B=[0；0.883167；0；2.35655]；</p><p>　　C=[1 0 0 0；0 1 0 0]；</p><p><b>　　D=[0；0]；<

73、;/b></p><p>　　Uc=ctrb(A，B)；</p><p>　　Vo=obsv(A，C)；</p><p><b>　　rank(Uc)</b></p><p><b>　　rank(Vo)</b></p><p>　　得到：ans =4 ans=4&

74、lt;/p><p>　　可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的可觀性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，所以系統(tǒng)可控且是能觀的，因此可以對系統(tǒng)進行控制器的設計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。</p><p>　　3.1.2系統(tǒng)階躍響應分析</p><p>　　上面已經得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，對其進行階躍響應分析，在Matlab中鍵入以下命令：</p>

75、<p>　　A=[0 1 0 0；0 -0.0883167 0.629317 0；0 0 0 1；0 -0.235655 27.8285 0]；</p><p>　　B=[0；0.883167；0；2.35655]；</p><p>　　C=[1 0 0 0；0 1 0 0]；</p><p><b>　　D=[0；0]；</b>&l

76、t;/p><p>　　step（A，B，C，D）</p><p><b>　　得到如下結果：</b></p><p>　　圖3.1.3 直線一級倒立擺單位階躍響應仿真</p><p>　　可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。</p><p>　　3.2一級直線倒立擺控制器設

77、計與仿真</p><p>　　3.2.1PID控制器設計及算法仿真</p><p>　　PID控制以其結構簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調整方便而成為工業(yè)控制的主要技術之一。當被控對象的結構和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學模型時，控制理論的其它技術難以采用時，系統(tǒng)控制器的結構和參數(shù)必須依靠經驗和現(xiàn)場調試來確定，這時應用PID控制技術最為方便。即，當我們不完全了解一個系統(tǒng)和被控對象，或不能

78、通過有效的測量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時，最適合用PID控制技術[16]。 </p><p>　　PID控制器是一種線性控制器， 它根據(jù)給定rin(t)與實際輸出值yout(t)構成控制偏差：</p><p><b>　　(3.22) </b></p><p>　　PID的控制規(guī)律為： </p><p><b>　

79、　(3.23) </b></p><p><b>　　(3.24) </b></p><p>　　式中，Kp 為比例系數(shù)；Ki為積分時間常數(shù)；Kd為微分時間常數(shù)。</p><p>　　PID 控制原理如圖3.2</p><p>　　圖3.2 PID控制原理</p><p>　　下面

80、是通過對倒立擺在MATLAB中的M文件實現(xiàn)對倒立擺的仿真曲線，整定參數(shù)的步驟如下：</p><p>　　1.將控制器的積分系數(shù)Kd和微分系數(shù)Ki均設置為0，比例系數(shù)Kp設置為較小的值，使系統(tǒng)運行，同理在分別將其他兩個參數(shù)改為0，總結這三個參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響。 </p><p>　　2.逐漸增大比例系數(shù)Kp，調節(jié)器的各個參數(shù)Ki和Kd的值，觀察曲線的變化情況，同理，再次改變另外兩個參數(shù)時，

81、觀察曲線變化。 </p><p>　　可以看出變換參數(shù)對擺桿及小車位置的響應曲線：</p><p>　　P=1，I=1，D=0桿和小車的位移，速度響應曲線及力的輸出響應曲線如圖</p><p><b>　　3.2.1 示：</b></p><p>　　圖3.2.1 系統(tǒng)的動態(tài)響應 </p><p&g

82、t;　　當P=50，I=1，D=0 桿和小車的位移、速度響應曲線及力的輸出響應曲線如圖3.2.2所示：</p><p>　　圖3.2.2 系統(tǒng)的動態(tài)響應</p><p>　　當P=1，I=3，D=0桿和小車的位移、速度響應曲線及力的輸出響應曲線如圖3.2.3所示：</p><p>　　圖3.2.2 系統(tǒng)的動態(tài)響應</p><p>　　當

83、P=1，I=3，D=5000 桿和小車的位移、速度響應曲線及力的輸出響應曲線如圖 3.2.4所示：</p><p>　　圖3.2.4 系統(tǒng)的動態(tài)響應</p><p>　　從圖中可以看出增大比例系數(shù)P時，擺桿及小車的動態(tài)性能有所提高，調節(jié)時間縮短，增加了擺桿幅值和小車的運動往復次數(shù)，控制力的輸出量增加，所以說消耗了更多的能量。</p><p>　　增加積分系數(shù)I時可

84、以看見到，當I從1-3時，系統(tǒng)的性能明顯提高，響應時間縮短，動態(tài)性能得到了很大的提高。對微分系數(shù)的變化卻不是很大，曲線的響應過程也不是很明顯，但是在這里也可以看出，當 P=1，I=3，D=5000 時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是最合適的。 </p><p>　　從圖中可以看出建立的一階倒立擺控制系統(tǒng)在 Matlab 中能夠實現(xiàn)倒立擺的要求，能通過電動機牽引機構帶動小車的移動來控制擺桿和保持平衡。 </p>&

85、lt;p>　　通過調節(jié)比例系數(shù)，可以較好地減小控制系統(tǒng)偏差，但是在此處通過調節(jié)微分系數(shù)，卻不能較好地改善響應速度，減少調節(jié)時間，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或者說積分項引起的變化作用不明顯。仿真結果表明通過采用 P1D 控制，可以得到較為滿意的響應結果。</p><p>　　3.2.2 LQR控制器設計及算法仿真</p><p>　　前面已經得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程，以外界作用力

86、作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程分別為：</p><p>　　二次型性能指標函數(shù)： </p><p>　　Q、R是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權重，Q 是半正定陣，R 是正定陣。確定最佳控制向量的矩陣 K：u(t)=- K* x(t)，使得性能指標達到最小值。LQR控制的原理圖如下所示：</p><p>　　圖3.2.5 最優(yōu)控制LQR控制原理圖</p>

87、;<p>　　根據(jù)期望性能指標選取Q和R，利用MATLAB命令 lqr 就可以得到最優(yōu)反饋增益矩陣K：</p><p>　　由原理知,要求出最優(yōu)控制作用u，u(k)=-Kx除求解代數(shù)Riccati 方程外，加權矩陣的選擇也是至關重要的。下面是幾個選擇的一般原則， 通常選用Q 和R為對角線矩陣，實際應用中，通常將R 值固定，然后改變Q 的數(shù)值(一般可直接選R = 1)，Q的選擇不唯一表明當?shù)玫降目刂破?/p>

88、相同時，可以有多種Q 值的選擇,其中總有一個對角線形式的Q。下面是對Q，R值的變換得到的仿真曲線：</p><p>　　先令x=1，y=1，運行后得到：K =[-1.0000 -1.5259 29.1867 5.5631]</p><p>　　仿真曲線如圖3.2.6所示：</p><p>　　圖3.2.6 系統(tǒng)響應曲線圖</p><

89、;p>　　當x=10，y=5000時，如圖3.2.7： 當x=10，y=500時，如圖3.2.8： </p><p>　　圖3.2.7 系統(tǒng)響應曲線 圖3.2.8 系統(tǒng)響應曲線</p><p>　　從上圖中可以看出,當y減小時，小車的響應曲線穩(wěn)定得到了提高，響應時間有明顯的改善，現(xiàn)在保持y不變，變換x值：</p><p&

90、gt;　　當x=1000，y=500時，如圖3.2.9所示：</p><p>　　圖3.2.9 系統(tǒng)響應曲線</p><p>　　從仿真結果可知，X在1000以上或者較大時，系統(tǒng)響應結果很好，小車和擺桿可以在很短時間內達到平衡，表明X值的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能有很大影響。 </p><p>　　3.2.3狀態(tài)空間極點配置控制設計及仿真</p><p

91、>　　對于控制系統(tǒng) </p><p>　　式中：X 為狀態(tài)向量（n維）</p><p>　　u 控制向量（純量） </p><p>　　A n×n維常數(shù)矩陣</p><p>　　B n×1維常數(shù)矩陣</p><p><b>　　選擇控制信號為：<

92、;/b></p><p>　　圖3.2.10 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制控制原理圖</p><p>　　求解上式，得到： </p><p>　　方程的解為： </p><p>　　可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，K選擇適當，對于任意的初始狀態(tài)，當t趨于無窮時，都可以使x(t)趨于0。</

93、p><p>　　根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。因為系統(tǒng)是能控的，所以，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點。</p><p>　　計算狀態(tài)反饋增益矩陣K可以直接利用 Matlab 的極點配置函數(shù) [K，PREC，MESSAGE] = PLACE(A，B，P) 來計算。</p><p>　　在Matlab中計算得：</p>

94、<p>　　A=[0 1 0 0；0 -0.0883167 0.629317 0；0 0 0 1；0 0.235655 27.8285 0]；</p><p>　　B=[0；0.883167；0；2.35655]；</p><p>　　P=[-10-0.0001*j，-10+0.0001*j，-2-2*sqrt(3)*j，-2+2*sqrt(3)*j]；</p>&

95、lt;p>　　K=place(A，B，P)</p><p>　　運行結果為：K = -69.2815 -29.1767 117.2224 21.0815</p><p>　　通過在Matlab中進行編程，得到以下仿真圖：</p><p>　　圖3.2.11 系統(tǒng)響應曲線</p><p>　　改變極點，取P=[-2+5i -2-

96、5i -5+4i -5-4i]，得到狀態(tài)反饋增益矩陣K：</p><p>　　K=-51.485 -18.410 75.521 12.803，得到仿真圖：</p><p>　　圖3.2.12 系統(tǒng)響應曲線</p><p>　　從仿真圖中可以看出系統(tǒng)基本上可以在短時間內實現(xiàn)穩(wěn)定，說明這種算法具有可行性。</p><p><b>

97、　　3.2.4小結</b></p><p>　　通過應用三種不同的控制算法分別對直線一級倒立擺進行了穩(wěn)擺控制，由仿真實驗可知，三種常用方法都可以使擺桿進入穩(wěn)定狀態(tài)。如何快速的進入穩(wěn)定狀態(tài)僅僅由它們的參數(shù)選擇決定。</p><p>　　在PID 控制算法中，比例系數(shù) Kp 主要影響超調量和響應時間，積分系數(shù) Ki 主要影響靜差和超調量，微分系數(shù) Kd 主要影響系統(tǒng)的調節(jié)時間。其中

98、，若初始位置較大，Kp 必須有很大的改動才能明顯看出擺桿運動曲線的變化，積分系數(shù) Ki 也一樣，微分系數(shù) Kd 則相對于Kp、Ki只要有很小的變化就可以使擺桿運動曲線產生明顯變化。三個系數(shù)過大或過小都會使系統(tǒng)震蕩甚至發(fā)散，為了達到理想的控制效果需要根據(jù)調節(jié)者的經驗，不斷調整得到。 </p><p>　　LQR 控制算法中，最終決定控制效果的是Q，R 矩陣，其中R矩陣常設定為1，可以參考已有的擺桿運動曲線根據(jù)其規(guī)律

99、進行調節(jié)。 </p><p>　　極點控制算法中控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能指標很大情況上取決于其閉環(huán)系統(tǒng)的零極點分布情況，根據(jù)極點計算出最佳的狀態(tài)反饋矩陣 K。取不同的極點對應不同的狀態(tài)反饋矩陣，不同的控制效果。極點的選擇沒有什么規(guī)律，一般必須同時有實部和虛部否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 </p><p>　　總的來說，三種控制方法都可以實現(xiàn)直線一級倒立擺的穩(wěn)定控制且控制效果非常好，PID控制中擺桿的

100、角度與角速度、小車位置及速度控制效果較好；而LQR控制中可以比較好地控制住擺桿且響應速度較快超調量較小，但是對小車的控制效果卻稍差些。PID中須根據(jù)調節(jié)者的經驗參考初始位置進行調整，初學者比較費時費力。LQR中Q矩陣的選定可根據(jù)其擺桿的運動曲線及要求進行相應調整，調節(jié)過程有規(guī)律容易掌握。極點配置法中需要不斷改變其極點位置才可以實現(xiàn)其最佳的控制效果，調整略微復雜。</p><p>　　4 二級直線倒立擺系統(tǒng)的建模

101、分析與仿真</p><p>　　4.1二級倒立擺模型的分析</p><p>　　為簡化系統(tǒng)， 我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦， 并認為擺桿為剛體。二級倒立擺的組成如圖4.1所示：</p><p>　　圖4.1 直線二級倒立擺物理模型</p><p>　　系統(tǒng)模型各相關參數(shù)定義如表4.1</p><p>　　表4

102、.1 系統(tǒng)模型參數(shù)</p><p>　　利用拉格朗日方程推導運動學方程：</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　式（4.1）中為拉格朗日算子，為系統(tǒng)的廣義坐標，為系統(tǒng)動能，為系統(tǒng)勢能。拉格朗日方程由廣義坐標和表示為：</p><p><b>　?。?.2）</b>&l

103、t;/p><p>　　其中=1,2,3……n，為系統(tǒng)在個廣義坐標上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標分別為。</p><p>　　首先計算系統(tǒng)的動能：</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　式（4.3）中分別為小車的動能，擺桿1的動能，擺桿2的動能和質量塊的動能。</p>

104、<p><b>　　小車的動能：</b></p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　由式（4.4）可得：</p><p>　　其中，分別為擺桿1的平均動能和轉動動能。</p><p>　　其中，分別為擺桿2的平均動能和轉動動能。</p><p&

105、gt;　　對于系統(tǒng)，可設以下變量：</p><p>　　Xp1擺桿1質心橫坐標；</p><p>　　Xp1擺桿1質心縱坐標；</p><p>　　Xp2擺桿2質心橫坐標；</p><p>　　Xp2擺桿2質心縱坐標；</p><p>　　Xm質量塊質心橫坐標；</p><p>　　Ym質量塊質

106、心縱坐標。又：</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p><b>　　（4.6）</b></p><p><b>　?。?.7）</b></p><p><b>　　則有：</b></p><p><b&

107、gt;　?。?.8）</b></p><p><b>　　（4.9）</b></p><p><b>　　同理</b></p><p><b>　?。?.10）</b></p><p><b>　　（4.11）</b></p>&

108、lt;p><b>　　（4.12）</b></p><p>　　于是有系統(tǒng)的總動能：</p><p><b>　?。?.13）</b></p><p><b>　　++</b></p><p><b>　　++</b></p><

109、p><b>　　+</b></p><p><b>　　系統(tǒng)的勢能為：</b></p><p><b>　?。?.14）</b></p><p>　　由式（4.1）、（4.13）、（4.14）可知拉格朗日算子：</p><p><b>　　（4.15）</

110、b></p><p>　　由于系統(tǒng)在廣義坐標下沒有外力作用，所以有：</p><p><b>　　（4.16）</b></p><p>　　將式（4.16）展開，并對和求代數(shù)方程，最后表示為：</p><p>　　=(,,, ,,,) （4.17）</p><p&

111、gt;　　=(,,, ,,,) </p><p>　　取平衡位置時各變量的初值為零：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　將式（4.17）在平衡位置附近進行泰勒級數(shù)展開，并線性化處理，令：</p><p><b>　　(4.18)</b></p><p&g

112、t;<b>　　(4.19)</b></p><p><b>　　(4.20)</b></p><p><b>　　(4.21)</b></p><p><b>　　(4.22)</b></p><p><b>　　(4.23)</b>

113、;</p><p><b>　　(4.24)</b></p><p>　　得到線性化之后的公式：</p><p><b>　　(4.25)</b></p><p>　　將在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令</p><p><b>　　(4.26)</b&

114、gt;</p><p><b>　　(4.27)</b></p><p><b>　　(4.28)</b></p><p><b>　　(4.29)</b></p><p><b>　　(4.30)</b></p><p><

115、b>　　(4.31)</b></p><p><b>　　(4.32)</b></p><p><b>　　得到：</b></p><p><b>　　(4.33)</b></p><p><b>　　即: </b></p>

116、<p><b>　　(4.34)</b></p><p><b>　　(4.35)</b></p><p>　　現(xiàn)在得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個方程:</p><p><b>　　(4.36)</b></p><p><

117、;b>　　取狀態(tài)變量如下：</b></p><p><b>　　(4.37)</b></p><p>　　則狀態(tài)空間方程如下：</p><p><b>　　(4.38)</b></p><p><b>　　求出各個值：</b></p><p

118、>　　得到狀態(tài)方程各個參數(shù)矩陣：</p><p>　　4.1.1二級倒立擺穩(wěn)定性分析 </p><p>　　在Matlab中，用函數(shù)eig(A)來計算系統(tǒng)矩陣的特征值，經過計算，系統(tǒng)的特征值為：</p><p>　　開環(huán)系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。</p><p>

119、　　4.1.2能控性能觀性分析</p><p><b>　　對于線形狀態(tài)方程</b></p><p>　　其能控性矩陣為： </p><p><b>　　求的秩</b></p><p>　　所以系統(tǒng)是完全能控的。&l

120、t;/p><p><b>　　其能觀性矩陣為：</b></p><p><b>　　求的秩</b></p><p>　　所以系統(tǒng)是完全能觀的。 </p><p>　　前面能控性和能觀性的判斷畢竟是針對線性化后的數(shù)學模型。實際的倒立擺的非線性很重，同時一些參數(shù)（如轉動慣量等）的數(shù)值并不一

121、定準確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準確，對象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級倒立擺的實際控制比較難以實現(xiàn)。</p><p>　　4.2二級直線倒立擺控制器設計與仿真</p><p>　　4.2.1LQR控制器設計及算法仿真</p><p>　　最優(yōu)控制的前提條件是系統(tǒng)是能觀、能控的。由以上數(shù)學模型分析知道直線二級倒立擺系統(tǒng)是能觀、能控的。因此可以給系統(tǒng)加上最

122、優(yōu)控制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定[17]。在運用線性二次型最優(yōu)控制算法進行控制器設計時，主要目的就是獲得反饋向量K的值，關鍵問題是二次型性能指標泛函中加權矩陣Q和R的選取。應用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)結構如下圖4.2所示。圖中U是施加在小車上的階躍輸入，六個狀態(tài)量分別代表小車位移、小車速度、擺桿1位置和擺桿1角速度、擺桿2位置和擺桿2角速度。設計控制器使得當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，輸出包括小車位置,擺桿1的角度和擺桿2的角度。設計控制器使得當